# Snov Analize 3 - javna verzija
## 1. poglavje
### Osnovni pojmi
- [ ] **navadna diferencialna enačba 1. reda**
- [ ] **splošna, partikularna rešitev**
- [ ] **splošna navadna diferencialna enačba 1. reda**
- [ ] **navadna diferencialna enačba višjega reda**
- [ ] prosti pad z majhne višine
- [ ] prosti pad z velike višine
- [ ] **red diferencialne enačbe**
- [ ] **parcialne diferencialne enačbe**
### Eksplicitno rešljive diferencialne enačbe
- [ ] **eksplicitne metode**
- [ ] **metoda separacije spremenljivk**
- [ ] singularnost v končnem času
- [ ] neskončno rešitev začetnega problema
- [ ] **uvedba nove spremenljivke**
- [ ] modeli rasti, logistična enačba
### Linearna diferencialna enačba
- [ ] **navadna linearna diferencialna enačba 1. reda**
- [ ] **linearni diferencialni operator**
- [ ] **Izrek: rešitev homogene diferencialne enačbe**
- [ ] **nehomogena linearna diferencialna enačba**
- [ ] **variacija konstante**
- [ ] **Izrek: obstoj rešitev linearne enačbe**
- [ ] **Trditev: splošna rešitev linearne enačbe**
- [ ] **Bernoullijeva enačba**
- [ ] **Ricattijeva enačba**
- [ ] posebna Ricattijeva enačba
- [ ] splošna logistična enačba
### Prvi integral in parametrično reševanje
- [ ] **prvi integral/primitivna funkcija**
- [ ] gradient integrala pravokoten na vsako rešitev
- [ ] **Pfaffove diferencialna enačba**
- [ ] **regularna točka**
- [ ] **singularna točka**
- [ ] **iskanje prvega integrala**
- [ ] **Lagrangeev multiplikator**
- [ ] **parametrično reševanje diferencialnih enačb**
- [ ] **Lagrange-D'Alambertova enačba**
- [ ] **Clairauteva enačba**
### Vektorska polja
- [ ] **vektorsko polje**
- [ ] **domena, fazni prostor**
- [ ] **avtonomno vektorsko polje**
- [ ] **tokovnica/integralna krivulja**
- [ ] **trajektorija**
- [ ] **interval obstoja rešitve**
- [ ] **tok vektorskega polja**
- [ ] **fundamentalna domena toka**
- [ ] **lastnosti toka**
- [ ] **tok avtonomnega vektorskega polja**
- [ ] **infinitezimalni generator**
- [ ] **kompletno polje**
- [ ] nekompletno polje na premici
- [ ] kroženje okrog izhodišča
- [ ] **Hamiltonovo polje, sistem**
- [ ] produkt vektorskega polja s prvim integralom
- [ ] strižna polja, strin, posplošen string
- [ ] **redukcija enačbe višjega reda na sistem**

## 2. poglavje
### Eksistenčni izrek
- [ ] **Izrek: obstoj lokalnih rešitev navadnih diferencialnih enačb**
- [ ] **Picardova iteracija**
- [ ] hitrost konvergence, napaka Picardove iteracije
### Gronwallova lema in Taylorjev razvoj
- [ ] **Lema: Gronwallova lema**
- [ ] Trditev oddaljenost tokovnic
- [ ] **Lema: splošnejša Gronwalova lema**
- [ ] **Izrek: gladka odvisnost rešitve od začetnega pogoja**
- [ ] **Taylorjev razvoj rešitve**
- [ ] **Taylorjev razvoj toka**
### Tokovi vektorskih polj
- [ ] **Lema: enoličnost rešitev**
- [ ] **Posledica: maksimalna domena rešiteva**
- [ ] **Trditev: tokovnice paroma disjunktne**
- [ ] **fazni portret**
- [ ] **tok vektorskega polja**
- [ ] **fundamentalna (maksimalna) domena toka**
- [ ] **lastnosti toka**
- [ ] **tok avtonomnega vektorskega polja**
- [ ] **infinitezimalni generator**
- [ ] **kompletno vektorsko polje**
- [ ] **Trditev: tokovnice omejene z maksimalnim intervalom**
### Tokovi vektorskih polj
- [ ] **Funnkcija izčrpanja**
