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tags: Mundo Mejor, 3ro Secundaria, 2020
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# Operaciones con Polinomios - Extensión

##


<span class="caja">Solución</span>

Hallamos $4A - 2C$ de manera alineada:

$$
\begin{array}{rccccc}
4A = & 20x^4 & +12x^3 & +32x^2 & -24x & +16 \\
-2C = & -4x^4 & - 10x^3 & & - 6x & - 2 \\
\hline
4A - 2C = & 16x^4 & +2x^3 & +32x^2 & -30x & +14
\end{array}
$$

Hallamos $D - 3B$ de manera alineada:

$$
\begin{array}{rccccc}
D = & 9x^4 & & +7x^2 & -6x & \\
-3B = & -12x^4 & - 12x^3 & -6x^2 & & +6 \\
\hline
D - 3B = & -3x^4 & -12x^3 & +x^2 & -6x & +6
\end{array}
$$

Sumamos los resultados:

$$
\begin{array}{rccccc}
4A - 2C = & 16x^4 & +2x^3 & +32x^2 & -30x & +14 \\
D - 3B = & -3x^4 & - 12x^3 & +x^2 & -6x & +6 \\
\hline
4A - 2C + (D - 3B) = & 13x^4 & -10x^3 & +33x^2 & -36x & + 20
\end{array}
$$

##

<span class="caja">Solución</span>

Nos piden una resta(exceso):

$$
\begin{align*}
&= 2x^3 + 4x^2 + 3x - 6 - (2x^3 + 2x^2 -2x -9) \\
&=\color{red}{2x^3} \color{blue}{+4x^2} \color{green}{+3x} - 6 \color{red}{-2x^3} \color{blue}{-2x^2} \color{green}{+2x} + 9 \\
&= 2x^2 + 5x + 3
\end{align*}
$$

##

<span class="caja">Solución</span>

Ordenamos y restamos:

$$
\begin{align*}
&= 7x^4 +8x^3 +9x^2 +6x +4 - (4x^3 +x^2 -2x -3) \\
&= \color{red}{7x^4} \color{blue}{+8x^3} \color{green}{+9x^2} \color{brown}{+6x} +4 \color{blue}{-4x^3} \color{green}{-x^2} \color{brown}{+2x} +3 \\
&= 7x^4 +4x^3 +8x^2 +8x +7
\end{align*}
$$

##

<span class="caja">Solución</span>

$$
\begin{array}{lllllll}
& & & +5x^4 & -3x^2 & +11x & -7 \;\times \\
& & & & +3x^3 & -2x & +5 \\
\hline
& & +25x^4 & & -15x^2 & +55x & -35 \;\;\;+ \\
& -10x^5 & & +6x^3 & -22x^2 & +14x & \\
+15x^7 & -9x^5 & +33x^4 & -21x^3 & & & \\
\hline
\;\;\; 15x^7 & -19x^5 & +58x^4 & -15x^3 & -37x^2 & +69x & -35
\end{array}
$$

**Rpta:** El coeficiente de $x^4$ es $58$

##

<span class="caja">Solución</span>

Verificamos que los polinomios estén completos y ordenados, aplicamos el método de Ruffini:

$$
\begin{array}{r|cccc|c}
& 8 & 2 & 3 & -13 & 8 \\[10pt]
\dfrac{1}{4} & \big\downarrow & 2 & 1 & 1 & -3 \\
\hline
& 8 & 4 & 4 & -12 & 5 \\
\div 4 & & & & & \\
\hline
& 2 & 1 & 1 & -3 &
\end{array}
$$

Cociente:
$Q(x) = 2x^3 + x^2 + x - 3$

Suma de coeficientes del cociente:
$2 + 1 + 1 - 3 = 1$

<span class="caja">Rpta: d</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Verificamos que los polinomios están completos y ordenados y aplicamos el método de Horner:

$$
\begin{array}{r|rrrr|rrr}
1 & 6 & -3 & 2 & 33 & 8 & -6 & 4 \\[10pt]
\hline
2 & & 12 & -18 & -6 & & & \\
-3 & & & 18 & -27 & -9 & & \\
-1 & & & & 4 & -6 & 2 & \\
& & & & & 8 & -12 & -4 \\
\hline
& 6 & 9 & 2 & 4 & 1 & -20 & 0 \\
\end{array}\\
\qquad \;\; \underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad}_{cociente} \qquad\underbrace{\qquad \qquad \qquad}_{residuo}
$$

Cociente:
$Q(x) = 6x^3 + 9x^2 + 2x + 4$

Residuo:
$R(x) = x^2 - 20x$

<span class="caja">Rpta: c</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Verificamos que los polinomios están completos y ordenados, aplicamos el método de Ruffini:

$$
\begin{array}{r|cccccc|c}
& 6 & 5 & -4 & 7 & 12 & 13 & 18 \\[10pt]
-\dfrac{3}{2} & \big\downarrow & -9 & 6 & -3 & -6 & -9 & -6 \\
\hline
& 6 & -4 & 2 & 4 & 6 & 4 & 12\\
\div 2 & & & & & \\
\hline
& 3 & -2 & 1 & 2 & 3 & 2 &
\end{array}
$$

Cociente:
$Q(x) = 3x^5 - 2x^4 + x^3 + 2x^2 + 3x + 2$

Término Independiente del cociente: $2$

<span class="caja">Rpta: c</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Verificamos que los polinomios están completos y ordenados, aplicamos el método de Ruffini:

$$
\begin{array}{r|rrrrr|r}
& 1 & 1 & -11 & 5 & 1 & 10 \\[10pt]
-4 & \big\downarrow & -4 & 12 & -4 & -4 & 12 \\
\hline
& 1 & -3 & 1 & 1 & -3 &22\\
\end{array}
$$

Cociente:
$Q(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + x - 3$

Residuo:
$R(x) = 22$

Suma de coeficientes del cociente:
$=1 -3 +1 +1 -3 = -3$

<span class="caja">Rpta: N.A</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Aplicamos el teorema del resto:
$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2$

Reemplazamos:

$R = (-2 + 3)^7 + [(-2)^2 -(-2) -7]^8 -(-2) -2$

$R = (1)^7 + [4 +2 -7]^8 +2 -2$

$R = 1 + [-1]^8$

$R = 1 + 1$

$R = 2$

<span class="caja">Rpta: b</span>

##

<span class="caja">Solución</span>

Aplicamos el Teorema del Resto convenientemente:
$x^5 + 3 = 0 \qquad \Rightarrow \quad x^5 = -3$

Transformamos el dividendo:
$6(x^5)^8 + 18(x^5)^7 + 5(x^5)^5 + 15(x^5)^4 + (x^5) + 7$

Reemplazamos:
$R = 6(-3)^8 + 18(-3)^7 + 5(-3)^5 + 15(-3)^4 + (-3) + 7$

$R = (-3)^7(6 \times -3 + 18) + (-3)^4(5\times-3 + 15) -3 + 7$

$R = (-3)^7(-18 + 18) + (-3)^4(-15 + 15) +4$

$R = (-3)^7(0) + (-3)^4(0) +4$

$R = 4$

<span class="caja">Rpta: a</span>