# Przestrzenie i grupy hiperboliczne

### Wstęp

#### Definicja 1.
Jeżeli $(X, d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $x, y \in X$to _**geodezyjną między punktami $x, y$**_ nazywamy izmometryczne zanurzenie $\gamma_{xy}: [0, d(x,y)] \rightarrow X$, takie że $\gamma_{xy}(0)=x$ oraz $\gamma_{xy}(d(x,y))=y$.
Jeżelli nie będzie prowadzić to do nieporozumień, to obraz przekształcenia $\gamma_{xy}$ również będziemy nazywać geodezyjną między punktami $x,y$.

#### Definicja 2.
Przestrzeń metryczną $(X,d)$ nazywamy _**przestrenią geodezyjną**_ jeżeli dla dowolnych
$x,y \in X$ istnieje geodezyjna.

#### przykład 1.
Przestrzeń metryczna $(\mathbb{R}^{2}, d)$ z metryką zadaną prze normę $\ell_{1}$ na $\mathbb{R}^{2}$ jest geodezyjna.

#### przykład 2.
Przestrzeń metryczna $(\mathbb{R}^{2} \setminus \{(0,0)\}, d_{2})$ z metryką euklidesową **<span style="color: red">nie jest geodezyjna</span>**.

### Graf Caleya $Cay(G, S)$ grupy o skończonej liczbie generatorów jako przestrzeń geodezyjna.

#### Definicja 3 (Geometryczna realizacja grafu).
Niech $\Gamma=(V, E)$ będzie grafem spójnym, _**geometryczną realizacją $\Gamma$**_ nazywamy przestrzeń metryczną $(X, d_{X})$ taką, że:
* jesli $E=\emptyset$ to ponieważ $X$ jest spójny zatem $\vert V \vert \leq 1$ ($\vert V \vert$ liczba wierchołków), wtedy przyjmujemy $X:=V$ oraz $d_{X} := 0$.
* jesli $E\neq\emptyset$, to każdy wierchołek $\Gamma$ "leży" na przynajmnie jednej krawędzi, wtedy definiujemy:
$$ X := \vec{E} \times [0,1] / \sim$$
przy czym
$$((u,v), t) \sim ((u',v'), t') \Leftrightarrow \begin{cases} u'=u \ , \ v'=v \ , \ t'=t\\
\\
u'=v \ , \ v'=u \ , \ t'=1-t\\
\\
u'=v \ , \ v'= w \ , \ t=1 \ , \ t'=0
\end{cases}$$

---

---

Metrykę $d_{X}$ na $X$ definujemy następująco:
$$d_{X}([((u,v),t)], [((u',v'),t')]):=\begin{cases}\\
\vert t - t' \vert \quad &\textrm{ jeśli } \quad (u,v)=(u',v')\\
\\
\vert t - (1-t') \vert \quad &\textrm{ jeśli } \quad (u,v)=(v',u')\\
\\
\ \begin{array}{l}\min( t+d_{G}( u,u') +t'\\
\ \ \ \ \ \ \ ,t+d_{G}( u,v') +1-t'\\
\ \ \ \ \ \ \ ,1-t+d_{G}( v,u') +t'\\
\ \ \ \ \ \ \ ,1-t+d_{G}( v,v') +1-t')
\end{array} &\textrm{ jeśli } \quad \{u,v\} \neq \{u',v'\}
\end{cases}$$

gdzie $d_{G}$ oznacza metrykę słów na $\Gamma=(V, E)$.
### Prezentatcja grupy

#### Definicja 3 (Grupy wolnej)
Niech $S$ będzie zbiorem. Grupę $(F, *_{F})$ taką, że $S \subseteq F$ nazywamy _**wolną grupą generowaną przez $S$**_ jeżeli $F$ ma następującą _własność uniwersalną_:
* Dla każdej grupy $(G, *_{G})$ i każdego odwzorowania $\varphi: S \longrightarrow G$ istnieje dokładnie jeden homomorfizm $\bar{\varphi}: F \longrightarrow G$, będący roszerzeniem $\varphi$:
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
S @>{\varphi}>> G\\
@VVV @VVV \\
K(Y) @>{ch}>> H(Y;\mathbb Q);
\end{CD}$$