<style>
.defcol1 { color : red}
</style>
$$
%%%%%%%%%% Definimos lo necesario %%%%%%%%%%
%definiendo lo necesario
\require{cancel}
\require{color}
\newcommand\ccancel[2][red]{
{\color{#1} \cancel{ \color{black} #2 } }
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$



<span class="defcol1">**1) Esta definida f(x) ?**</span>
$$
\begin{align}
f(2) &= (2)^3-8(2)\\[5pt]
&= -8 \\[5pt]
& \therefore \text{Esta definida}
\end{align}
$$

<span class="defcol1">**2) $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe?**</span>

Calculamos los límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{x \to 2^-} x^3-8x \\[5pt]
&= (2)^3 - 8(2) \\[5pt]
&= -8 \\[15pt]
\lim_{x \to 2^+} f(x) &= \lim_{x \to 2^+} x^3-8x \\[5pt]
&= (2)^3 - 8(2) \\[5pt]
&= -8
\end{align}
$$
Luego:
$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 2} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

<span class="defcol1">**3) $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ ?**</span>
$$
\text{Sí,} \; \therefore \text{La función es contínua en } x=2
$$

---

<span class="defcol1">**1) Esta definida f(x) ?**</span>
$$
\begin{align}
f(0) &= \frac{3(0)^2}{0-2}\\[5pt]
&= 0 \\[5pt]
& \therefore \text{Esta definida}
\end{align}
$$

<span class="defcol1">**2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe?**</span>

Calculamos los límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2}{x-2} \\[5pt]
&= \frac{3(0)^2}{0-2} \\[5pt]
&= 0 \\[15pt]
\lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{3x^2}{x-2} \\[5pt]
&= \frac{3(0)^2}{0-2} \\[5pt]
&= 0
\end{align}
$$
Luego:
$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 0} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

<span class="defcol1">**3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ ?**</span>
$$
\text{Sí,} \; \therefore \text{La función es contínua en } x=0
$$

---

<span class="defcol1">**1) Esta definida f(x) ?**</span>
$$
\begin{align}
f(-3) &= \frac{-3-3}{9(-3)}\\[5pt]
&= \frac 2 9 \\[5pt]
& \therefore \text{Esta definida}
\end{align}
$$

<span class="defcol1">**2) $\lim_{x \to -3} f(x)$ existe?**</span>

Calculamos los límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -3^-} f(x) &= \lim_{x \to -3^-} \frac{x-3}{9x} \\[5pt]
&= \frac{-3-3}{9(-3)} \\[5pt]
&= \frac 2 9 \\[15pt]
\lim_{x \to -3^+} f(x) &= \lim_{x \to -3^+} \frac{x-3}{9x} \\[5pt]
&= \frac{-3-3}{9(-3)} \\[5pt]
&= \frac 2 9
\end{align}
$$
Luego:
$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -3} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

<span class="defcol1">**3) $\lim_{x \to -3} f(x) = f(-3)$ ?**</span>
$$
\text{Sí,} \; \therefore \text{La función es contínua en } x=-3
$$

---

<span class="defcol1">**1) Esta definida f(x) ?**</span>
$$
\begin{align}
f(-1) &= \sqrt[3]{-1} \\[5pt]
&= -1 \\[5pt]
& \therefore \text{Esta definida}
\end{align}
$$

<span class="defcol1">**2) $\lim_{x \to -1} f(x)$ existe?**</span>

Calculamos los límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -1^-} f(x) &= \lim_{x \to -1^-} \sqrt[3]{x} \\[5pt]
&= \sqrt[3]{-1} \\[5pt]
&= -1 \\[15pt]
\lim_{x \to -1^+} f(x) &= \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x} \\[5pt]
&= \sqrt[3]{-1} \\[5pt]
&= -1
\end{align}
$$
Luego:
$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -1} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

<span class="defcol1">**3) $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$ ?**</span>
$$
\text{Sí,} \; \therefore \text{La función es contínua en } x=-1
$$

---

<span class="defcol1">**1) Esta definida f(x) ?**</span>
$$
\begin{align}
f(0) &= \sqrt{2-3(0)} \\[5pt]
&= \sqrt{2} \\[5pt]
& \therefore \text{Esta definida}
\end{align}
$$

<span class="defcol1">**2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ existe?**</span>

Calculamos los límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} \sqrt{2-3x} \\[5pt]
&= \sqrt{2+3(0)} \\[5pt]
&= \sqrt{2} \\[15pt]
\lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} \sqrt{2-3x} \\[5pt]
&= \sqrt{2-3(0)} \\[5pt]
&= \sqrt{2}
\end{align}
$$
Luego:
$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 0} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

<span class="defcol1">**3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ ?**</span>
$$
\text{Sí,} \; \therefore \text{La función es contínua en } x=0
$$

---

<span class="defcol1">**1) Esta definida f(x) ?**</span>
$$
\begin{align}
f(-2) &= \frac{(-2)^3-8}{-2-2} \\[5pt]
&= 4 \\[5pt]
& \therefore \text{Esta definida}
\end{align}
$$