- [ ] **funkcija Lyapunova**
- [ ] **pogoj Lyapunova**
- [ ] **Izrek: Lyapunova**
- [ ] **Izrek: o kletkah**
- [ ] Izrek: tok na podmnogoterostih
- [ ] **Trditev: vektorsko polje s kompaktnim nosilcem**
- [ ] Posledica: grupa difeomorfizmov deluje tranzitivno
- [ ] Spreminjanje volumna v toku
- [ ] **Izrek: Liouvilleova formula**
- [ ] Izrek: ekvivalentna oblika Liouvilleove formule

## 3. poglavje: Sistemi linearnih diferencialnih enačb
- [ ] **neavtonomen, nehomogen sistem linearnih diferencialnih enačb**
- [ ] **prirejen homogen sistem**
- [ ] **začetni problem**
- [ ] **Izrek: eksistenčni izrek za sisteme linearnih enačb**
- [ ] **Izrek: rešitve homogenega sistema**
- [ ] **fundamentalna rešitev**
- [ ] izražanje toka s fundamentalno rešitvijo
- [ ] Liouvilleova formula za tok linearnega sistema
- [ ] druge kanonične rešitve linearnega sistema
- [ ] **Izrek: rešitev nehomogenega sistema**
- [ ] matrične norme
- [ ] konvergenca matričnih vrst
- [ ] **Izrek: reštive homogenega sistema s konstantno matriko**
- [ ] razvoj matričnega binoma
- [ ] **rešitev nehomogene enačbe skonstantnimi koeficienti**
- [ ] **sistemi z diagonalno matriko**
- [ ] **uporaba Jordanove forme**
- [ ] **redukcija na Jordanove kletke**
- [ ] **sistem z Jordanovo kletko**
- [ ] uporaba lastnih in korenskih vektorjev
- [ ] rešitve v lastnih smereh matrike
- [ ] rešitve na korenskem podprostoru
- [ ] **homogeni linearni sistemi na ravnini**
- [ ] **nestabilni, stabilni, hiperbolični, centralni prostor**
### Sistemi homogenih linearnih diferencialnih enačb višjega reda
- [ ] **linearna diferencialna enačba višjega reda**
- [ ] **linearni diferencialni operator n-tega reda**
- [ ] **homogena linearna diferencialna enačba n-tega reda**
- [ ] **singularna točka operatorja**
- [ ] valovna enačba
- [ ] **stacionarne/razcepne rešitve**
- [ ] **prevedba na sistem linearnih enačb prvega red**
- [ ] **eksistenčni izrek za linearno enačbo višjega reda**
- [ ] **fundamentalna rešitev prirejenega homogenega sistema**
- [ ] **determinanta Wronskega**
- [ ] rešitev nehomogene enačbe
- [ ] **linearni diferencialni operator reda n s konstantnimi koeficienti**
- [ ] **karakteristični polinom**
- [ ] lastna vrednost operatorja L
- [ ] **analiza ničel karakterističnega polinoma**
- [ ] **reševanje nehomogene enačbe**
- [ ] Trditev: delovanje parcialnega diferencialnega operatorja na tq(t)
- [ ] Trditev: delovanje linearnega diferencialnega operatorja na tq(t)
- [ ] Trditev: formula za L(t^k q(t))
- [ ] Trditev: formula za L(t^ke^lambda.t)
### Dušeno nihanje
- [ ] enačba dušenega nihanja
- [ ] rešitev enačbe nedušenega nihanja
- [ ] energija se ohranja
- [ ] dušeno nihanje
- [ ] konservativen sistem
- [ ] matematično nihalo
- [ ] separatrice
- [ ] nihanje strune
### Osnove teorije stavilnosti
- [ ] **stabilni, nestabilni, centralni podprostor linearnega sistema**
- [ ] **stavilna, (globalno) privlačna, (globalno) odbojna točka**
- [ ] **Izrek: stabilnost linearnega sistema**
- [ ] Izrek: nelinearne perturbacije linearnega sistema
- [ ] **Izrek: Hartman-Grobman**
- [ ] linearizacija z difeomorfizmi
- [ ] Izrek: stabilna in nestabilna mnogoterost
- [ ] **stabilna, nestabilna mnogoterost**
