LHTL_Final_Project_HowToMath?

--- tags: 'SOS2022' --- # LHTL_Final_Project_HowToMath? :warning::warning::warning:**hackMD好讀排版連結: [HowToMath?](https://hackmd.io/@eri/rk1hRGv0q)**:warning::warning::warning: :warning:!!!!!! 如果幫我評分的你是討厭數學的人類，請還是大發慈悲幫我看完文章QAQ 大家在學數學的路上是不是遇過無數次老師對學生說 >這個數字帶進去，公式背起來就好窩 >―—全台數學老師，非常可能說過然後從來不知道公式的證明過程? 問老師怎麼證明卻被罵小孩子不要問這麼多? 想自己找證明卻不知道從何下手? 找到證明卻看不懂? 經過LHTL的課程，大家應該有感受到了解原理對於學習數學的重要性。只是，身處在台灣的教育制度，我們往往與數學公式的原理――數學證明離得很遙遠，沒有接觸的機會，也沒有喜歡上的契機...... ~~愛情~~ 入坑數學的契機就是來的這麼突然!!!! 我將入坑數學時可能遇到的困難，結合LHTL課程提供的方法，都幫大家整理在這篇文章裡了!! 入坑數學不難，只缺你的一時腦波弱! ## Chap0 推坑開場白 ### 0.1 畢氏定理大家第一個遇到的數學證明應該是國中的畢氏定理。還記得怎麼證明嗎? <figure> <img src="https://imgur.com/732FNmz.png" style="zoom:33%;" /> <figcaption>fig0.1 畢氏定理的經典圖片</figcaption> </figure> 數完格子會發現沒錯，$3^2+4^2=5^2$，證明結束，一天又平安的過去了，感謝飛天小女警的努力。 > :warning: 感覺怪怪的...? 我們只證明了邊長$(3, 4, 5)$這組三角形符合畢氏定理，其他無數種直角三角形被我們遺棄在九霄雲外的角落，兀自在自己的小圈圈內互相泣訴著自己如何被世人冷落。你發現**我們並沒有證明完畢**。到底怎麼證明?要怎麼樣才算正確證明? ( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°)( ͡° ͜ʖ ͡°) 《The Pythagorean Proposition》這本書中，總共收錄了371種證明畢氏定理的方法，等待我們去發掘。也許你可以創造第372種證明方法也說不定。「將近四百種，總能被我摸到一種吧?」 ### 0.2輾轉相除法有些國中老師可能會教大家這個找最大公因數$GCD(a, b)$的方法。如果你從來沒聽過，可以看一下下面這個不到兩分鐘的影片。 pdf版讀者請點選連結觀看: https://www.youtube.com/watch?v=yp8jqdMVVC8 如果還不瞭解，可以再看看下面這份展示輾轉相除法的詳解。節錄自[Live數學學習網](https://www.liveism.com/live-concept.php?q=%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E5%9B%A0%E6%95%B8%E7%9A%84%E6%B1%82%E6%B3%95%E2%94%80%E8%BC%BE%E8%BD%89%E7%9B%B8%E9%99%A4%E6%B3%95) ![](https://imgur.com/7lbYTET.png) 簡單來說，就是**交互的使用餘數作為除數來進行除法**。看完了。嗯，會用了。我會了。 >:warning:怪怪的deja vu? 這東西怎麼來的?都不需要一些說明嗎? 如果使$a$為任意一個整數，$b$為任意一個大於零$0$的整數，我們都可以找到一個整數$q$與非負整數$r < b$使得 $$ a = b\times q + r...........(1)\\ $$ 即將除法寫成乘法與加法的形式。所以在這裡，$q$就是商數，$r$則是餘數。