<span class="defcol1">**2) $\lim_{x \to -2} f(x)$ existe?**</span>

Calculamos los límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -2^-} f(x) &= \lim_{x \to -2^-} \frac{x^3-8}{x-2} \\[5pt]
&= \frac{(-2)^3-8}{-2-2} \\[5pt]
&= 4 \\[15pt]
\lim_{x \to -2^+} f(x) &= \lim_{x \to -2^+} \frac{x^3-8}{x-2} \\[5pt]
&= \frac{(-2)^3-8}{-2-2} \\[5pt]
&= 4
\end{align}
$$
Luego:
$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -2} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

<span class="defcol1">**3) $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2)$ ?**</span>
$$
\text{Sí,} \; \therefore \text{La función es contínua en } x=0
$$

---

Analizamos su dominio:

$$
Dom(f) = \mathbb R - \{2\}
$$

$\therefore x=2$ es punto de discontinuidad.

Calculamos el límite de f(x) en x = 2:

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{x \to 2^-} \frac{x+4} {x-2} \\[5pt]
&= \frac{2+4}{2 - 2} \\[5pt]
&= -\infty \\[15pt]
\lim_{x \to 2^+} f(x) &= \lim_{x \to 2^+} \frac{x+4} {x-2} \\[5pt]
&= \frac{2+4}{2 - 2} \\[5pt]
&= +\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 2} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

Por lo tanto, es una discontinuidad inevitable de salto infinito.


---

Analizamos su dominio:

$$
Dom(f) = \mathbb R - \{-3, 3\}
$$

$\therefore x=-3 \quad \land \quad x=3$ son puntos de discontinuidad.

Calculamos los límites en x=-3 y x=3 para f(x):

## Para x = -3

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -3^-} f(x) &= \lim_{x \to -3^-} \frac{x-3} {x^2-9} \\[5pt]
&= \frac{-3 - 3}{(-3)^2 - 9} \\[5pt]
&= -\infty \\[15pt]
\lim_{x \to -3^+} f(x) &= \lim_{x \to -3^+} \frac{x-3} {x^2-9} \\[5pt]
&= \frac{-3 - 3}{(-3)^2 - 9} \\[5pt]
&= +\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -3^-} f(x) \neq \lim_{x \to -3^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -3} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(-3)$ no está definido
$\lim_{x \to -3}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = -3$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.


## Para x = 3

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 3^-} f(x) &= \lim_{x \to 3^-} \frac{x-3} {x^2-9} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 3^-} \frac{\ccancel{x-3}}{(x+3)\ccancel{(x-3)}} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 3^-} \frac {1} {x+3} \\[5pt]
&= \frac{1}{3 + 3} \\[5pt]
&= \frac 1 6 \\[15pt]
\lim_{x \to 3^+} f(x) &= \lim_{x \to 3^+} \frac{x-3} {x^2-9} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 3^+} \frac{\ccancel{x-3}}{(x+3)\ccancel{(x-3)}} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 3^+} \frac {1} {x+3} \\[5pt]
&= \frac{1}{3 + 3} \\[5pt]
&= \frac 1 6
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -3} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(3)$ no está definido
$\lim_{x \to 3}$ existe

Entonces $x = 3$ es un punto de discontinuidad evitable.


---


### Analizamos su dominio:

$$
Dom(f) = \mathbb R - \{-1, 1\}
$$

$\therefore x=-1 \quad \land \quad x=1$ son puntos de discontinuidad.

### Calculamos los límites en x=-1 y x=1 para f(x):

## Para x = -1

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -1^-} f(x) &= \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2+4} {x^2-1} \\[5pt]
&= \frac{-1 + 4}{(-1)^2 - 1} \\[5pt]
&= +\infty \\[15pt]
\lim_{x \to -1^+} f(x) &= \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2+4} {x^2-1} \\[5pt]
&= \frac{-1 + 4}{(-1)^2 - 1} \\[5pt]
&= -\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq \lim_{x \to -1^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -1} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(-1)$ no está definido
$\lim_{x \to -1}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = -1$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.


## Para x = 1

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 1^-} f(x) &= \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+4} {x^2-1} \\[5pt]
&= \frac{1 + 4}{(1)^2 - 1} \\[5pt]
&= -\infty \\[15pt]
\lim_{x \to 1^+} f(x) &= \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+4} {x^2-1} \\[5pt]
&= \frac{1 + 4}{(1)^2 - 1} \\[5pt]
&= +\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 1} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(1)$ no está definido
$\lim_{x \to 1}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = 1$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.


---


### Analizamos su dominio:

$$
Dom(f) = \mathbb R - \{-2, 2\}
$$

$\therefore x=-2 \quad \land \quad x=2$ son puntos de discontinuidad.

