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title: Elemente der Geschichte der Mathematik

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# Elemente der Geschichte der Mathematik
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# Podcast 1

## Der Plan
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* Wir geben einen groben Überblick über die Entwicklung der Mathematik von den frühesten anfängen bis zur Gegenwart. Wir werden diese in grobe Epochen unterteilen und diese in Bezug setzen mit der allgemeinen Weltgeschichte.
* Geschichte ist keine exakte Wissenschaft, siehe Schwierigkeiten der Rekonstruktion. Deshalb ist die Stoffauswahl oftmals subjektiv und wir werden persönliche Sichtweisen diskutieren.

Dazu ist folgendes hilfreich:

## Carl-Friedrich's Sichtweise auf die Mathematik
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Was ist Mathematik? Viele Antworten existieren.

Richard Courant und Herbert Robbins sagen
>  Es kann nicht Philosophie, sondern nur das Studium der mathematischen Substanz die Antwort auf die Frage geben: "Was ist Mathematik". 

Albrecht Beutelspacher gibt folgende Antworten
> 1. Mathematik ist der Versuch logische Zusammenhänge zu entdecken.
> 2. Mathematik ist eine Sammlung von Ideen.
> 3. Mathematik ist ein Werkzeug um die Welt zu beschreiben.
> 4. Mathematik ist eine Weise die Welt zu erfahren.

Roger Cooke meint
> We partition mathematical modes of thought into four categories. These are number, space, symbol, conclusion.

Carl Friedrich meint, dass dies die Zutataten sind aus denen Mathematik besteht. Doch diese *sind* nicht Mathematik so direkt.

Israel Kleiner sagt (diese Definition werden wir verwenden)
> Dies ist die 64.000 $ Frage, welche ich nicht beantworten werde, da ich die Antwort nicht weiß. [...] Mathematics is what mathematicians do. 
> 
CFK: Beschreibt auch die unterschiedlichen Arten, mit denen man Mathematik betreiben kann: Elementares Rechnen, tiefliegende Beweise, Empirie

Ein Witz von CFK zu dieser Definition:
> Um Rekursionen zu verstehen muss man zuerst Rekursionen verstehen.



Weitere Fragen:
1. Wird Mathematik entdeckt oder erfunden.
2. Ist Mathematik eine Natur- oder Geisteswissenschaft?

zu 
1. Nachdem die Axiome gegeben sind, werden Aussagen entdeckt. Andererseits verwenden wir Beweistechniken, was welche wir erfinden um Aussagen zu beweisen. CFK einigt sich darauf, dass Mathematik entwickelt wird: Wir hangeln uns von unserer Intuition zu einem rigorosen Beweis.
2. Abstrakte Mathematik findet im Geiste statt (wir beschäftigen uns mit der Poesie des Unendlichen). Aber von der Reproduzierbarkeit her, ist Mathematik eine Naturwissenschaft (eine zeitlose Wahrheit).

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# Podcast 2

## Grober Überblick über die Geschichte/Entwicklung der Mathematik
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Nach George Joseph (eurozentrische Perspektive)
* Griechische Antike
* Dunkle Zeit (Dark ages)
* Ab der Renaissance: Wiederentdeckung der Antike und kontinuierliche Entwicklung

Die Hochkulturen in Ägypten und Mesopotamien stehen bei uns am Anfang.
1. Ägypten:
    * Bruchrechnen, Lineare Gleichungen, Flächeninhalt/Volumen (sogar schon von Kreisen).
    * Erste Anzeichen von "reiner Mathematik".
3. Mesopotamien (das Zweistromland, Babylonische Mathematik):   
    * anwendungsorientierte Mathematik aber auch den Satz des Pythagoras (1000 Jahre vor Pythagoras!).
    *  Zahlendarstellung: Stellenwertsystem zur Basis 60 (viele Stammbrüche haben abbrechende Dezimaldarstellungen).

