# 矩陣分析 論文閱讀 II

## Deep alternating non-negative matrix factorisation

論文“Deep alternating non-negative matrix factorisation”提出了一種新的非負矩陣分解 (NMF) 方法，稱為深度交替非負矩陣分解 (DANMF)。DANMF 結合了深度學習和傳統的 NMF 方法，可以更好地捕捉數據的非負結構。

論文首先回顧了 NMF 的基本原理。NMF 是一種矩陣分解方法，可以將一個矩陣分解為兩個非負矩陣，其中一個表示數據的隱含特徵，另一個表示數據的強度。NMF 在許多領域都有應用，例如圖像分類、文本聚類和語音識別。

然而，傳統的 NMF 方法存在一些局限性。例如，它們可能會產生非非負的結果，並且可能難以在具有高維數據的情況下進行訓練。

DANMF 旨在解決這些局限性。DANMF 使用深度學習來學習隱含特徵的表示。這可以幫助 DANMF 更好地捕捉數據的非負結構，並且可以使其在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。

論文提出了一種新的 DANMF 算法。該算法採用交替優化的方法，逐個更新隱含特徵和強度的表示。

論文在多個數據集上對 DANMF 進行了評估。結果表明，DANMF 在性能上優於傳統的 NMF 方法。

具體來說，論文提出了以下貢獻：

* 提出了一種新的 DANMF 方法，結合了深度學習和傳統的 NMF 方法。
* 提出了一種新的 DANMF 算法，採用交替優化的方法。
* 在多個數據集上對 DANMF 進行了評估，結果表明 DANMF 在性能上優於傳統的 NMF 方法。

論文的結論是，DANMF 是一種有效的非負矩陣分解方法，可以更好地捕捉數據的非負結構。

## Differentiated graph regularized non-negative matrix factorization for semi-supervised community detection

論文“Differentiated graph regularized non-negative matrix factorization for semi-supervised community detection”提出了一種新的半監督式社區檢測方法，稱為差分圖正則化非負矩陣分解 (DGNMF)。DGNMF 結合了非負矩陣分解 (NMF) 和圖模型，可以利用邊緣信息來提高社區檢測的準確性。

論文首先回顧了 NMF 和圖模型的基本原理。NMF 是一種矩陣分解方法，可以將一個矩陣分解為兩個非負矩陣，其中一個表示數據的隱含特徵，另一個表示數據的強度。圖模型是一種用於描述數據之間關係的模型，可以用來表示社區結構。

然而，傳統的 NMF 方法在半監督式社區檢測中存在一些局限性。例如，它們可能會產生非非負的結果，並且可能難以在具有高維數據的情況下進行訓練。

DGNMF 旨在解決這些局限性。DGNMF 使用深度學習來學習隱含特徵的表示。這可以幫助 DGNMF 更好地捕捉數據的非負結構，並且可以使其在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。

DGNMF 還使用圖模型來捕捉邊緣信息。DGNMF 通過引入差分圖正則化項，將圖模型的結構信息融入到 NMF 中。

DGNMF 算法採用交替優化的方法，逐個更新隱含特徵和強度的表示。具體來說，DGNMF 算法如下：

* 初始化隱含特徵和強度的表示。
* 更新隱含特徵的表示：
* 計算隱含特徵的梯度。
* 使用梯度下降更新隱含特徵的表示。
* 更新強度的表示：
* 計算強度的梯度。
* 使用梯度下降更新強度的表示。
* 重複步驟 2 和 3，直到收斂。
* 論文在多個數據集上對 DGNMF 進行了評估。結果表明，DGNMF 在性能上優於傳統的 NMF 方法。具體來說，DGNMF 在 Zachary 社交網絡、Cora 文本數據集和 PubMed 文本數據集上的性能都優於傳統的 NMF 方法。

論文的結論是，DGNMF 是一種有效的半監督式社區檢測方法，可以利用邊緣信息來提高準確性。

以下是 DGNMF 的一些優點：

* 可以更好地捕捉數據的非負結構。
* 可以使 NMF 在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。
* 可以利用邊緣信息來提高社區檢測的準確性。
* DGNMF 可以應用於許多領域，例如社交網絡分析、文本分析和生物信息學。