假設$(a,\ b)$之間有一個公因數$u$, 必有一組正整數$(s,t)$使得 $$ a = su,\space b = tu $$ 即將$(a,\ b)$以公因數表示，帶回式(1) $$ a = b \times q + r \implies su = tu \times q + r $$ 將公式中的$r$整理到一邊，可以發現: $$ \therefore r = u(s-tq),\ u也是r的因數\\ (a,\ b)\ 的最大公因數GCD(a,\ b)\ =\ GCD(b,\ r) \blacksquare $$ 若式子中 $r=0$ , 表示$b$是$a$的因數，即$GCD(a,b)=GCD(b,\ 0)=b$ 所以只要重複代入式子(正好就是輾轉相除法在做的事!)，最後剩下的商數$b$就是最大公因數。 **數學證明就是能讓充滿疑惑的腦袋瞬間豁然開朗。** 在完全理解原理之後，下次再聽到輾轉相除法這個名詞，你很難不想起來已經在你腦袋中住下的這個證明組塊。所以從來沒有背公式這一回事，只有理解!! 如果讀到這邊的你如果覺得與數學證明相見恨晚，不如繼續往下掉入這個大坑裡!!!! ## Chap1 建立好的開始在LHTL課程3.2提到建立自信心是有效增進學習效果的手段，而一個萬全準備的開始是有效建立初期自信心的方式。這一章會和大家分享怎麼選擇一個適合自己的數學主題閱讀，並且在開始之前確定能夠順利閱讀。 ### 1.1 挑個好定理 >能讓你停下來問"這是什麼"的定理都是好定理 > >――李品靚，15.08.2022，不值得這一個quote區塊 1. 半生不熟原則我喜歡選擇「**好像有聽過卻又不太熟悉**」的數學定理進行閱讀。在LHTL3.1.4提到「建立組塊連結的節點」可以增進組塊形成，而符合上述的數學定理往往表示我們在某個遙遠的過去曾經閱讀過相關的文章，曾經打下組塊節點的地基，所以是適合現在的我們進行閱讀挑戰的定理。 2. 襪這好酷原則不良少年誤入歧途的動機往往是偶然遇見了某次拉風的大型飆車現場，於是義無反顧地投入八加九的陣營。這個例子展現了**對於事物最初的憧憬**可以成為很好的學習動機，也符合LHTL3.2.1敘述的成就動機中的「目標吸引力」。我曾經因為名字聽起來很酷、作者的黑白照很好看等等奇怪理由入坑各種證明。再 ~~膚淺~~ 單純都OK，任何動機都可以是成就的開始。上述幾點是我挑選證明的幾個原則。以培養興趣為主要目的，不求多麼偉大的抱負或執念，只望在愉悅之海徜徉。 ### 1.2 確認先備知識數學需要循序漸進的閱讀。擁有足夠的先備知識才能確保我們在閱讀的路上能使用正確的工具披荊斬棘，沒有過多阻礙的過程才能確保我們獲得適當的成就感，積極維護我們對於數學的熱情。我通常透過以下幾種方法確認我的先備知識充足。 1. 略讀維基百科首先要強調的是，**單純將維基百科作為數學閱讀的來源會很痛苦**。上面充斥各種不同領域關注的數學、程度歧異的內容、以及不利於專業人士外族群的敘述方式。品質參差的條目往往讓初入相關主題的我們因為看不懂而感到挫敗。所以維基百科永遠只能當作參考，並不是我們要精讀的內容。我們現在要做的，是在維基百科條目中尋找**關鍵字**。以最近在念的歌德爾不完備定理為例，節錄一段來自[維基百科條目](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86)的文字敘述: <figure> <img src="https://imgur.com/b7aNZcp.png" /> <figcaption>fig1.2.1 不完備定理條目節錄</figcaption> </figure> **在名詞中尋找陌生的傢伙**，例如皮亞諾算術公理、形式系統、希爾伯特計劃等等名詞，先去尋找這些主題相關的文章，有助於先備知識的建立。另外就是觀察條目在維基百科中的**分類** ![](https://imgur.com/AM6hUMZ.png) 可以看出這個定理是有關邏輯的模型證明，可以先去了解相關的內容，再往下閱讀。 2. 教科書 **課本**本身編撰的進度就是循序漸進，文字的說明編排完全面向第一次學習的人，是初心者的不二首選。