Nun zu Griechenland:
1. Neuartige Herangehensweise: systematisch und logisch deduktiv; die Beweise zentraler Bestandteil. Die praktische Problemlösung nicht im Vordergrund.
2. eng verwoben mit der Entstehung der Philosophie (Thales, Platon, ...).
3. Pythagoreer (gegründet von Pythagoras): "Weltanschauungsgemeinschaft". Alles im Universum lässt sich durch harmonische Zahlenverhältnisse darstellen. Teilte sich in
    * die "Höhrenden": folgten den Lehren Pythagoras 
    * den "Lernenden": durch eigene Studien die Natur besser zu verstehen, durch kritisches Denken: Annahme Pythagoras, dass sich alles durch rationale Zahlen darstellen lässt falsch ist -> tiefe Krise. 
5. Euklid:
    * Elemente (13 Bücher/Kapitel) über Geometrie und Zahlentheorie mit Definitionen, Axiomen, Sätze und Beweise (systematische, logische und didaktische Aufarbeitung).
   * Euklidischer Algorithmus, Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
6. Archimedes: 
    > Anmerkung: Elefanten über die Alpen sollten mehr Bestandteil der Popkultur sein als sie es sind......
    * Größere Anzahl mathematischer Durchbrüche von einer einzigen (echten) Person
        * approximation von Pi über regelmäßige n-Ecke (siehe Fakultätslogo)
    * Besonderheit: Überlieferung der Lösungswege mit Vorüberlegungen
        * Strenge (Euklid) und Kreativität (Drauf losrechnen, (physikalische) Überlegungen) bilden das komplette Bild der Mathematik (wichtig!)
            > Bücher die im Stil von Euklid geschrieben sind, kommen einen vor wie großartige Kathedralen von denen das Baugerüst entfernt wurde [...] aber man weis nicht in welcher Reihenfolge die Kathedrale errichtet wurde.         - Cooke
    * Pionir in der Physik/ Mechanik, Mathematik stagniert (Kommentieren statt Neuentwicklungen)
7. Diophantos von Alexandria
    * Polynomielle Gleichungen -> Erste Einführung einer Variablen für Polynome (oftmals ganzzahlige Lösungen -> Zahlentheorie und die Diophantischen Gleichungen)
    
    

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# Podcast 3
Wir sprechen über das Haus der Weisheit, welches um kurz nach 800 in Bagdad gegründet wurde. Der Auftrag dieses Hauses war es das gesamte Wissen zu bündeln und zu erweitern.

Carl Friedrich spricht über eine wichtige Person und verweist auf ein lateinisches Buch.... https://en.wikipedia.org/wiki/Muhammad_ibn_Musa_al-Khwarizmi
Namensherkunft von Algorithmus und Algebra aus zwei Werken.

Zur damaligen Zeit hatte man Probleme mit negativen Zahlen und mit Bewisen mit Formeln.
> Kein Algebra Text bis zur Renaissance zeige eine praktische Anwendung quadratischer Gleichungen im täglichen Leben obwohl manche Bücher solche Anwendungen behaupten würden - Cooke 

https://publications.parliament.uk/pa/cm200203/cmhansrd/vo030626/debtext/30626-21.htm

Wie werden Forschungsresultate viral, sodass sie die Zeiten überdauern? 

Fibonacci (ca. 1170-1240) wird auch Leonardo von Pisa genannt.
Langsamer Prozess zur Gründung von Universitäten(die ersten 1160, deutschsprachig 200 Jahre später), mit dem Niveau nicht zu vergleichen mit der heutigen Institution. Studium in 7 Bereichen mit anschließenden vertiefenden Bereichen.

Keine gute Zeit für die Wissenschaft, anarchische Zustände nach Tod des Kaisers. Nach Stabilisation der Lage, aufkommen einer Pestepedemie.

