<!-- CSS: Ejercicios numerados en h2 -->
<style>
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.sol{
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table tr, table td {
border-bottom: hidden;
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}

table tr:nth-last-child(1) {
border-bottom: initial;
}

table:nth-of-type(1) th:nth-child(4),
table:nth-of-type(1) th:nth-child(6){
border-right: hidden;
border-left: hidden;
}
table:nth-of-type(1) td:nth-child(6){
background: lightskyblue;
}
table:nth-of-type(1) td:nth-child(4),
table:nth-of-type(1) td:nth-child(7){
background: cornsilk;
}

table:nth-of-type(2) th:nth-child(4){
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}
table:nth-of-type(2) td:nth-child(4){
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}

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<!-- CSS -->

# MÓDULO: LÓGICA PROPOSICIONAL II
# Tarea complementaria

##

<span class="rpta">Solución:</span>

I. $(\underbrace{\sim p}_F \land \underbrace{q}_F) \rightarrow (\underbrace{r}_F \land \underbrace{\sim r}_V)$

<span class="sol">$(F \land F) \rightarrow (F \land V)$</span>

<span class="sol">$\underbrace{F \rightarrow F}_V$</span>

II. $(\underbrace{p}_V \rightarrow \underbrace{q}_F) \Leftrightarrow (\underbrace{q}_F \lor \underbrace{r}_F)$

<span class="sol">$\underbrace{(V \rightarrow F)}_F \Leftrightarrow \underbrace{(F \lor F)}_F$</span>

<span class="sol">$\underbrace{F \Leftrightarrow F}_V$</span>

III. $(\underbrace{r}_F \lor \underbrace{p}_V) \vartriangle \; \sim(\underbrace{p}_V \land \underbrace{q}_F)$

<span class="sol">$\underbrace{(F \lor V)}_V \vartriangle \; \sim(\underbrace{V \land F}_F)$</span>

<span class="sol">$\underbrace{V \vartriangle V}_F$</span>

<span class="rpta">Rpta: E</span>

##

<span class="rpta">Solución:</span>
Empezamos de abajo hacia arriba para encontrar los valores de las variables:
$$
\underbrace{
\underbrace{(\underbrace{p}_V \land \underbrace{\sim q}_V)}_V \rightarrow
\underbrace{(\underbrace{p}_V \rightarrow \underbrace{r}_F)}_F}_F
$$

Entonces:
$V(p)=V$
$V(q)=F$
$V(r)=F$

<span class="rpta">Rpta: A</span>

##

<span class="rpta">Solución:</span>
Elaborando las tablas de verdad:

I. $[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q$

| p | q | $[\;(p \rightarrow q)$ | $\land$ | $p\;]$ | $\rightarrow$ | $q$ |
| - | - |:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|
| V | V | V | V | V | V | V |
| V | F | F | F | V | V | F |
| F | V | V | F | F | V | V |
| F | F | V | F | F | V | F |

Es una **tautología**.

II. $(\sim p \rightarrow q) \land (p \Leftrightarrow q)$

| p | q | $(\sim p \rightarrow q)$ | $\rightarrow$ | $(p \Leftrightarrow q)$ |
| - | - |:--:|:--:|:--:|
| V | V | V | V | V |
| V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F |
| F | F | F | V | V |

Es una **contingencia**.

<span class="rpta">Rpta: C</span>

##

<span class="rpta">Solución:</span>

### LEYES LÓGICAS


Entonces en el problema:

$$
\begin{align}
[(\sim p \land q) \rightarrow (q \rightarrow p)] \land p &\qquad \text{Ley del condicional}
\\[10pt]
[\sim(\sim p \land q) \lor (q \rightarrow p)] \land p &\qquad \text{Ley de Morgan, Ley del condicional}
\\[10pt]
[(p\ \lor \sim q) \lor (\sim q \lor p)] \land p &\qquad \text{Idempotencia}
\\[10pt]
(p\ \lor \sim q) \land p &\qquad \text{Absorción}
\\[10pt]
p
\end{align}
$$

