# 數位邏輯導論
## 二進位
## 101101 ={(2^5)*1} +{(2^4)*0} +{(2^3)*1} +{(2^2)*1} +{(2^1)*0} +{(2^0)*1}

### EX: 123 (十進位轉二進位)
### > 123/2=61...1
### > 61/2=30...1
### > 30/2=15...0
### > 15/2=7...1
### > 7/2=3...1
### > 3/2=1...1
### > 1/2=0...1

###### tags: +U+U+U+U+U+U+U+U+U+U+U+U+U+U+U 好><

## 有符號數處理
###### tags: 以4個bit來表示，一個bit有0,1兩種可能，所以總共有2^4種表示法。
### >> Sign-magnitude(原碼)
* 硬體的實現較困難
* 最高有效位數為0表示正數，1表示負數!

| +0 | +1 | +2| +3| +4| +5| +6| +7| +8|
| ---- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---- |
| 0000 | 0001 | 0010| 0011|0100 | 0101| 0110|0111| /|

|-0|-1|-2|-3|-4|-5|-6|-7| -8|
| -------- | -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | -------- |
|1000|1001 | 1010 | 1011 | 1100 |1101 | 1110 | 1111 | / |
### >> 1's complement(1補數)
* 改善 Sign-magnitude(原碼) 正負相似，容易出錯的問題
* 負數為正數的補數(0,1互補)

| -0 | -1 | -2| -3 | -4 |-5 | -6 | -7 | -8 |
| -------- | -------- | -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1111 |1110 | 1101 | 1100 |1011 |1010 |1001 |1000 | / |

### >>2's complement(2補數)
* 解決+0及-0的問題
* 兩正整數相加需小於2^3，否則會造成溢質(overflow)的錯誤
###### tags: n=4(bit) 總和小於2^(n-1)
* 將一補數的負數數字+1，使負數從-1開始

| -0 | -1| -2 | -3 | -4 | -5 | -6 | -7 |-8 |
| -------- | -------- | -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| / | 1111 | 1110 | 1101| 1100 |1011 | 1010 |1001 |1000 |

## Boolean algebra(布林運算)
 (Z=X•Y)
> #### 0•0=0 , 0•1=0 , 1•0=0 , 1•1=1

> #### 0+0=0 , 0+1=1 , 1+0=1 , 1+1=1

> #### A=1 A'=0 , A=0 A'=1
### EX.


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### >> 交換律( Commutative Law )

### >> 結合律( Associative Law )

### >> 分配律( Distributive Law )
### X(Y+Z)= XY+XZ , X+YZ= (X+Y) • (X+Z)

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## 2-level logical realization 二層邏輯的實現方式
#### Sum of product form(SOP) & Product of sum(POS)
###### tags: 右邊用分配律變成左邊, SOP ➝ POS

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# Demorgan's Law (笛摩根定律)




EX
## General Form
### >> One-step rule
#### 不用一層一層做，and 跟 or 互換，補數跟沒補數互換，0,1互換

###### tags: 要注意順序，先做的交換之後也是要先做
#### EX
### >> Duality (對偶性)
#### and 跟 or互換，1,0互換 ，補數不用
#### EX

### 對偶的特性
#### EX

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## 乘法跟因式表達方式
1. ### x(y+z) = xy+xz
###### tags: pos ➝ sop
2. ### x+yz = (x+y)(x+z)
###### tags: sop ➝ pos
3. ### (x+y)(x'+z) = xz+yx'
###### tags: pos ➝ sop
###### 證明 1. : 分配律➝ xx'+ xz + x'y + yz
###### ➝ 0+ xz + x'y + (x+x')yz
###### ➝ 0+ xz + x'y + xyz + x'yz
###### ➝ xz 比 xyz 大，則可捨棄xyz， x'yz也是
###### ➝ 得 xz + yx'
###### 證明 2. : 假設 x=1,x=0時，左邊都會等於右邊，得兩式子相等

### EX
###### tags: POS變SOP

### EX
###### tags: SOP變POS

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## Exclusive-or!(x-or)[](https://i.imgur.com/XGUjUrj.png)
#### 有排他性
證!!!!!! 
## Equivalence Operation(xNor)