Tích phân.

• Tính
  $A={\displaystyle \int \frac{3x-2}{x^2-4x+5}dx}$.

$A={\displaystyle \int \frac{3x-2}{(x-2{)}^2+1}dx}$.

Đặt

$u=x-2$.

$\to x=u+2$.

$\to 3x-2=3u+4$.

Mặt khác có

$du=dx$.

Do đó:

$A={\displaystyle \int \frac{3u+4}{u^2+1}du={\displaystyle \int \frac{3u}{u^2+1}du+4{\displaystyle \int \frac{1}{u^2+1}du}}}$.

Đặt

$t=u^2+1$.

$\to dt=t^{\prime }du=2udu$.

$\to du=\frac{dt}{2u}$.

Thay vào được:

$A={\displaystyle \int \frac{3u}{t}\frac{dt}{2u}+4{\displaystyle \int \frac{1}{u^2+1}du=\frac{3}{2}{\displaystyle \int \frac{dt}{t}+4{\displaystyle \int \frac{1}{u^2+1}du}}}}$.

Áp dụng công thức:

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}=\arctan (x)+C}$.

Và công thức:

${\displaystyle \int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C}$.

Vậy

$A=\frac{3}{2}ln|t|+4\arctan (u)+C=\frac{3}{2}ln|(x-2{)}^2+1|+4\arctan (x-2)+C$

$=\frac{3}{2}ln|x^2-4x+5|+4\arctan (x-2)+C$.