<span class="rpta">Rpta: E</span>

##

<span class="rpta">Solución:</span>

$$
\begin{align}
(\sim p \rightarrow q) \rightarrow (\sim p \land q) &\qquad \text{Ley del condicional}
\\[10pt]
\sim (\sim p \rightarrow q) \lor (\sim p \land q) &\qquad \text{Ley del condicional}
\\[10pt]
\sim [\sim (\sim p) \lor q] \lor (\sim p \land q) &\qquad \text{Doble negación}
\\[10pt]
\sim (p \lor q) \lor (\sim p \land q) &\qquad \text{Ley de Morgan}
\\[10pt]
(\sim p \land \sim q) \lor (\sim p \land q) &\qquad \text{Ley distributiva}
\\[10pt]
[\sim p \lor (\sim p \land q)] \land [\sim q \lor (\sim p \land q)] &\qquad \text{Absorción}
\\[10pt]
\sim p \land (\sim q\ \lor \sim p) &\qquad \text{Absorción}
\\[10pt]
\sim p
\end{align}
$$

<span class="rpta">Rpta: D</span>

##

<span class="rpta">Solución:</span>

Analizando el enunciado:

$$
\fbox{Si}\ \underbrace{hoy\ no\ es\ domingo}_{\sim p}\ \fbox{,}\ \underbrace{Samantha\ va\ al\ cine}_q\ \fbox{.}\ \underbrace{Samantha\ no\ va\ al\ cine}_{\sim q},\ \\
\fbox{en consecuencia},\ \underbrace{Samantha\ va\ al\ cine.}_q
$$

Formalizando:

$[(\sim p \rightarrow q) \land \sim q] \rightarrow q$

<span class="rpta">Rpta: B</span>

##

<span class="rpta">Solución:</span>

Empezamos por el último enunciado:

$\underbrace{\underbrace{r}_{\color{red}{V}} \land \underbrace{t}_{\color{red}{V}}}_V$

Entonces: $V(r)=V$ y $V(t)=V$

Reemplazamos el valor de $r$ en el siguiente enunciado:

$\underbrace{\underbrace{q}_{\color{red}{F}} \vartriangle \underbrace{r}_V}_V$

Entonces: $V(q)=F$

Reemplazando los valores, encontrados:

$\underbrace{\underbrace{p}_{\color{red}{F}} \Leftrightarrow \; \underbrace{\sim q}_V}_F$

Entonces:
$$
V(p)=F \\
V(q)=F \\
V(r)=V \\
V(t)=V \\
$$

##

Empezamos de abajo hacia arriba para encontrar los valores de las variables:

$$
\underbrace{\underbrace{(\underbrace{q}_V \land \underbrace{\sim r}_V)}_V \rightarrow \underbrace{p}_F}_F
$$

Entonces:
$$
V(p)=F \\
V(q)=V \\
V(r)=F \\
$$

Nos piden:
$$
(\underbrace{\sim r}_V\lor \underbrace{\sim p}_V) \rightarrow (\underbrace{p}_F \land \ \underbrace{\sim q}_F)
\\[25pt]
\underbrace{(V \lor V)}_V \rightarrow \underbrace{(F \land F)}_F
\\[25pt]
\underbrace{V \rightarrow F}_F
$$

<span class="rpta">Rpta: B</span>

##

Analizando cada proposición:

$P(4): \text{4 es un número irracional, es } F$
$Q(9): \text{9 es un divisor de 21, es } F$
$R(7): \text{7 es primo, es } V$

Reemplazando:

$$
[\sim \underbrace{P(4)}_F \rightarrow \underbrace{Q(9)}_F] \lor \underbrace{R(7)}_V
\\[25pt]
\underbrace{[V \rightarrow F]}_F \lor V
\\[25pt]
\underbrace{F \lor V}_V
$$

<span class="rpta">Rpta: A</span>