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tags: Mundo Mejor, 3ro Secundaria, 2020
title: OPERACIONES CON POLINOMIOS REPASO
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# Operaciones con Polinomios REPASO

##

<span class="caja">Solución</span>

Primero resolvemos la suma:
$$
(2x-x^2+x^3) {\Large\ +\ } (x^2-x^3+3) \\[10pt]
= 2x+3
$$

Ahora restamos:
$$
(3x^2+x+6) - (3x^2-x-1) \\[10pt]
3x^2+x+6 -3x^2 + x + 1 \\[10pt]
=2x+7
$$

Multiplicamos los 2 resultados:

$$
\begin{align*}
(2x+3)(2x+7) &= 4x^2+6x+14x+21 \\[10pt]
&= 4x^2+20x+21
\end{align*}
$$

Restamos:

$$
4x^2 + 20x +21 - 4x(x+5) \\[10pt]
=4x^2 + 20x +21 - 4x^2 -20x \\[10pt]
=21
$$

<span class="caja">Rpta: 21</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\times & 2 & \color{blue}{-5} & -3 & 4 & \color{blue}{-1} \\
\hline
1 & \color{blue}{2} & -5 & \color{blue}{-3} & \color{blue}{4} & -1 \\
\hline
\color{blue}{-2} & \color{blue}{-4} & \color{blue}{10} & 6 & \color{blue}{-8} & \color{blue}{2} \\
\hline
\color{blue}{-1} & \color{blue}{-2} & \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & -4 & \color{blue}{1} \\
\hline
\end{array}
$$

Producto: $2x^6 -9x^5 +5x^4 +15x^3 -6x^2 -2x + 1$

Suma de Coef.: $2-9+5+15-6-2+1 = 6$

<span class="caja">Rpta: a</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Multiplicando:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\times & 1 & 1 & 1 \\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
\hline
3 & 3 & 3 & 3 \\
\hline
\end{array}
$$

El producto es: $x^3+4x^2+4x+3$

Entonces:
$$
x^3+4x^2+4x+3 \equiv x^3+ax^2+bx+c
$$

Por comparación:
$$
\boxed{a = 4} \quad \boxed{b=4} \quad \boxed{c=3}
$$

Nos piden: $4+4-3 = 5$

<span class="caja">Rpta: c</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Multiplicamos por partes:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\times & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
\hline
-2 & -6 & -4 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\hline
4 & 12 & 8 & 0 & 0 & 0 & -4 \\
\hline
3 & 9 & 6 & 0 & 0 & 0 & -3 \\
\hline
\end{array}
$$

Resultado: $-6x^7 + 8x^6 + 17x^5 + 6x^4 +2x^2 -4x -3$

Multiplicamos por el último factor:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\times & -6 & 8 & 17 & 6 & 0 & 2 & -4 & -3 \\
\hline
1 & -6 & 8 & 17 & 6 & 0 & 2 & -4 & -3 \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & -6 & 8 & 17 & 6 & 0 & 2 & -4 & -3 \\
\hline
\end{array}
$$

Producto final: $-6x^9 + 8x^8 + 11x^7 + 14x^6 + 17x^5 + 8x^4 -4x^3 -x^2 -4x -3$

Coeficiente del término de grado 5: $17$

<span class="caja">Rpta: c</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

* El grado del producto es igual a la suma del grado de los factores.

$$
\underbrace{\overbrace{(x^{22}+1)}^{22} \overbrace{(x^{23}+1)}^{23} \overbrace{(x^{24}+1)}^{24}...}_{20\ factores}
$$

Entonces el grado del producto final es:

$$
\underbrace{22 + 23 + 24 + ... + 41}_{20\ sumandos}
$$

Por sumatorias tenemos:

$$
\begin{align*}
&= \frac{41(41+1)}{2} - \frac{21(21+1)}{2} \\[10pt]
&= 41 \times 21 - 21 \times 11 \\[10pt]
&= 21(41 - 11) \\[10pt]
&= 21(30) \\[10pt]
&= 630
\end{align*}
$$