尋找包含想了解的定理的數學課本，從前面的章節開始確認自己的先備知識進度。值得一提的是，新舊課綱不斷的更改刪減了大量的數學證明，常常導致某種數學斷層。遇到這種情況的時候，推薦大家去尋找"新觀念數學叢書"、建宏、建興等等出版社 **歷史悠久的高中考試用書籍**，或是找外國出版的**工具書**(例如日本作者的"三小時讀懂"、"世界第一簡單"系列)，通常可以找到被課綱刪減的重要證明內容。 3. google 優雅、簡單、暴力地將數十萬筆資料一覽無疑地呈現在眼前。記得積極使用英文搜尋，如果是語言苦手，也可以考慮簡體中文網站，也有許多知識含量充足的乾糧。我通常會使用```OOO prerequisite```進行搜尋，尋找大家推薦的書籍或網站。 4. 說就是問身為學生的最大優勢就是永遠持有向老師提問的權利。他們每個人都多幫你念了數十年的書，好資源，不用嗎OUOb。張羅完裝備的勇者準備踏上又一次的偉大之行。 ### 1.3 準備閱讀素材與工具 **合適的證明過程來源** 以下幾種，依我自己選擇時的優先順序排序 1. 作者本人發表的論文與著作 2. 原文書中的證明附錄 3. 進行相關研究的教授的著作 4. 熱心數學/資工教授的個人網站中的線上講義 5. 強者同學整理完的筆記 6. Youtube上某個數學熱愛者的video lecture 7. stackexchange 上找到的熱心人士提供的pdf 8. 科學普及網站的證明文章 9. 個人網誌、部落格的證明Po文情況允許，盡量取得紙本文件。大家有嘗試看過別人寫的數學作業嗎?儘管作業內容自己也寫過一次，一開始閱讀時往往會毫無頭緒。因為大家思考數學的思路都不盡相同，兩式之間改變的理由如果沒有被說明，就只能依賴閱讀者的自身知識去判斷。所以**缺乏文字敘述的數學式子往往難以被理解**。如果發現某篇證明通篇只有數式而沒有文字說明，通常是叫我們塊陶的最後通牒。同樣的道理可以套用到手寫題，加上說明不但讓閱卷老師更好讀懂，自己再次複習時也能更容易理解曾經的自己。 **要準備的軟硬體** * 很多計算紙(若有製圖需求，推薦方格或點點紙)。可以的話不要使用太薄或太光滑的紙。 * 好寫的**鉛筆**，用力強調是便於修改的鉛筆。 * 修正鉛筆字跡的橡皮擦。用原子筆寫數學是邪教。邪教。 * 一塊自己的白板或黑板與相對應的書寫工具。如果沒有自己的，可以霸佔下課後的教室黑板。缺點是不能留著。 * 網頁版Geogebra(for精密製圖需求) * 適合慢慢思考的一大段時間。以上兼備足矣。其他fancy的工具可以選用。 ### 1.4 萬全準備以上是我平常會做的準備。其實我也常常只是心血來潮就跳進新的坑，如果是不喜歡依計畫行事的人們可以直接略過，等之後遇到困難再回來參考即可。 ## Chap2 開始閱讀這章會詳述閱讀數學證明時的要點，可能遇到的困難，與解決困難的可能嘗試。 ### 2.1閱讀的順序以下用 "畢氏定理" 的證明過程舉例。節錄自[math-only-math.com](https://www.math-only-math.com/proof-of-pythagorean-theorem.html) <img src="https://imgur.com/c67Mobx.png" style="zoom:50%;" /> 1. 確認目標&可以使用的東西定理通常包含 **前提** 與 **結論**。確認前提可以先將需要用到的知識待機，確認結論則可以明白概略的證明方向。在這個例子中，前提就是直角三角形，結論就是兩股平方和等於斜邊平方和。 2. 舉例! 碰到新的定理，可以先嘗試代幾個例子進去。例如剛碰到畢氏定理，可能可以畫畫看兩股長是3、4的直角三角形，再量量看斜邊長度跟代公式算出來的結果是不是一樣。**單純的數學式子往往抽象又難以理解**，但如果能具體**舉出數個例子**，甚至**圖形化**，就能更快接受式子的意義。 >舉例是理解的試金石! >――結城浩，《數學女孩》系列作者 3. 確認式子推演過程再來就是切入正題。