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tags: Mundo Mejor, 3ro Secundaria, 2020
title: Factorización
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# Factorización - Nivel II

## Pregunta 1

==Solución==

Factor común: $\large \mathbf{a^2x^2y^3}$

Factorizando:
$$
\large
a^2x^2y^3 \left( a^3x^2 - xy^4 + a^4y - a^5 \right)
$$

==Rpta: a==

## Pregunta 2

==Solución==

Descomponiendo adecuadamente:
$\large 3x^{m+2p}y^{n} + 2\cdot3x^{m+p}y^{n+q}+3x^my^{n+q}$

Factor común: $\large \mathbf{3x^my^n}$

Factorizando:
$$
\large
\begin{align*}
& 3x^my^n \left( x^{2p} + 2x^py^q + y^q \right) \\[10pt]
\end{align*}
$$

==Rpta: e==

## Pregunta 3

==Solución==

$$
\begin{align*}
\large
&= a^2\color{red}{(b+c)}-c^2(a+c)-\color{red}{(b+c)} \\[10pt]
&= (b+c)(a^2-1)-c^2(a+c)
\end{align*}
$$

==Rpta: La expresión es irreducible==

## Pregunta 4

==Solución==

Transformando y aplicando diferencia de cuadrados:
$$
\large
\begin{align*}
&= (a+b)(a+b-c) - (c+a)[-(a+b-c)]+(a+b+c)(a+b-c) \\[10pt]
&= (a+b)\color{red}{(a+b-c)} + (c+a)\color{red}{(a+b-c)}+(a+b+c)\color{red}{(a+b-c)} \\[10pt]
&= (a+b-c)(a+b + c+a + a+b+c) \\[10pt]
&= (a+b-c)(3a+2b + 2c) \\[10pt]
\end{align*}
$$

==Rpta: a==

## Pregunta 5

==Solución==

Factorizando por agrupación:
$$
\large
\begin{align*}
&= 4x^2\color{red}{(2x-3)} - \color{red}{(2x-3)} \\[10pt]
&= (2x-3)(4x^2-1) \\[10pt]
\end{align*}
$$

Aplicando diferencia de cuadrados:
$$
\large
\begin{align*}
&= (2x-3)[(2x)^2-1^2] \\[10pt]
&= (2x-3)(2x-1)(2x+1) \\[10pt]
\end{align*}
$$

$\therefore$ Resultan 3 factores.

==Rpta: d==

## Pregunta 6

==Solución==

Factorizando por agrupación:
$$
\large
\begin{align*}
&= x^2\color{red}{(x-y)} + y^2\color{red}{(x-y)} \\[10pt]
&= (x-y)(x^2+y^2)
\end{align*}
$$

$\therefore$ Un factor es: $(x^2+y^2)$

==Rpta: b==

## Pregunta 7

==Solución==

Factorizamos cada factor por separado:
$$
\large
\begin{align*}
% Primer factor
x^2-xy-xz+yz &= x(x-y)-z(x-y) \\[10pt]
&= (x-y)(x-z) \\[20pt]
% Segundo factor
-y^2-xz+yx+yz &= yx-y^2-xz+yz \\[10pt]
&= y(x-y)-z(x-y) \\[10pt]
&= (x-y)(y-z) \\[20pt]
% Tercer factor
xy+z^2-yz-xz &= z^2-yz+xy-xz \\[10pt]
&= z(z-y)+x(y-z) \\[10pt]
&= -z(y-z)+x(y-z) \\[10pt]
&= (y-z)(x-z)
\end{align*}
$$

Juntando todos los factores:
$$
\large
\begin{align*}
&(x-y)(x-z)(x-y)(y-z)(y-z)(x-z) \\[10pt]
&(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2
\end{align*}
$$

Nos piden:
$$
\sqrt{(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2} = (x-y)(x-z)(y-z)
$$

==Rpta: c==

## Pregunta 8

==Solución==

Ordenando adecuadamente y factorizando por agrupación:
$$
\large
\begin{align*}
&= x^{n+2}-x^n+x^3+x^2-x-1 \\[10pt]
&= x^n(x^2-1)+x^2(x+1)-(x+1) \\[10pt]
&= x^n(x-1)(x+1) + x^2(x+1) - (x+1) \\[10pt]
&= (x+1)[x^n(x-1) + \underbrace{x^2 - 1}_{dif. cuadrados}] \\[5pt]
&= (x+1)[x^n(x-1) + (x+1)(x-1)] \\[10pt]
&= (x+1)(x-1)(x^n + x+1) \\[10pt]
\end{align*}
$$

$\therefore$ Un factor es: $\mathbf{x^n + x+1}$

==Rpta: c==

## Pregunta 9

==Solución==

Factorizando:
$$
\large
\begin{align*}
&= 2ax^2 + 2x^3 + 3b^3 -2b^2x -3bx^2 - 3abx \\[10pt]
&= 2x^2(a+x) + b^2(3b-2x) - 3bx(x+a) \\[10pt]
&= (a+x)\underbrace{(2x^2 - 3bx)} + b^2(3b-2x) \\[10pt]
&= (a+x)(x)(2x - 3b) - b^2(2x-3b) \\[10pt]
&= (2x - 3b)[(a+x)(x) - b^2] \\[10pt]
&= \underbrace{(2x - 3b)}_{S.C=-1}\underbrace{(x^2+ax - b^2)}_{S.C=1} \\[10pt]
\end{align*}
$$

==Rpta: a==

## Pregunta 10

==Solución==

Haciendo un cambio de variable: $a=x^3$
$$
\large
\begin{align*}
&=64a^2 + 16a + 1 \\[10pt]
&=\underbrace{(8a)^2 + 2\cdot8a\cdot1 + 1^2}_{T.C.P} \\[10pt]
&=(8a + 1)^2 \\[10pt]
\end{align*}
$$

Reemplazando:
$$
\large
\begin{align*}
&=(8x^3 + 1)^2 \\[10pt]
&=[\underbrace{(2x)^3 + 1^3}_{Suma\ de\ cubos}]^2 \\[10pt]
&=\left[(2x+1)[(2x)^2-(2x)(1)+1^2 \right]^2 \\[10pt]
&=\left[(2x+1)(4x^2-2x+1)\right]^2 \\[10pt]
&=(2x+1)^2(4x^2-2x+1)^2 \\[10pt]
\end{align*}
$$

Total de factores primos: 2

==Rpta: b==