Renaissance (Übergang Mittelalter zu Neuzeit), bedarf nach neuerer und mehr Mathematik. (Mehr Handel -> Umrechnung von Einheiten, Buchhaltung, Schiffahrt, Architektur -> Geometrie zur Orientierung, Planung). Erfindung des Buchdrucks entscheidend für Reichweite der Publikationen
> 1470er Johannes Müller aus Königsberg: Trigonometrie, Vorhersagen der Gestirne für die nächsten 20 Jahre
> 1492: "Entdeckung Amerikas": Columbus
> 1496: Abendmahl: Da Vinci (Zentralprojektion)
> 1497: Seeweg nach Indien: Vasco Da Garma
> 1517: Anschlag der 95 Thesen Martin Luther
> 1518 + 1522: Bücher über Rechenkunst Adam Riese
> 1525: Anleitung zur Perspektive Albrecht Dürer
> 1539: Hauptwerk zur Entstehung der Notation Michael Stiefel 
> 1543: Heliozentrisches Weltbild Kopernikus

Rolle der Kirche in der Wissenschaftsgeschichte. Im Mitelalter durchaus positiv, Archive in den Klostern zum Studium und Kopieanfertigung. Mathematik hat wenig Konfliktpotential mit der Bibel, ganz im Gegensatz zu der Physik, vor allem Astronomie. Schwierigkeiten der inneren Reformation der Kirche um mit neuen Erkentnissen klar zu kommen -> Repression und Einschränkung der Wissenschaft.

Galilei (1564 - 1642) musste alle seine, korrekten, naturwissenschaftlichen Resulatet gegenüber der Kirche widerrufen. Bekannt als Physiker, versuch der Erklärung von Naturphänomenen. Mathematikprofessor an Universitäten. (Gab aber auch noch keine Physikprofessur) Zitat zur Beschreibung der damaligen Sicht der Mathematik als Sprache der Physik, heute würde man das anders formulieren:
> "Die Philosophie (Physik/Naturwissenschaft) ist in einem großen Buch geschrieben, das für uns immer offen da liegt um von uns betrachtet zu werden, damit meine ich das Universum. Aber dieses Buch kann nicht verstanden werden, es sei denn man lernt zunächst seine Sprache zu verstehen und die Buchstaben zu erkennen, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben und seine Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren, ohne die man nicht einen Satz versteht, ohne diese wandert man verloren in einem dunklen Labyrinth."
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# Podcast 4
## Mathematik während der wissenschaftlichen Revolution (17.Jahrhundert, besonders grundlegend und fundamental)
Keine klassische Revolution, sondern sehr rasche und fundamentale Weiterentwicklung der Wissenschaft und deren weltpolitisches Ansehen.

Die wichtigsten Personen in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts
* Rene Descartes (1596-1650): in erster Linie Philosoph (cogito ergo sum). Aber er hatte auch zu tun mit Analytischer Geometrie, vorallem Koordinaten Systeme. Er formulierte vier Regeln wie man Probleme in den Naturwissenschaften angehen sollte. 
    1. Niemals eine Sache als wahr anzuerkennen von der ich nicht evidentermaßen erkenne, dass sie wahr ist.
    2. Jedes Problem das ich untersuchen würde in so viele Teile zu teilen wie es möglich und wie es nötig ist um es leichter zu lösen. 
* Piere de Fermat (1607-1665): Analytische Geometrie:
    1.  Strecke und Fläche als Zahlen, sowie deren Beziehungen (Rechteck mit Einheitsseite).
    2.  Lösungsmengen von algebraischen Gleichungen in zwei Variablen und Tangenten an Kurven
    
    Er hatte nie eine mathematische Abhandlung veröffentlicht, sondern korrespondierte mit Kollegen über Briefe. Hauptberuflich war er Richter.
* Blaise Pascal (1623-1662): Geometrie, Pascal'sches Dreieck (Induktionsbeweis), Erfindung einer mechanische Rechenmaschine, Luftdruck 

Die letzten zwei sind Teil der vier Väter der Wahrscheinlichkeitsrechung (entstanden aus dem Glücksspiel).
Desweiteren
* Christiaan Huygens (1629 - 1695)
* Gerolamo Cardano (1501 - 1576)

## Formalisierung der infenitesimal Rechnung
Erfindung als Wasserscheide in der Entwicklung der Mathematik. Grundelemente seit der Antike bekannt. Die Rohmaterialien waren vorhanden und mussten noch fokusiert werden: 
* Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
    * Zunächst Philosoph und Wunderkind
    * Begegnung mit Huygens bringt ihn um 1670 zur Mathematik
    * Sein Bezug zu calculus ist geometrisch, über Tangenten etc.
* Sir Isaac Newton (1642/43 - 1726/27)
    * Epedemie bringt ihn aufs Land, wo er seine Werke verfasste.
    * Starke physikalische Parallelen in der Mathematik -> calculus physikalisch betrachtet.

