# DYY微積分二 mid ![連鎖律](https://hackmd.io/_uploads/Sywvc--blx.png =400x) [toc] --- ## 超越函數 transcendental function ### 反函數 inverse function - 1-1: $\text{if } f(x_1)=f(x_2) \text{ then }x_1=x_2$ for any $x_1,x_2 \in A$ - onto: $\text{if } \forall y\in B, \exists x \in A \text{ such that } f(x)=y$ - 反函數：1-1 and onto - 反函數微分：==$\frac{d}{dx}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}$== ### 對數函數 natural logarithm function - $\ln x=\int_1^x \frac{1}{t}dt$ - $(\ln x)'=\frac{1}{x}$，==$\int\frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$== :::info - $\int \tan x \,dx=$ ||$-\ln |\cos x|+C$|| - $\int \cot x \,dx=$ ||$\ln |\sin x|+C$|| - $\int \sec x \,dx=$ ||$\ln |\sec x+\tan x|+C$|| - $\int \csc x \,dx=$ ||$-\ln |\csc x+\cot x|+C$|| + $\int \sin x\,dx=$ ||$-\cos x+C$|| + $\int \cos x\,dx=$ ||$\sin x+C$|| ::: ### 指數函數 natural exponential function - 為lnx的反函數 - $(e^x)'=e^x$，$\int e^xdx=e^x+C$ - 常見轉換：==$a^b=e^{b\ln a}$== ### 反三角函數(的微分) inverse trigonometric function - $(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^2}$ - $(\sec^{-1}x)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ :::info - $(\sin^{-1}\frac{x}{a})'=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ - $(\tan^{-1}\frac{x}{a})'=\frac{a}{a^2+x^2}$ - $(\sec^{-1}\frac{x}{a})'=\frac{a}{|x|\sqrt{x^2-a^2}}$ ::: --- ## 積分技巧 ### 基本代換法 u-substitution - 配合鏈鎖律 chain rule ### 分部積分法 integration by part - ==$\int u\,dv=uv-\int v\,du$== :::info - $\int \ln x\,dx=$ ||$x\ln x-x+C$|| - $\int e^x\sin x\,dx=$ ||$\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)$|| - $\int \sin^{-1}x\,dx=$ ||$x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2}+C$|| - $\int \tan^{-1}x\,dx=$ ||$x\tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln{(1+x^2)}+C$|| ::: ### 三角恆等式 trigonometric identities - 倒數、商數、平方和 ||還有餘角(但這裡沒用)|| - 兩倍角公式(半角公式)、三倍角公式 - 和差角公式 ||(幾乎沒在用)|| - [~~和差化積、積化和差~~](https://home.gamer.com.tw/artwork.php?sn=5022505) :::success 惡魔練習題 惡魔練習題 (以下答案皆省略常數 $C$；有些題目有多種解法) 1. $\int \sin^4x\,dx=$ ||$\frac{\sin 4x}{32}- \frac{\sin 2x}{4}+\frac{3x}{8}$|| (偶數次方：2倍角) 2. $\int \cos^5x\,dx=$ ||$\frac{\sin^5x}5-\frac{2\sin^3x}3+\sin x$|| (奇數次方：u代換) 3. $\int \sin^2x\cos^2x\,dx=$ ||$\frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32}$|| 4. $\int \sin^2x\cos^3x\,dx=$ ||$\frac{\sin^3x}3-\frac{\sin^5x}5$|| 5. $\int \sin^2x\cos^4x\,dx=$ ||$\frac x{16}-\frac{\sin4x}{64}+\frac{\sin^32x}{48}$|| (很多2倍角) 11. $\int \tan^2x\,dx=$ ||$\tan x-x$|| (平方和) 12. $\int \tan^3x\,dx=$ ||$\frac{\tan^2x}2 +\ln|\cos x|$|| 13. $\int \tan^4x\,dx=$ ||$\frac{\tan^3x}3 - \tan x +x$|| 14. $\int \sec^4x\,dx=$ ||$\frac{\tan^3x}3 + \tan x$|| 15. ==$\int \sec^3x\,dx$== $=$||$\frac12\sec x \tan x+\frac12\ln|\sec x+\tan x|$|| (分部積分+平方和) 16. $\int \tan^2x\sec^4x\,dx=$ ||$\frac{\tan^5x}5+\frac{\tan^3x}3$|| (sec為偶數次方) 17. $\int \tan^3x\sec^3x\,dx=$ ||$\frac{\sec^5x}5-\frac{\sec^3x}3$|| (tan為奇數次方) 18. ==$\int \tan^2x\sec x\,dx$== $=$||$\frac12 \sec x\tan x-\frac12\ln|\sec x+\tan x|$|| (平方和+前面的題目) 21. $\int \sin3x\sin5x\,dx=$ ||$\frac{\sin2x}4 +\frac{\sin8x}{16}$|| (積化和差) ::: ### 三角代換法 trigonometric substitution - $\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow 設\,x=a\sin\theta$ - $\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow 設\,x=a\tan\theta$ - $\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow 設\,x=a\sec\theta$ :::spoiler 記憶方式 ![image alt](https://hackmd.io/_uploads/ByAxMMPzee.png "title" =200x150) ::: :::info 分部積分+三角代換+平方和 - $\int \sec^{-1}x\,dx=$ ||$x \sec^{-1}x - \ln\left|x + \sqrt{x^2 - 1}\right| + C$|| ::: ### 部分分式分解法 partial fraction decomposition :::spoiler　概念簡介 (byGPT) 假設你有一個有理式：$\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中P(x)和Q(x)都是多項式，且Q(x)的次數大於P(x)的次數。 目標是將這個式子分解為幾個較簡單的分式的和。這樣的分解通常會基於Q(x)的因式分解來進行。 1. **確保分子次數小於分母次數**： 如果P(x)的次數不小於Q(x)的次數，需要先進行多項式除法，然後再對餘數進行部分分式分解：$\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{商} + \frac{\text{餘數}}{Q(x)}$ 2. **分母的因式分解**： 將Q(x)分解成不可約的因式。 3. **部分分式分解**： - 如果Q(x)有一次因式$(x-a)$，則分式的形式是$\frac{A}{x-a}$，其中A是常數，需通過代入法或比較系數法求解。 - 如果Q(x)包含重複一次因式$(x-a)^n$，則要寫成$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x-a)^n}$，並對每項做處理。 - 如果Q(x)包含二次不可約因式$(x^2+bx+c)$，則寫成$\frac{Ax + B}{x^2 + bx + c}$，並求出A和B。 4. **合併分式**：將這些部分分式加起來，得到原來的有理式。 5. **求解未知係數** - **代入法 Substitution Method**：將某些特定的x值代入等式，解出未知數。 - **比較係數法 Method of Comparing Coefficients**：通分後將分子展開，因為同次項的係數相等，可得到一組線性方程式，並解出未知數。 ::: - [進階速解技巧](https://hackmd.io/@ericycl1118/huh) :::info 含各類型分式積分的練習題：$\int \frac{x^5+3x^3+3x^2+18}{(x-1)^2(x^2+4)^2}\,dx$ $=$ ||$\int(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x^2+4}-\frac{2}{(x^2+4)^2})\,dx$|| $=$ ||$-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\ln(x^2+4) + \frac{3}{8}\tan^{-1}\frac{x}{2} - \frac{x}{4(x^2+4)} + C$|| ::: --- ## 數列 sequence ### 完備公理 - 上方有界$\Rightarrow$有最小上界；下方有界$\Rightarrow$有最大下界 - (非嚴格)遞增數列若有最小上界，則極限存在(收斂) - (非嚴格)遞減數列若有最大下界，則極限存在(收斂) ### 數列極限 - 必收斂於上界或下界 - 五個rule、夾擠定理 - 數列的函數值的極限=數列的極限的函數值 If $\lim_{n\to\infty}c_n=c$ , then $\lim_{n\to\infty}f(c_n)=f(c)$. ### 不定型、羅必達法則 - $\frac00$、$\frac{\infty}{\infty}$：直接使用羅必達法則 - $\infty-\infty$、$0\cdot\infty$、$0^0$、$1^\infty$、$\infty^0$：須先加以轉換 - 其餘：非不定型 ||(用肉眼看出答案)|| ### 瑕積分 - $\int_1^\infty\frac1{x^p}dx\,,\,p>0$ + $p>1$：收斂 + $p \le 1$：發散 - 比較判別法 comparison test：令 $0 \le f(x) \le g(x)$ + $\int_a^\infty g(x)dx$ 收斂 $\Rightarrow\int_a^\infty f(x)dx$ 收斂 + $\int_a^\infty f(x)dx$ 發散 $\Rightarrow\int_a^\infty g(x)dx$ 發散 --- [DYY微積分二 final](https://hackmd.io/@ericycl1118/DYY2) >[name=frog]