每個被編號的式子(這位作者使用(i)、(ii)作為標示)是一個段落的結論，仔細閱讀式子與式子之間推導的理由(例如這位作者以->在行末標示)，理解後將**原因+結論式**抄在一旁備用。這個例子還很簡短，但若是遇到更常的數學證明，這個步驟就會顯現出它的重要性。 4. 猜測下一步正如LHTL5.1.2提到，邊讀邊預測可以有效監控自己的閱讀狀況，預測正確與否可以顯示自己是否了解這個解題思路的想法，就算預測錯誤也能達到刺激大腦、增進記憶的效果。推論每一小段結論的式子之後可能會被如何使用，甚至自己嘗試之後的證明，直到卡住再回來繼續往下看。重複進行步驟3.與4.直到證明結束。 5. 結論! 恭喜度過漫長的旅途!寫下結論式，再次透過簡單舉例驗證結果的正確性。稍作回顧，概略確認證明的順序。我們學會了一個證明! 我們透過畢氏定理的簡單證明確認了閱讀證明的步驟。使用這個例子，嘗試依照上面介紹的步驟閱讀，你會發現數學證明並沒有那麼難閱讀。可以使用這個方法去嘗試離你最近的數學證明(可以先挑手邊有的數學課本附錄中的證明)，也許會有新的發現。 ### 2.2閱讀可能遇到的困難以下列舉一些我曾經遇到的困難以及可能的應對方式。 1. 發現先備知識很不足夠通常我會先**放置**，回去乖乖念完該念的東西再回來，過程可能要長達數個月之久，以防忘記我會**寫張便條紙**貼在書桌前，提醒自己念這麼辛苦是為了某天遇到的酷東東。另一個可能解法是**放掉**。暫且放棄。這個作法可能會被懷疑積極性不足，說好的對數學的愛呢。但是實際上，數學真的是個很大的領域，遇到不熟悉領域的東西的機率非常高，暫且離去完全是可以被理解的選擇。有機會的話會再相遇的。這時可以以**我就爛大法**安慰感到可惜的內心。 2. 難道作者寫錯?? 沒錯，不只是網路上隨機找到的證明，就算是正式出版的書籍、甚至是教科書，都被我遇過作者寫錯的情形。那真是生不如死的狀態，數學只要一點點小錯誤就很容易導致整段證明變成無效的推論，不知道到底是自己想不透還是證明真的有錯誤的內心糾結會讓人對自己的數學能力產生極大的懷疑。如果真的對內容產生疑惑，**嘗試求助**網路上的討論區、強者同學、或是學校老師吧。如果情況允許，**試著用自己認為正確的修正推演看看證明**，如果發現很可能是作者筆誤，嘗試找他人討論。 3. 真的卡住該拜的大神都拜了，能問的人都問過一遍了，滿載而歸一大捧的計算紙之後卻還是沒辦法理解?這時候就是掉入LHTL3.1.5介紹的**思維定勢**中。不妨參考Oakley教授提供的建議，去休息，嘗試將大腦轉為**發散模式**。我在廁所的衛生紙旁邊放了一副紙筆，為的就是發散模式迸出的靈感。答案會來的，只要我們不放棄思考。 4. 低級計算錯誤人非聖賢，孰能無過。計算錯誤雖然只是個低級錯誤，卻有可能讓人卡上半天，進而懷疑自己的能力，降低對數學的熱情。需要大量計算的時候不妨**借助計算機**等電腦工具的協助，或是攤開一張廢棄的海報背面，嘗試細心的再**驗算**一次吧! 我將計算錯誤的原因歸根於**專注力不足**。所以，也許有同樣困難的大家可以嘗試LHTL中提到的pomodoro等等**幫助集中**的讀書方法，盡量減少書桌上的分心因素，完全投入進計算的世界吧。 ### 2.3閱讀完畢後的自我檢測 1. 時機在剛閱讀完的當下、讀後數天、更久以後的時機點進行複習。看著算式學數學很容易產生LHTL6.1.4提到的**能力錯覺**，所以當下的複習、不時地複習都很重要。 2. 方法讀完的當下可以參考LHTL中在6.1.4提及的**回想**技巧。確認自己是否能正確地，在不看內容的情況下寫出證明的**定義**、**條件**、**證明思路**、**結論**這幾項，允許的話，是否能夠正確地，在不看內容的情況下**再現**一次完整嚴謹的證明。 3. 筆記抄筆記時，除了數學式的推演過程，記得加上每一行推演的**理由**，適度的文字敘述可以幫助自己(以及他人!)再次閱讀的時候更好理解自己的想法。 ### 2.4 背誦公式在完全理解證明過程後，在這章，我們走過了一次閱讀證明時需要注意的要訣與可能遇到的困難。落實這些步驟，我們應該可以完整的學好一個定理。 ## Chap3 挑戰證明! ### 3.1幾種解題策略 #### 3.1.1 邏輯首先觀察題目邏輯，列出所有已知條件，以及欲證的結論。這裡會需要熟悉數學邏輯運算的基礎，以下提供幾個例子，讓大家感受一下**由前提推演至結論**的邏輯方法。 > 假設現在有以下已知定理。 > 定理A: $P\land S\implies R$ > 定理B: $Q\implies S$ > 定理C: $S \lor R \implies T$ > 求證若$P,\ Q$成立，則$T$成立。先列出已知條件(假設，hypothese)以及待證目標(結論，conclusion)。 **假設**: $P \land Q$ **結論**: $P \land Q\implies T$ 透過邏輯推演從假設推到結論。 1. 觀察已知的定理，我們可以發現，利用定理B，可以直接得$Q\implies S$ 所以已知新增為$P \land Q \implies S$ 2. 再發現由現在已知的$S$以及定理C，可以直接得$T$ 所以已知新增為$P \land Q \implies T$ 3. 證畢，我們透過其中一種證明方法證出了結論。還有其他證明的思路，大家可以嘗試**再現**，LHTL6.1.4的**能力錯覺**很可能讓剛看完的人誤以為自己已經是邏輯大師了。嘗試其他種解法，確認自己的理解程度吧。我們已經會將複雜的題目拆解成有順序的邏輯推演了。那麼，要怎麼證明邏輯述句代表的內容是正確的呢? #### 3.1.2 證明方法此段參考[維基百科――數學證明](https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E6%95%B8%E5%AD%B8%E8%AD%89%E6%98%8E)提出的分類。 1. 直接證明 1) 推演算式直接將$P$的算式推演成$Q$的形式，例如求證$(x+y)^2=(x^2+2xy+y^2)$，只要將左式直接展開即可得。 2) 窮舉法將符合敘述的所有$(P,\ Q)$組合列出，僅限於可能性為有限個時。例如，試證所有100以內的質數有25個。 2. 間接證明 1. 反證法欲證$if\ P\ then\ Q$，則**先假設$if\ P\ then\lnot Q$為真**，再證明**假設不可能成立**。例如證$\sqrt2$不是有理數時，先假設$\sqrt2$是有理數，所以存在一最小的正整數$a$使得$a\sqrt2$是整數。最後證明$a$的最小性存在矛盾，即得證$\sqrt2$不是有理數。 2. 數學歸納法想必經歷高中三年摧殘的大家對這個名詞都不陌生。若我們有一組敘述$P(n)$與整數有關，欲證「對所有整數$n \ge n_0$，敘述$P(n)$均成立」: **(1)證明$n=n_0$時$P(n)$成立 (2)證明命題$n=k$成立時，$n=k+1$也成立。** 所以這時，我們可以從$n=n_0$開始，因為(2)成立，所以$n=n_0 + 1$也會成立，就這樣一路推演每一個整數$n \ge n_0$命題都會成立。這是**在有限中證明無限**的方法。 3. 構造法若題目要求「**試證存在**」符合或不符合P的數, 只要構造一數使條件符合，則證明完畢。例如，證明不是所有符合$(2^{prime} - 1)$ 的數都是質數，只要找出一例，例如$2^{11}-1=23\times 89$，即可得證。 4. 算兩次聽起來很像幹話w，但這個方法用來證明**恆等式**。先證明左方式子的結果，再證明右方式子會得到相同結果。 5. 生成函數生成函數最基本的一種應用是**尋找數列的一般式**。基本思路是: 數列→生成函數→生成函數的閉公式(將無窮多項式化為有限項)→數列的一般項。例如費波納契數列的一般項的其中一種證明方式就是使用生成函數。詳細可以參考[數學女孩](https://www.books.com.tw/products/0010903572?sloc=main)這本書，以及[Olympiad level counting](https://www.youtube.com/watch?v=bOXCLR3Wric)這部影片。 >There are only two kinds of math learner: those who know the generating function, and those who don't. #### 3.1.3 證明結束證明的結尾會畫上一顆正方形$\blacksquare$，稱為「墓碑」、「Halmos symbol」。或是寫上**Q.E.D**，拉丁文 **Quod Erat Demonstrandum** ~~quite easily done~~ 證明完畢的縮寫。 ### 3.2撞牆期的調適這是我也還在學習的部分。挑戰數學證明的過程中勢必會遇到撞牆期，很有可能研究一題數學的絕大部分時間都處在撞牆期。所以對於撞牆期的調適對於學習數學的長遠之路來說非常重要。 #### 3.2.1跨過撞牆期的可能方法撞牆期往往與**思維定勢**、**先備知識與經驗不足**等等有關。以下提供幾個可能的嘗試方向 1. 集結好朋朋討論正如LHTL7.1.4每個人對同一題數學的見解往往大不相同，這點在**1.3準備閱讀素材與工具**一節也有提到。這並不是壞事，不同的想法可以提供我們多元的思路與視角，這對解數學(不論是解題或是證明!!)很重要。參考完大家的想法，順便拉一堆人入坑，讓你在數學之路上不孤單。 2. 發散模式ㄇ錯，偉大的發散模式對於解數學非常重要。這裡就不贅述，大家可以積極參考LHTL提供的內容。提供一個個人經歷: 我曾經在睡覺的時候夢到正在解的數學，隔天早上起床發現夢中解出來的就是答案。這是~~信仰~~ 發散模式的力量。 3. 求救!!! 向老師、網路論壇求救吧。再從頭閱讀一次，仔細確認自己不會的地方，然後嘗試用文字敘述，向別人說明自己需要的協助。**知道自己不會的地方**也是一件很重要的技能。 4. 往前閱讀複習卡住可能是因為前面的基礎沒有先打好，太匆忙趕往更難的內容，才會導致撞牆期的痛苦。嘗試**回去前面的章節**，再仔細閱讀一次，並嘗試使用LHTL5.1.2提到的**知識類文本的閱讀策略**鞏固自己的學習。 #### 3.2.2與撞牆期共處我沒有失過戀，但我想如果有機會體驗的話，失戀應該就很像撞牆期。夜以繼日的每天想著他~數學~，想要忘記卻又捨不得一直以來曾經的回憶，想更了解他但卻又不知道何處下手。有時，遇到撞牆期最好的方法可能是**略過她，繼續往下念**，就跟失戀一樣，最好的方法是放下她，繼續往前走。偶爾，在後面的內容會成為解題的好用工具，或是提供新的想法，讓曾經的撞牆期宛如黃梁一夢。所以，如果真的沒辦法解決問題，或者有時間壓力沒辦法在同一處逗留，就嘗試直接往下念吧。透過上述兩章，我們詳細分析了閱讀證明以及挑戰證明的方法與困難指引。嘗試這些步驟，也許大家能夠 ## Chap4 介紹入坑神作與資源如果看到這裡，有幸讓大家感受到數學的快樂，讓大家感到躍躍欲試的話，以下提供一些優秀的數學書與線上資源讓大家入坑。 **書籍** 1. 數學女孩系列結城浩數學女孩、數學女孩系列、數學女孩秘密筆記系列。我就是在高中時因為這個系列入坑數學的。小說形式的對話更讓人容易理解釋數學推演的前因後果，以不同角色的立場可以從多面向去理解定理，嚴謹的數式推導與詳細的解釋讓學習的過程扎實堅固，讓數學在正確的形式中展現美。 2. 三小時讀通系列、世界第一簡單系列擁有廣泛主題的科普書籍。可以快速且全面地提供相關領域的基礎知識，並且在章節末會有加深加廣補充公式與定理的證明，是想快速獲得對某一主題的概念時的好選擇之一。 3. [Introduction to Mathematical Thingking ](https://www.books.com.tw/products/0010802521?sloc=main) 以多數基礎數學教育缺乏的邏輯思維為主題，並同時開授Coursera課程，多元媒介輔助大家從解題導向的數學走出來，練習數學思維。 4. [What is Mathematics](https://www.books.com.tw/products/0010485632?sloc=main) 愛因斯坦對這本書的評價是:「明白易懂......