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tags: Mundo Mejor, 3ro Secundaria, 2020
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color: green;
}
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# Cocientes Notables - Extensión

## Ejercicio 1

==Solución==

Expresamos el desarrollo en forma de cociente y simplificamos:
$$
%%%%%%%%%% Definimos lo necesario %%%%%%%%%%
%definiendo lo necesario
\require{cancel}
\require{color}
\newcommand\ccancel[2][red]{
{\color{#1} \cancel{ \color{black} #2 } }
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{align*}
&=\dfrac{ \dfrac{9^{10}-1^{10}}{9+1} }{ \dfrac{9^{10}-1^{10}}{9-1}} \\[10pt]
&= \dfrac{ 8 \ccancel{(9^{10}-1)} }{10 \ccancel{(9^{10}-1)}} \\[10pt]
&= \dfrac{\ccancel{8}}{\ccancel{10}} \\[10pt]
&= \dfrac{4}{5} = 0,8
\end{align*}
$$

==Rpta: a==

## Ejercicio 2

==Solución==

Dando forma a la expresión:
$$
\dfrac{(x^3)^{15}-(x^{-2})^{15}}{x^3-x^{-2}}
$$

Un término del C.N tiene la forma:
$$
\begin{align*}
t_k &= (x^3)^{15-k} \cdot (x^{-2})^{k-1} \\[10pt]
t_k &= x^{45-3k} \cdot x^{-2k+2} \\[10pt]
t_k &= x^{47-5k}
\end{align*}
$$

El exponente de un término racional fraccionario es menor que 0, entonces:
$$
\begin{align*}
47 - 5k &< 0 \\[10pt]
47 &< 5k \\[10pt]
k &> {47 \over 5} \\[10pt]
k &> 9,4
\end{align*}
$$

Y sabemos que el número de términos es $15$, entonces:
$$
10 \leq k \leq 15
$$

Como cada valor de $k$ representa un término, entonces hay 6 términos racionales fraccionarios.

==Rpta: a==

## Ejercicio 3

==Solución==

El término general del C.N. es:
$$
\begin{align*}
t_k &= (\sqrt{x})^{35-k} \cdot (\sqrt[3]{x})^{k-1} \\[10pt]
t_k &= x^{\tfrac{35-k}{2}} \cdot x^{\tfrac{k-1}{3}} \\[10pt]
t_k &= x^{17+\tfrac{1-k}{2}} \cdot x^{\tfrac{k-1}{3}} \\[10pt]
t_k &= x^{17+\tfrac{1-k}{2} + \tfrac{k-1}{3}} \\[10pt]
t_k &= x^{17+\tfrac{3-3k+2k-2}{6}} \\[10pt]
t_k &= x^{17+\tfrac{1-k}{6}} \\[10pt]
t_k &= x^{17-\tfrac{k-1}{6}}
\end{align*}
$$

Para que la expresión sea racional entera, el exponente tiene que ser entero positivo:
$$
\Rightarrow k = 1; 7;13;19;25;31
$$

$\therefore$ Existen 6 términos.

==Rpta: b==

## Ejercicio 4

==Solución==

El nro de elementos del CN es:
$$
n = \dfrac a3 = \dfrac b7 \qquad \Longrightarrow a = 3n \;\land\; b = 7n
$$

La forma del término general del CN es:
$$
\begin{align*}
t_k &= (x^3)^{n-k} \cdot (y^7)^{k-1} \\[10pt]
t_k &= x^{3(n-k)} \cdot y^{7(k-1)} \\[10pt]
\end{align*}
$$

Como solo hay un término central, n es impar. Por lo tanto, el término central sería:
$$
t_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} = x^{3 \left( n-\tfrac{n+1}{2} \right) } \cdot y^{7 \left( \tfrac{n+1}{2}-1 \right)}
$$

Reduciendo y comparando con el dato:
$$
x^{3 \left(\tfrac{n-1}{2} \right) } \cdot y^{7 \left( \tfrac{n-1}{2} \right)} = x^cy^{231}
$$

Calculamos $n$:
$$
\begin{align*}
\ccancel{7}\left( \frac{n-1}{2} \right) &= \ccancel{231} \\[10pt]
\frac{n-1}{2} &= 33 \\[10pt]
n-1 &= 66 \\[10pt]
n &= 67
\end{align*}
$$

Calculando $a$, $b$ y $c$ :
$$
\begin{align*}
a &= 3(67) = 201 \\[10pt]
b &= 7(67) = 469 \\[10pt]
c &= 3 \left(\frac{67-1}{2} \right) = 3(33) = 99
\end{align*}
$$

Piden: $a+b+c = 769$

==Rpta: a==

## Ejercicio 5

==Solución==

Dando forma a la expresión:
$$
\begin{align*}
&= \frac{(x+2)^m + x^m}{2(x+1)} \\[10pt]
&= \frac{(x+2)^m + x^m}{2x+2} \\[10pt]
&= \frac{(x+2)^m + x^m}{ (x+2) + x} \\[10pt]
\end{align*}
$$

Hallamos el tercer término:
$$
\begin{align*}
t_3 &= (x+2)^{m-3} \cdot x^{3-1} \\[10pt]
t_3 &= (x+2)^{m-3} \cdot x^2 \\[10pt]
\end{align*}
$$

Hallamos el VN para $x=2$ :
$$
\begin{align*}
(2+2)^{m-3} \cdot 2^2 &= 1024 \\[10pt]
(2^2)^{m-3} \cdot 2^2 &= 1024 \\[10pt]
2^{2m-6} \cdot 2^2 &= 1024 \\[10pt]
2^{2m-6+2} &= 1024 \\[10pt]
2^{2m-4} &= 2^{10} \\[20pt]
\Longrightarrow 2m - 4 &= 10 \\[10pt]
2m &= 14 \\[10pt]
m &=7
\end{align*}
$$

==Rpta: d==