- [ ] cikel, posplošen cikel, asimptotično stabilen/privlačen cikel
- [ ] Poincarejeva povratna preslikava, tranzzverzalna hiperravnina
- [ ] Izrek: dinamika Poincarejeve preslikave in stabilnost cikla
- [ ] Poincarejeva preslikava na ravninskih sistemih
- [ ] Jordan-Shoenfliesov izrek
- [ ] Izrek: Poincare-Bendixon
- [ ] Lorenzov atraktor

## 4. poglavje: Variacijski račun
- [ ] **osnovni problem**
- [ ] **funkcional**
- [ ] **redukcija na iskanje ekstremov funkcije ene spremenljivke**
- [ ] **Lema: variacijska lema**
- [ ] **Banachov prostor**
- [ ] **Lagrangeevo jedro, funkcional**
- [ ] **osnovna naloga variacijskega računa**
- [ ] **smerni odvod ali prva variacija funkcionala**
- [ ] **stacionarna točka funkcionala**
- [ ] **Izrek: Euler-Lagrangeeva enačba**
- [ ] ekspliciten zapisa Euler-Lagrangeeve enačbe
- [ ] Lema: splošnejša variacijska lema
- [ ] **Izrek: Euler-Lagrangeeva enačba za vektorske funkcije**
- [ ] variacije splošnega tipa
- [ ] **Lagrangiani posebne oblike**
- [ ] **Beltramijeva identiteta**
###
- [ ] verižnica
- [ ] brahistohrona
- [ ] krivulje najmanjše dolžine
###
- [ ] **geodetka**
- [ ] **Riemannova metrika**
- [ ] Evklidska metrika, prva fundamentalna forma
- [ ] potisnemo naprej, povlečemo nazaj
- [ ] **izometrija**
- [ ] Izrek: Nashev vložitveni izrek
- [ ] sferična metrika, Poincarejeva metrika
- [ ] **konformo ekvivalentne metrike**
- [ ] Izrek: gladka Riemannova metrika na disku
- [ ] **izotermalne koordinate**
- [ ] **konformni difeomorfizmi**
- [ ] **dolžina poti Evklidske metrike**
- [ ] **naravni parameter poti**
- [ ] geodetke v poljubni Riemannovi domeni
- [ ] Christoffelov simbol
- [ ] geodetska krogla
- [ ] enačba geodetk v metriki, konformno ekvivalentni evklidski metriki
- [ ] enačba geodetk v sferični metriki
- [ ] enačba geodetk v Poincarejevi metriki
- [ ] polravnina Lobachevskega
###
- [ ] **splošnejši robni pogoji**
- [ ] naravni primeri robnih pogojev
- [ ] brahistohrona
- [ ] katenoida
###
- [ ] **variacijski problem za funkcionale na funkcijah več spremenljivk**
- [ ] **prva variacija**
- [ ] **Euler-Lagrangeeva enačba**
- [ ] **Lagrangeeva enačba minimalnih grafov**
- [ ] minimalne ploskve in Laplaceev operator
- [ ] **Izrek: osnovni izrek teorije minimalnih ploskev**
- [ ] **glavni normalni ukrviljenosti, Gaussova ukrivljenost**
- [ ] Minimal surfaces for undergraduates
- [ ] **Minimalne rotacijske ploskve**
- [ ] Riemannova ploskev, Enneperjeva ploskev, Schwarzovi ploskvi, Hennebergova ploskev, Meeksov minimalni Möbiusov trak, Costina ploskev, Lopezova ploskev, Alarcon-Forstnerič-Lopezov minimalni Möbiusov trak
###
- [ ] **izoperametrični problemi**
- [ ] **vezani ekstrem**
- [ ] izoparametrični problem
- [ ] krivulja, ki z abscisno osjo omejuje največjo ploščino
- [ ] varianta s fiksnima krajiščema
- [ ] **splošen problem vezanega ekstrema**
- [ ] **Trditev: pogoj za nastop ekstrema**
- [ ] **Lema: u_i(v_j) = delta_ij**
### Hamiltonova mehanika
- [ ] **Newtonove enačbe gibanja**
- [ ] **D'Alambert-Hamiltonov princip minimalne akcije**
- [ ] **impulz/gibalna količina**
- [ ] **Hamiltonoov sistem za (x,p)**
- [ ] konzervativni sistem
- [ ] **Legendreva transformacija**
- [ ] **Legendreva transformiranka**
- [ ] **Geometrijski pomen Legendrove transformacije**