Prioritätsstreit zwischen den beiden, wegen nahezu gleicher Erstpublikation. (Viel menschliches Drama... mit Nachwirkungen)

Die mathematische Weiterentwicklung nimmt Fahrt auf und wird diverser.

Schweizer Mathematikerfamilie: Bernoulli.
* Brüder Jakob und Johan
    * Aufgabe: Popularisierung von calculus auf dem europ. Festland
    * Jakob: Viel Wahrscheinlichkeitstheorie, die erste Erwähnung vom Integralbegriff, Beginn von Variationsrechnung, B. Diff. Gl.
    * Johan: Reiste und unterrichtete viel, Schüler unteranderem Leonhard Euler, L'Hospital
* Daniel (Jakobs Sohn)
    * Physiker


# Podcast 5 - Euler bis Gauß
Leonard Euler (1707-1783)
* aus Basel, Schweiz
* dominante Figur der Mathematik im 18. Jahrhundert
* wurde von Johann Bernoulli unterrichtet
* 1727 in St. Petersburg, Kollege von Daniel Bernoulli
* arbeit unerbittlich weiter nachdem er blind geworden war (Beethoven der Mathematik?)
* arbeitete in allen Gebieten der Mathematik (Analysis, analytische Zahlentheorie, Geometrie, Strömungsmechanik, Numerik, Graphentheorie,....)

Umstellung: Mathematiker sind jetzt vermehrt an staatlichen Instituten, weniger Privatgelehrten.
Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Monge (1746 - 1818)

Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
* äußerst vielseitiger Mathematiker
* Lebenslang in Göttingen, Zentrum für mathematische Forschung für 130 Jahre
* führte ausführliches Tagebuch über seine Forschung
* war perfektionist; publizierte nie unvollendete Schriften
* publizierte zu Beginn auf Latein, dann deutsch und später englisch
* legitimierte die komplexen Zahlen durch den fundamentalsatz der Algebra (Dissertation)
* Zahlentheorie: Quadratisches Reziprozitätsgesetz
* Physik: Elektromagnetismus, Astronomie
* W-Theorie: Normalverteilung
* Geometrie: regelmäßiges p-Eck ist konstruierbar (mit Zirkel und Lineal) <-> p ist eine Fermat Primzahl
* Differentialgeometrie: Krümmung -> Theorema Egregium
* Geodäsie -> Königreich Hannover vermessen
* ~1815: Einsicht, dass es Geometrien gibt, welche nicht dem Parallelenaxiom gehorchen
 