## Para x = -2

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -2^-} f(x) &= \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2-x+1} {x^2-4} \\[5pt]
&= \frac{(-2)^2 - (-2) + 1}{(-2)^2 - 4} \\[5pt]
&= +\infty \\[15pt]
\lim_{x \to -2^+} f(x) &= \lim_{x \to -2^+} \frac{x^2-x+1} {x^2-4} \\[5pt]
&= \frac{(-2)^2 - (-2) + 1}{(-2)^2 - 4} \\[5pt]
&= -\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -2^-} f(x) \neq \lim_{x \to -2^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -2} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(-2)$ no está definido
$\lim_{x \to -2}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = -2$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

## Para x = 2

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 2^-} f(x) &= \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-x+1} {x^2-4} \\[5pt]
&= \frac{(2)^2 - (2) + 1}{(2)^2 - 4} \\[5pt]
&= -\infty \\[15pt]
\lim_{x \to 2^+} f(x) &= \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2-x+1} {x^2-4} \\[5pt]
&= \frac{(2)^2 - (2) + 1}{(2)^2 - 4} \\[5pt]
&= +\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 2} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(2)$ no está definido
$\lim_{x \to 2}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = 2$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

## Gráficamente:

---


### Analizamos su dominio:

$$
Dom(f) = \mathbb R - \{-4, 4\}
$$

$\therefore x=-4 \quad \land \quad x=4 \quad$ son puntos de discontinuidad.

## Para x = -4

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -4^-} f(x) &= \lim_{x \to -4^-} \frac{x^2-4x} {x^2-16} \\[5pt]
&= \lim_{x \to -4^-} \frac{x \ccancel{(x-4)}}{(x+4) \ccancel{(x-4)}} \\[5pt]
&= \lim_{x \to -4^-} \frac{x}{x+4} \\[5pt]
&= \frac{-4}{-4 + 4} \\[5pt]
&= +\infty \\[15pt]
\lim_{x \to -4^+} f(x) &= \lim_{x \to -4^+} \frac{x^2-4x} {x^2-16} \\[5pt]
&= \lim_{x \to -4^+} \frac{x}{x+4} \\[5pt]
&= \frac{-4}{-4 + 4} \\[5pt]
&= -\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -4^-} f(x) \neq \lim_{x \to -4^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -4} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(-4)$ no está definido
$\lim_{x \to -4}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = -4$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

## Para x = 4

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 4^-} f(x) &= \lim_{x \to 4^-} \frac{x^2-4x} {x^2-16} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 4^-} \frac{x \ccancel{(x-4)}}{(x+4) \ccancel{(x-4)}} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 4^-} \frac{x}{x+4} \\[5pt]
&= \frac{4}{4 + 4} \\[5pt]
&= \frac 1 2 \\[15pt]
\lim_{x \to 4^+} f(x) &= \lim_{x \to 4^+} \frac{x^2-4x} {x^2-16} \\[5pt]
&= \lim_{x \to 4^+} \frac{x}{x+4} \\[5pt]
&= \frac{4}{4 + 4} \\[5pt]
&= \frac 1 2
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 4} f(x) \quad \text{existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(4)$ no está definido
$\lim_{x \to 4}$ existe

Entonces $x = 4$ es un punto de evitable.


---


### Analizamos su dominio:

$$
Dom(f) = \mathbb R - \{-1, 0, 1\}
$$

$\therefore x=-1 \quad \land \quad x=0 \quad \land \quad x=1 \quad$ son puntos de discontinuidad.

## Para x = -1

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to -1^-} f(x) &= \lim_{x \to -1^-} \frac{x-7} {x^3-x} \\[5pt]
&= \frac{-1 - 7}{(-1)^3 - (-1)} \\[5pt]
&= +\infty \\[15pt]
\lim_{x \to -1^+} f(x) &= \lim_{x \to -1^+} \frac{x-7} {x^3-x} \\[5pt]
&= \frac{-1 - 7}{(-1)^3 - (-1)} \\[5pt]
&= -\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to -1^-} f(x) \neq \lim_{x \to -1^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to -1} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(-1)$ no está definido
$\lim_{x \to -1}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = -1$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

## Para x = 0

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{x-7} {x^3-x} \\[5pt]
&= \frac{0 - 7}{(0)^3 - 0} \\[5pt]
&= - \infty \\[15pt]
\lim_{x \to 0^+} f(x) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x-7} {x^3-x} \\[5pt]
&= \frac{0 - 7}{(0)^3 - 0} \\[5pt]
&= + \infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 0} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(0)$ no está definido
$\lim_{x \to 0}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = 0$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.

## Para x = 1

Límites laterales:

$$
\begin{align}
\lim_{x \to 1^-} f(x) &= \lim_{x \to 1^-} \frac{x-7} {x^3-x} \\[5pt]
&= \frac{1 - 7}{(1)^3 - 1} \\[5pt]
&= +\infty \\[15pt]
\lim_{x \to 1^+} f(x) &= \lim_{x \to 1^+} \frac{x-7} {x^3-x} \\[5pt]
&= \frac{1 - 7}{(1)^3 - 1} \\[5pt]
&= -\infty
\end{align}
$$

Luego:

$$
\begin{equation}
\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x) \\[15pt]
\therefore \lim_{x \to 1} f(x) \quad \text{no existe}
\end{equation}
$$

**Conclusión:**
$f(1)$ no está definido
$\lim_{x \to 1}$ no existe y presenta límites laterales infinitos.

Entonces $x = 1$ es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.


---