---
# System prepended metadata

title: Untitled

---

Om du har ett differentialekvations system där $x'(t)$ är beskrivet med en linjärkombination av $x(t)$ och $u(t)$ där u(t) är insignalen. 

Exempel: 
$$x_1'(t) = -1x_1(t) + 2x_2(t) -u(t)$$ $$x_2'(t) = 2x_1(t) + 1x_2(t)+u(t)$$

och systemets utsignal $y(t)$ beskrivs med en linjärkombination av $x(t)$ och $u(t)$. Då kan vi beskriva systemets överföringsfunktion mellan in och utsignal, samt systemets poler m.h.a formelsamlingen. DVS, kan skapa matriser $A$, $B$, $C$ och $D$ så att ekvationerna 

$$x'(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$$$y(t) := utsignal$$$$u(t) := insignal/referenssignal/styrsignal$$
gäller. Då kan du använda formelsamlingens formler för överföringsfunktion $G(s)$, och polerna kan tas fram med $$det(sI-A)=0$$.

Ett exempel:
Du har följande ekvationer
$$x_1'(t) = -1x_1(t) + 2x_2(t) -u(t)$$ $$x_2'(t) = 2x_1(t) + 1x_2(t)+u(t)$$

$$y(t)=4x_1(t)+u(t)$$
Ta reda på systemets poler:
Då kollar vi och ser att systemet kan beskrivas med matriser på formen:

$$x'(t)=Ax(t)+Bu(t)$$ $$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$.
Det betyder att vi får polerna med formeln $$det(sI-A)=0$$.

I vårt fall är $$A = [-1, 2; 2, 1]$$

Ekvationerna kan krånglas till lite, men sålänge du kan skriva systemet med matriserna A, B, C, D och in och utsignal, så är det korrekt. Kan du inte skriva systemet med A, B, C, D så är systemet inte linjärt. Ett exempel är om utsignalen $u(t)$ är beskrivet med något annat, typ $p(t)$ där $$u(t)=2p(t)-x_1(t)$$. Här måste du byta ut alla $p(t)$ mot $u(t)$, så att du får sambandet mellan insignal och utsignal. Annars beskriver du sambandet mellan signal $p(t)$ och $y(t)$. Då ger dig formlerna överförings signalen mellan $p(t)$ och $y(t)$, och polerna för detta system. 

$$x_1'(t)= ax_1(t)+bx_2(t)+u(t)$$$$x_2'(t)= cx_1(t)+dx_2(t)+u(t)$$