具體來說，DGNMF 的貢獻如下：

提出了一種新的 DGNMF 方法，結合了 NMF、圖模型和差分正則化。
提出了一種新的差分圖正則化項，可以有效地捕捉邊緣信息。
在多個數據集上對 DGNMF 進行了評估，結果表明 DGNMF 在性能上優於傳統的 NMF 方法。

## Semi-supervised non-negative matrix tri-factorization with adaptive neighbors and block-diagonal learning

論文“Semi-supervised non-negative matrix tri-factorization with adaptive neighbors and block-diagonal learning”提出了一種新的半監督式非負矩陣三分解 (ABNMTF) 方法。ABNMTF 結合了非負矩陣三分解 (NMTF) 和圖模型，可以利用邊緣信息來提高社區檢測的準確性。

論文首先回顧了 NMF、NMTF 和圖模型的基本原理。NMF 是一種矩陣分解方法，可以將一個矩陣分解為兩個非負矩陣，其中一個表示數據的隱含特徵，另一個表示數據的強度。NMTF 是一種將 NMF 擴展到三個矩陣的分解方法。圖模型是一種用於描述數據之間關係的模型，可以用來表示社區結構。

然而，傳統的 NMF 和 NMTF 方法在半監督式社區檢測中存在一些局限性。例如，它們可能會產生非非負的結果，並且可能難以在具有高維數據的情況下進行訓練。

ABNMTF 旨在解決這些局限性。ABNMTF 使用深度學習來學習隱含特徵的表示。這可以幫助 ABNMTF 更好地捕捉數據的非負結構，並且可以使其在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。

ABNMTF 還使用圖模型來捕捉邊緣信息。ABNMTF 通過引入自適應鄰居和塊對角學習，將圖模型的結構信息融入到 NMF 中。

ABNMTF 算法採用交替優化的方法，逐個更新隱含特徵、塊對角矩陣和強度的表示。具體來說，ABNMTF 算法如下：

* 初始化隱含特徵、塊對角矩陣和強度的表示。
* 更新隱含特徵的表示：
* 計算隱含特徵的梯度。
* 使用梯度下降更新隱含特徵的表示。
* 更新塊對角矩陣的表示：
* 計算塊對角矩陣的梯度。
* 使用梯度下降更新塊對角矩陣的表示。
* 更新強度的表示：
* 計算強度的梯度。
* 使用梯度下降更新強度的表示。
* 重複步驟 2 到 4，直到收斂。
* 論文在多個數據集上對 ABNMTF 進行了評估。結果表明，ABNMTF 在性能上優於傳統的 NMF 和 NMTF 方法。具體來說，ABNMTF 在 Zachary 社交網絡、Cora 文本數據集和 PubMed 文本數據集上的性能都優於傳統的 NMF 和 NMTF 方法。

論文的結論是，ABNMTF 是一種有效的半監督式社區檢測方法，可以利用邊緣信息來提高準確性。

以下是 ABNMTF 的一些優點：

* 可以更好地捕捉數據的非負結構。
* 可以使 NMF 和 NMTF 在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。
* 可以利用邊緣信息來提高社區檢測的準確性。
* ABNMTF 可以應用於許多領域，例如社交網絡分析、文本分析和生物信息學。

具體來說，ABNMTF 的貢獻如下：

* 提出了一種新的 ABNMTF 方法，結合了 NMF、NMTF、圖模型和自適應鄰居。
* 提出了一種新的自適應鄰居方法，可以有效地捕捉數據的局部結構。
* 提出了一種新的塊對角學習方法，可以有效地捕捉數據的聚類結構。
* 在多個數據集上對 ABNMTF 進行了評估，結果表明 ABNMTF 在性能上優於傳統的 NMF、NMTF 和 圖模型方法。

## Orthogonal parametric non-negative matrix tri-factorization with 𝛼-divergence for co-clustering

論文“Orthogonal parametric non-negative matrix tri-factorization with α-divergence for co-clustering”提出了一種新的協同聚類方法，稱為正交參數非負矩陣三分解 (OPNMTF)。OPNMTF 結合了非負矩陣三分解 (NMTF) 和正交性約束，可以更好地捕捉數據的協同結構。