# Podcast 6 - Mehr zum neunzehnten Jahrhundert
* Cardano: Lösungsformeln für polynomgleichungen 3. und 4. Grades
    >Galois und Abel: für grad >=5 gibt es eine solche nicht!
    >Ideen von Vandermonde, Lagrange
    >1799 Ruffini: entwickelte einen ersten Beweisversuch
    >Cauchy nahm Ideen auf
    >Abel: modifizierte Ruffinis Beweis (nichtkonstruktiver Beweis)
* Abel: Geboren im ländlichen Norwegen, arme Verhältnisse, Stipendien fürs Studium mit Forschungsreise durch Europa: Nicht gut, viele verschlossene Türen, insbesondere bei Cauchy. Mit Tuberkulose zurück nach Oslo, keine stabile Stelle. Folgender Tod mit 27. Grundlegende Arbeit in der Analysis, kritische Betrachtung von Reihen.
    >Galoistheorie: gibt auf die Frage ob eine Faktorisierung in Nullstellen möglich ist eine zufriedenstellende Antwort (konstruktiv)
* Galois: Nicht unkomplizierter Schüler/Mensch, Hang zur Rebellion. Frühe Veröffentlichung aber auch viele Ablehnungen, da zu konfus aufgeschrieben. Selbstmord des Vaters und französische Revolution warfen ihn aus der Bahn, wurde aktiv in der Politik. Schrieb vor seinem Duell einen Brief an seinen Freund: Ideen der Galois Theorie. Liouville veröffentlichte die Artikel 10 jahre später mit Erläuterungen. Erfand den Begriff "Gruppe".
* Cauchy (1789 - 1857): Hatte eine Gabe sich bei seinen Kollegen unbeliebt zu machen. Intolleranz. Kein freundlicher Mensch, aber sehr erfolgreicher Forscher.
    > Cauchy ist verrückt aber er ist der Einzige der Mathematik so behandelt wie sie behandelt werden sollte - Abel
    > 
    Epochales Lehrbuch: Cours des analysis: Stetigkeitsbegriff, Mittelwertsatz, Zwischenwertsatz... Vater der Funktionentheorie. Fast so viele Einzelveröffentlichungen wie Euler. War so bedeutend wie Gauß. Einfluss in der Physik.
* Fourier (1768-1830): Politischer Einfluss, Analytische Theorie der Wärme -> Wärmeleitungsgleichung -> Fourierreihen, Bifurcation of Analysis: Unabhängige Weiterentwicklung von komplexer und reeller Analysis. Lebesgue, Dirichlet, Cantor beschäftigen sich mit Konvergenz von Fourierreihen.

Unübersichtliche und schnelle Weiterentwicklung im 19 jahrhundert
* Poisson: arbeitete an vielen kleineren Problemen, Poisson Gleichung, Poisson Klammern
* Plücker, Steiner: Projektive Geometrie
* Möbius: Topologie, Geometrie, Möbiusband
* Grassmann (1809-1877): Außenseitergeschichte: Gymnasiallehrer und isoliert. Begründer der linearen Algebra (Vektorraum Struktur): Buch geschrieben, das kaum leser fand, aufgrund der falschen Darstellungsweise (Auch Umschreibung hilf nicht wirklich). Hamilton war der Erste, der Grassmanns Arbeiten verstand 
* Hankel: Erfund die moderne Definition einer Funktion, Gelangte über Hamilton an das Buch von Grasmann, nahm Kontakt auf, dass er in sein Buch aufnahm. Dieses Buch gelang in die Hände von Felix Klein und die Theorie von Grassmann wurde verstanden.  

# Podcast 7 - Jetzt in Great Britain
* William Rowan Hamilton (1805-1865): Quaternionen, theoretische Mechanik, Hamilton Systeme (dynamische Systeme), Spezialfall des Satzen von Calay-Hamilton
* Augustus De Morgan (1806-1871): De Morgan'sche Gesetze, Begriff des Induktionsbeweises, 
* James Joseph Sylvester (1814-1897): bekam lange keine Universitätsstelle (er war Jude), 
* George Boole (1815-1864): Boolesche Algebra (algebraisierung der Logik)
* Arthur Cayley (1821-1895): Gruppe als Strukturbegriff, Oktonionen, war Rechtsanwalt und Freizeitmathematiker, Freund von Sylvester, 
* Joseph Liouville (1809-1882): negativ Resultat über die Integrierbarkeit elementarer Funktionen, Beweis der ersten transzendenten Zahl (n! Stelle eine 1 und sonst 0), 
* Leopold Kronecker (1823-1891): Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (endlichen Fall), Konstruktivist (passioniert), Problem mit Kantor, wegen seiner Mengenlehre und transzendenten Zahlen
* Ernst Eduard Kummer (1810-1893): Fermat'sche Vermutung für alle regulären Primzahlen, Ideal im Ring, 
* Karl Weierstraß (1815-1897): Prägte die Art Analysis zu unterrichten (Weierstraßsche Stränge), Studentin: Sofja Wassiljewna Kowalewskaja (1850 - 1891),
* Tschebyscheff (1821-1894): Approximationstheorie, Ungleichung, schwache Gesetz der großen Zahlen
* Markov (1856-1922):
* Kolmogorov (1903-1987): Maßtheoretische Wahrscheinlichkeitstheorie.