把整個數學領域的基本概念和方法清晰的呈現出來」沒錯，這本書很古老，他用非常嚴謹(甚至是死板)的敘述正確的描述了數學各個領域最核心的定理與公理，適合想要重新打好紮實基礎的你。 5. [Measurement](https://www.books.com.tw/products/0010667435?sloc=main) 這是一本很平易近人的書，不需要太多的數學基礎。沒有太多的數學公式，是一本聚焦從圖形中訓練自己找出規律、特性，在各種開放式的引導問題中，學會「做數學」，學會證明數學的方式。以上是令我印象深刻的幾本書，推薦大家可以從這幾本入坑。有空也可以去多逛逛圖書館的數學區，不要再只借文學書了> <! 這幾本都是我在以前高中圖書館找到的，上面每一本，我都是學校圖書館電子化以來第一借閱的人...... **Youtuber** 沒錯，國外有很大的數學社群，並且也有很多優秀Youtuber們持續地在創作。上萬小時的免費優質教材沒有不使用的道理。英文危機注意。 1. [3Blue1Brown](https://www.youtube.com/c/3blue1brown) 擅長使用超精美的python製圖動畫將抽象的函數概念畫出來，前可汗學院數學講師。 2. [The Math Sorcerer](https://www.youtube.com/c/TheMathSorcerer) 可愛的數學自學者。會分享一些優秀的數學教材以及念數學的技巧，很能站在學生的角度思考問題。 3. [Michael Penn](https://www.youtube.com/c/MichaelPennMath) 大學教授。會發各種難題的解題影片、數學觀念的講解、還有線性代數、複變函數、數論等等相關主題的完整課程。 4. [blackpenredpen](https://www.youtube.com/c/blackpenredpen) 是台裔美籍，英文腔調有點重，最近有在經營中文頻道。是個微積分狂熱者，會介紹各種微積分解題技巧以及概念分析，內容比較偏向考試解題導向 5. [Stand-up Maths](https://www.youtube.com/user/standupmaths) 是一位把自己定位在喜劇演員的數學家。會透過stand-up comedy的形式講解數學模型在生活上的應用，例如[Dream到底有沒有作弊](https://www.youtube.com/watch?v=8Ko3TdPy0TU)、[為什麼美國只有37隻狗狗可以叫同一個名字](https://www.youtube.com/watch?v=jMxoGqsmk5Y) 6. [Mathologer](https://www.youtube.com/c/Mathologer) 可愛的大叔，每部影片會由淺入深講解一個數學定理，有很多數論相關的題目，類似學科能力競賽會出現的酷東東。 **網路論壇** [Mathematics Stack Exchange](https://math.stackexchange.com/) 數學界的stack overflow。這是一個問答交流的平台，大家可以在上面發問，也會有很多熱心的網友幫忙解答。可以先試著搜尋有沒有已經被問過的問題，如果真的找不到，也可以嘗試發問。以上是各種好用資源，提供給想入坑卻不知道怎麼開始的你。 ## Chap5 結語與致謝感謝你的閱讀!希望這篇文章能夠讓大家對於入坑數學的方法更有概念，在大家的心中埋下數學的種子。如果很討厭數學的你居然讀到這裡，我敬上我最高的佩服! 如果是已經入坑很久的電神，覺得這篇寫的很嫩，也請多批多鞭!!我不怕鞭，只怕明明還能精進卻毫不自覺。最後，感謝LHTL這堂課，讓我終於有機會結合課堂中的學習之道，寫出這篇構想很久卻一直沒有動筆的推坑大文。希望數學的美好能夠被更多人發現。 > 擁有全世界的知識王――數學，他所說的幾句話，讓許多人爭相前往學習數學的路上探險，「想要我的財寶嗎？想要的話就送給你吧！自己去找吧，我把全世界的寶藏都埋藏在那裡了」，於是，許多人爭相前往「偉大的數學航道」，並追逐著這個夢想，所以，當時的年代可以說是一個「大數學時代」。