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title: Lógica proposicional
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# Lógica proposicional
### Notas de aula. Prof. Ed.

## proposição
- Uma sentença ao qual podemos atribuir um valor lógico **VERDADEIRO** ou **FALSO**
- É uma sentença declarativa, seja ela expressa de forma afirmativa ou negativa, na qual podemos atribuir um valor lógico **“V” (verdadeiro)** ou **“F”(falso)**
    - Ex:
        - **Brasília é a capital do Brasil. [  x  ]**
        - **10 < 4 [  x  ]**
        - **Uva é uma fruta [ x  ]**
        - **17 é um número ímpar [ x ]**
        - Ele caiu no balcão [    ]
        - Será divertido [    ]
        - O time perdeu [    ]
        - Vai chover amanhça [    ]
        - Qual o seu nome? [    ]
        - Socorro! [    ]
            -    As marcadas com `x` são proposições
    - Exemplos de sentenças que _não são_ proposições são:
        - _Sentenças Interrogativas_: Ex; “Como você se chama”?
        - _Sentenças Imperativas_: Ex; ”Venha aqui rápido.”
        - _Sentenças Exclamativas_:  Ex; “Opa!”
        - _Poemas_
        - _Sentenças abertas_: Como já fora dito; Ex ;” x <7”

## Axiomas
- **Princípio da identidade**. _Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa_
- **Princípio de não-contradição**. _Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente._
- **Princípio do terceiro excluído**. _Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira possibilidade._

## Tipos de proposições
- **proposições simples**.
- **proposições complexas**. São formadas pela combinação de duas ou mais proposições.
    - **p**: `Brasília é a capital do Brasil`
    - **q**: `Uva é uma fruta`
- **Conectivo lógico**: concatena as proposições simples.
    - Ex:
        - **SE** Brasília é a capital do Brasil **ENTÃO** Uva é uma fruta
        - 10 < 4 **OU** 17 é um número ímpar.
    
- **Representação das proposições**: As proposições são representadas por letras minúsculas. Geralmente “p”, “q”, “r” e “s”.

## Conectivos lógicos
- **NÃO**. Usado para **NEGAR** uma proposição. Ex: "O sol é uma estrela"; " O sol NÃO é uma estrela"
- **E**: é conhecida como **CONJUNÇÃO**. É usado para realizar a conexão entre duas proposições. Ex: "O número 20 é par **E** o número 13 é ímpar"
- **OU**: conhecido como **DISJUNÇÃO**. Expressa a disjunção entre duas proposições. Ex: "Neste ano eu vou comer doce **OU** salgado"
- **SE...ENTÃO**: expressa uma condição para que algo ocorra ou não. Por exemplo: "**SE** eu estudar, **ENTÃO** eu passo na prova".
- **SE E SOMENTE SE**: Expressa uma condição única de determinada ocorrência. Ex: "Portugal é um país europeu **SE E SOMENTE SE** o Sol é uma estrela"

### Símbolos usados para expressar os concectivos lógicos
| Conectivo | Símbolo | Outra representação|
|-----------|---------|------ |
| NÃO | ~ | $\neg$ |
| E | ^ | $\land$|
| OU | v | $\lor$|
| SE ... ENTÃO | --> | $\to$ |
| SE E SOMENTE SE | <---> | $\leftrightarrow$ |

## Exemplos de sentenças declarativas
- **conectivo NÃO**:
    - `~p`: ("não p")
    - Sempre que uma afirmação for verdadeira, a negação é falsa; quando for falsa, a negação é verdadeira.
    - Ex: 
        - `p`: Hugo é jogador de futebol
        - `~p`: NÃO É VERDADE que Hugo é jogador de futebol.
        - OBS: também existe a representação $ \neg p$ para negar a proposição `p`
- **conectivo E**: Só é verdadeiro quando as duas proposições forem verdadeiras. Caso contrário será falsa.
    - Ex:
        - `p`: a terra é redonda
        - `q:` 3 < 15
        - $p\land q$: A terra é redonda E 3 <15. ===> `V ^ V = V`
- **Conectivo OU**:
    - O valor lógico gerado será VERDADEIRO quando UMA das proposições for VERDADEIRA. Caso conrtrário será FALSO.
    - Ex:
        - `p`: Tóquio é a capital da Bolívia
        - `q`: 3,141592 é um número inteiro.
        - $p \lor q$: Tóquio é a capital da Bolívia OU 3,141592 é um número inteiro. ===> `F v F = F`
- **Conectivo SE...ENTÃO**:
    - Lê-se "SE p ENTÃO q". O valor lógico será FALSO _somente_ se p for VERDADEIRO e q FALSO.
    - Ex:
        - `p`: O ano tem 12 meses;
        - `q`: São Paulo fica na região sul.
        - $p \to q$: Se o ano tem 12 meses então São Paulo fica na regão Sul". ===> $V \to F = F$
- **Conectivo SE E SOMENTE SE**:
    - Bicondicional. É lida "p SE E SOMENTE SE q". O valor lógico gerado será VERDADEIRO quando ambas forem verdadeiras ou quando ambas forem falsas. Nos demais casos será sempre falso.
        - `p`: Python é uma linguagem de programação
        - `q`: MySQL é um sistema gerenciador de bancos de dados.
        - $p \leftrightarrow q$: Python é uma linguagem de Programação SE E SOMENTE SE MySQL é um sistema gerenciador de bancos de dados. $V \leftrightarrow V = V$

- $P: (p \land q \land r) \to s$

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