<font size="4pt">^{*Semestre automne 2021*}</font>

###### tags: `Cryptographie`

# <font size="8pt"><b>Homework 1</b></font>

<font size="4pt" color="404040"><strong>Exercices</strong></font>

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<font size="5pt"><b>Table des matières : </b></font>

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[TOC]

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## 1. Homework 1

$\text{a)}$
$3 + 4 + 5 = 12$
$mod(11) \text{ de } 12 \equiv 1$

$\text{b)}$
$3 + 4 + 5 = 12$
$mod(12) \text{ de } 12 \equiv 0$

$\text{c)}$
$6*7 = 42$
$mod(11) \text{ de } 42 \equiv 11 - 2 = 9$

$\text{d)}$
$6*7 = 42$
$mod(12) \text{ de } 42 \equiv 12 - 6 = 6$

$\text{e)}$
$6^{10} mod(11) \equiv 1$
$\text{Th. de fermat: } a^{p-1} \equiv 6^{11-1} \equiv 1(mod(11))$

$\text{f)}$
$6^{10} mod(12) = 0$
$\text{dev. : } 6^{10} mod(12) \equiv 6^{2} 6^{8} mod(12) \equiv 6^{2} mod(12) \equiv 0$

$\text{g)}$
$6^{11} mod(12) = 0$
$\text{dev. : } 6^{11} mod(12) \equiv 6^{2} 6^{9} mod(12) \equiv 6^{2} mod(12) \equiv 0$

$\text{h)}$
$3-7 mod(11) = 7$
$\text{dev. : } -4 mod(11) \equiv 0, -1, -2, -3, -4 \text{ soit } 11, 10, 9, 8, 7$

$\text{i)}$
$2-7-9 mod(12) = 10$
$\text{dev. : } -14 mod(12) \equiv -12, -13, -14 \text{ soit } 0, 11, 10$

$\text{j)}$
$6*(-9) mod(11) \equiv -54 mod(11) \equiv 1$

$\text{k)}$
$7*(-3) mod(12) \equiv -21 mod(12) \equiv 3$

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## 2. Homework 2

Utile : $n^{p \cdot 10}=(n^{10})^p\equiv1 (mod(11))$

$\text{a)}$
$6^{1010} mod(11) \equiv (6^{10})^{101} \equiv 1$

$\text{b)}$
$7^{1010} mod(11) \equiv (7^{10})^{101} \equiv 1$

$\text{c)}$
$3^{1010} mod(11) \equiv (3^{10})^{101} \equiv 1$

$\text{d)}$
$10^{1010} mod(11) \equiv (10^{10})^{101} \equiv 1$

$\text{e)}$
$6^{987652656178756789027810} mod(11) \equiv 1$

$\text{f)}$
$6^{1011} mod(11) \equiv 6^{1011}\cdot6 \equiv 6$

$\text{g)}$
$6^{3024} mod(11) \equiv 6^{1010 \cdot 3+4} \equiv 6^{1010}\cdot6^2 \cdot 6^2 \equiv 9$

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## 3. Homework 3

Utile : $a^{-1}(mod(n)) \equiv ax = 1mod(7)$

$\text{a)}$
$3^-1 mod(11) \equiv 4$
$3\cdot x=1mod(11) \text{ solution:x=4}$

$\text{b)}$
$5^{-1} mod(11) \equiv 9$
$5\cdot x=1mod(11) \text{ solution:x=9}$

$\text{c)}$
$7^{-1} mod(11) \equiv 8$
$7\cdot x=1mod(11) \text{ solution:x=8}$

$\text{d)}$
$2^{-1} mod(11) \equiv 6$

$\text{e)}$
$6^{-1} mod(11) \equiv 2$

$\text{f)}$
$10^{-1} mod(11) \equiv 10$

Même principe mais avec modulo 12:

$\text{g)}$
$3{^-1} mod(12) = \varnothing$
$gcd(3,12)≠1$

$\text{h)}$
$5^{-1} mod(12) =5$
$5\cdot x=1mod(12) \text{ solution:x=5}$

$\text{i)}$
$7^{-1} mod(12) =$
$7\cdot x=1mod(12) \text{ solution:x=7}$

$\text{j)}$
$2^{-1} mod(12) = \varnothing$
$gcd(2,12)≠1$

$\text{k)}$
$6^{-1} mod(12) = \varnothing$
$gcd(6,12)≠1$

$\text{l)}$
$10^{-1} mod(12) = \varnothing$
$gcd(10,12)≠1$

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## 4. Homework 4


## 5. Homework 5


## 6. Homework 6

## 7. Homework 7