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title: 電磁學第三章

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## 第一部分：三大坐標系的基本元素

這是所有計算的基礎，一定要分清楚！

| 坐標系 | 變數 | 微分位移 (dl) | 微分體積 (dv) |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **直角 (Cartesian)** | `x, y, z` | `dx ax + dy ay + dz az` | `dx dy dz` |
| **圓柱 (Cylindrical)** | `ρ, φ, z` | `dρ aρ + ρdφ aφ + dz az` | `ρ dρ dφ dz` |
| **球 (Spherical)** | `r, θ, φ` | `dr ar + r dθ aθ + r sinθ dφ aφ` | `r² sinθ dr dθ dφ` |

*   **微分面積 (dS)**：是**向量**。方向是法向量，大小是`dl`中另外兩個分量大小的乘積。
    *   例如：在圓柱坐標中，垂直 `z` 軸的頂面積 `dS = (dρ) * (ρdφ) az = ρ dρ dφ az`。

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## 第二部分：Del 運算子 (∇) 的四大天王

這是本章的計算核心。`∇` 是一個指令，看它後面跟什麼，決定要做什麼運算。

### 1. 梯度 (Gradient): `∇V` (純量 → 向量)

*   **物理意義**：指向**純量場V增加最快**的方向。
*   **公式**：
    *   **直角**: `(∂V/∂x) ax + (∂V/∂y) ay + (∂V/∂z) az`
    *   **圓柱**: `(∂V/∂ρ) aρ + (1/ρ)(∂V/∂φ) aφ + (∂V/∂z) az`
    *   **球**: `(∂V/∂r) ar + (1/r)(∂V/∂θ) aθ + (1/(r sinθ))(∂V/∂φ) aφ`

### 2. 散度 (Divergence): `∇ · A` (向量 → 純量)

*   **物理意義**：衡量向量場 `A` 在某點的**發散/收斂**程度 (是源頭還是水槽)。
*   **公式**：
    *   **直角**: `∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z`
    *   **圓柱**: `(1/ρ)∂(ρAρ)/∂ρ + (1/ρ)∂Aφ/∂φ + ∂Az/∂z`
    *   **球**: `(1/r²)∂(r²Ar)/∂r + (1/(r sinθ))∂(Aθ sinθ)/∂θ + (1/(r sinθ))∂Aφ/∂φ`

### 3. 旋度 (Curl): `∇ × A` (向量 → 向量)

*   **物理意義**：衡量向量場 `A` 在某點的**旋轉/捲曲**程度。
*   **公式 (用行列式記最快)**：
    *   **直角**:
        ```
        det | ax   ay   az  |
            | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z|
            | Ax   Ay   Az  |
        ```
    *   **圓柱**:
        ```
        (1/ρ) * det | aρ   ρaφ    az    |
                    | ∂/∂ρ ∂/∂φ   ∂/∂z  |
                    | Aρ   ρAφ    Az    |
        ```
    *   **球**:
        ```
         (1/(r²sinθ)) * det | ar   raθ    rsinθ aφ  |
                            | ∂/∂r ∂/∂θ   ∂/∂φ      |
                            | Ar   rAθ    rsinθ Aφ  |
        ```

### 4. 拉普拉斯算子 (Laplacian): `∇²V` (純量 → 純量)

*   **定義**：**梯度的散度** `∇²V = ∇ · (∇V)`
*   **物理意義**：衡量一個點的值 `V(P)` 與其**周圍點平均值**的差異。
    *   `∇²V = 0` (拉普拉斯方程式) 意味著該點**沒有源** (沒有電荷)。
*   **公式**：
    *   **直角**: **`∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² + ∂²V/∂z²`** (二次偏微分相加)
    *   **圓柱**: `(1/ρ)∂(ρ ∂V/∂ρ)/∂ρ + (1/ρ²)∂²V/∂φ² + ∂²V/∂z²`
    *   **球**: `(1/r²)∂(r² ∂V/∂r)/∂r + (1/(r²sinθ))∂(sinθ ∂V/∂θ)/∂θ + (1/(r²sin²θ))∂²V/∂φ²`

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## 第三部分：兩大積分定理 (搭起宏觀與微觀的橋樑)

這兩個定理是本章的理論高峰，必考觀念題！

### 1. 散度定理 (Divergence Theorem / Gauss's Theorem)
`∮S A · dS = ∫v (∇ · A) dv`
*   **白話文**：從一個密閉容器**淨流出的總水量 (左邊)**，等於把容器裡**所有水龍頭的出水量加起來、水槽的排水量減掉 (右邊)**。
*   **作用**：把**封閉面積分**和**體積分**聯繫起來。

### 2. 斯托克斯定理 (Stokes's Theorem)
`∮L A · dl = ∫S (∇ × A) · dS`
*   **白話文**：沿著一個框框的邊緣走一圈，**水流推動你的總和 (左邊)**，等於框框裡面**所有小漩渦轉動趨勢的總和 (右邊)**。
*   **作用**：把**封閉路徑積分 (環流量)** 和**面積分**聯繫起來。

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## 第四部分：兩大恆等式 (必考判斷題)

### 1. 任何梯度的旋度必為零
`∇ × (∇V) = 0`
*   如果一個場是**保守場/無旋場 (`∇×A=0`)**，那麼它一定可以寫成某個純量場 `V` 的**梯度** (`A = -∇V`)。

### 2. 任何旋度的散度必為零
`∇ · (∇ × A) = 0`
*   如果一個場是**螺線場/無散場 (`∇·B=0`)**，那麼它一定可以寫成某個向量場 `A` 的**旋度** (`B = ∇×A`)。