<span class="caja">Rpta: c</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Aplicando Ruffini:

$$
\begin{array}{r|rrrcr|r}
& 2 & 0 & -6 & k & 0 & -7 \\[10pt]
3 & \big\downarrow & 6 & 18 & 36 & ... & ... \\
\hline
& 2 & 6 & 12 & k+36 & ... & ... \\
\end{array} \\
\qquad \ \underbrace{\qquad \quad}_{término\ lineal}
$$

Entonces:
$$
\begin{align*}
k+36 &= -45 \\
k &= -45 - 36 \\
k &= -81
\end{align*}
$$

Nos piden: $\sqrt{-(-81)} = \sqrt{81} = 9$

<span class="caja">Rpta: c</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Usamos el Método de Horner:

$$
\begin{array}{r|rr|rrr}
1 & 3 & 2 & -2 & 0 & -2 \\[10pt]
\hline
-2 & & -6 & 0 & 9 & \\[5pt]
0 & & & 8 & 0 & -12 \\[5pt]
3 & & & & & \\[5pt]
\hline
& 3 & -4 & 6 & 9 & -14 \\
\end{array}\\
\qquad \; \underbrace{ \qquad \quad}_{cociente} \qquad \underbrace{\qquad \quad \qquad}_{residuo}
$$

Cociente:
$Q(x) = 3x-4$

Residuo:
$R(x) = 6x^2+9x-14$

Nos piden:
$(R+Q)_{(x)} = 6x^2+9x-14 {\ \Large +\ } 3x-4$

$(R+Q)_{(x)} = 6x^2+12x-18$

Factorizamos (aspa simple):
$\begin{align*}
6(&x^2+2x -3 ) \\
&x \qquad \;\;\;\;\;\;\; 3 \\
&x \qquad \;\;\; -1
\end{align*}$

$= 6(x+3)(x-1)$

<span class="caja">Rpta: e</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Usamos el Método de Horner, colocando los coefientes del residuo que nos dan de dato:

$$
\begin{array}{r|rrr|cc}
1 & 2 & 0 & -6 & m & n \\[10pt]
\hline
1 & & 2 & 6 & & \\[5pt]
3 & & & 2 & 6 & \\[5pt]
& & & & 2 & 6 \\[5pt]
\hline
& 2 & 2 & 2 & 5 & 10 \\
\end{array}\\
\hspace{3.5cm} \underbrace{\qquad \quad}_{residuo}
$$

Entonces tenemos:
$m + 6 + 2 = 5 \hspace{1cm} \Longrightarrow \boxed{m = -3}$

$n + 6 = 10 \hspace{1.7cm} \Longrightarrow \boxed{n = 4}$

Nos piden:
$m+n = 1$

<span class="caja">Rpta: No hay clave</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Usando el Teorema del Resto:

$$
Q(x) = 0 \qquad \Longrightarrow \quad x = \sqrt{7}
$$

El resto sería:

$$
\begin{align*}
P(\sqrt{7}) &= (\sqrt{7})^3 + (-2-\sqrt{7})(\sqrt{7})^2+(2\sqrt{7}-15)(\sqrt{7})+15\sqrt{7} + m \\[10pt]
&=7\sqrt{7} + (-2-\sqrt{7})(7) + 2 \times 7 - 15\sqrt{7}+15\sqrt{7}+m \\[10pt]
&= 7\sqrt{7} -14 - 7\sqrt{7} + 14 + m \\[10pt]
&= m
\end{align*}
$$

Entonces con el dato del problema:

$$
\begin{align*}
3m-8 &= m \\[5pt]
3m-m &= 8 \\[5pt]
2m &= 8 \\[5pt]
m &= 4
\end{align*}
$$

<span class="caja">Rpta: d</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Aplicando Ruffini:

$$
\begin{array}{r|rrrr|r}
& 6 & -13 & -1 & -2 & -7 \\[10pt]
\dfrac{5}{2} & \big\downarrow & 15 & 5 & 10 & 20 \\
\hline
& 6 & 2 & 4 & 8 & 13 \\
\div 2 & & & & & \\
\hline
& 3 & 1 & 2 & 4 &
\end{array}
$$

Cociente:
$Q(x) = 3x^3 + x^2 + 2x + 4$

Suma de Coeficientes: $10$

<span class="caja">Rpta: a</span>