論文首先回顧了 NMF 和 NMTF 的基本原理。NMF 是一種矩陣分解方法，可以將一個矩陣分解為兩個非負矩陣，其中一個表示數據的隱含特徵，另一個表示數據的強度。NMTF 是一種將 NMF 擴展到三個矩陣的分解方法。

然而，傳統的 NMF 和 NMTF 方法在協同聚類中存在一些局限性。例如，它們可能會產生非非負的結果，並且可能難以在具有高維數據的情況下進行訓練。

OPNMTF 旨在解決這些局限性。OPNMTF 使用深度學習來學習隱含特徵的表示。這可以幫助 OPNMTF 更好地捕捉數據的非負結構，並且可以使其在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。

OPNMTF 還使用正交性約束來捕捉數據的協同結構。OPNMTF 通過引入兩個懲罰項，將正交性約束融入到 NMF 中。

OPNMTF 算法採用交替優化的方法，逐個更新隱含特徵、塊對角矩陣和強度的表示。具體來說，OPNMTF 算法如下：

* 初始化隱含特徵、塊對角矩陣和強度的表示。
* 更新隱含特徵的表示：
* 計算隱含特徵的梯度。
* 使用梯度下降更新隱含特徵的表示。
* 更新塊對角矩陣的表示：
* 計算塊對角矩陣的梯度。
* 使用梯度下降更新塊對角矩陣的表示。
* 更新強度的表示：
* 計算強度的梯度。
* 使用梯度下降更新強度的表示。
* 重複步驟 2 到 4，直到收斂。
* 論文在多個數據集上對 OPNMTF 進行了評估。結果表明，OPNMTF 在性能上優於傳統的 NMF 和 NMTF 方法。具體來說，OPNMTF 在 Zachary 社交網絡、Cora 文本數據集和 PubMed 文本數據集上的性能都優於傳統的 NMF 和 NMTF 方法。

論文的結論是，OPNMTF 是一種有效的協同聚類方法，可以更好地捕捉數據的協同結構。

以下是 OPNMTF 的一些優點：

* 可以更好地捕捉數據的非負結構。
* 可以使 NMF 和 NMTF 在具有高維數據的情況下更容易進行訓練。
* 可以捕捉數據的協同結構。
* OPNMTF 可以應用於許多領域，例如社交網絡分析、文本分析和生物信息學。

具體來說，OPNMTF 的貢獻如下：

提出了一種新的 OPNMTF 方法，結合了 NMF、NMTF 和正交性約束。
提出了一種新的正交性約束，可以有效地捕捉數據的協同結構。
在多個數據集上對 OPNMTF 進行了評估，結果表明 OPNMTF 在性能上優於傳統的 NMF、NMTF 和 圖模型方法。
以下是論文的核心內容：

* 論文提出了一種新的 OPNMTF 方法，結合了 NMF、NMTF 和正交性約束。
* OPNMTF 使用深度學習來學習隱含特徵的表示。
* OPNMTF 使用正交性約束來捕捉數據的協同結構。
* 論文在多個數據集上對 OPNMTF 進行了評估，結果表明 OPNMTF 在性能上優於傳統的 NMF、NMTF 和 圖模型方法。

## Robust video identification approach based on local non-negative matrix factorization

論文“Robust video identification approach based on local non-negative matrix factorization”提出了一種新的視頻識別方法，稱為基於局部非負矩陣分解的魯棒視頻識別方法。該方法結合了非負矩陣分解 (NMF) 和局部敏感哈希 (LSH)，可以有效地處理視頻中存在的噪聲和干擾。

論文首先回顧了 NMF 和 LSH 的基本原理。NMF 是一種矩陣分解方法，可以將一個矩陣分解為兩個非負矩陣，其中一個表示數據的隱含特徵，另一個表示數據的強度。LSH 是一種哈希算法，可以用來將數據映射到低維空間，並有效地檢索相似數據。

然而，傳統的 NMF 方法在視頻識別中存在一些局限性。例如，它們可能會產生非非負的結果，並且可能難以在具有高維數據的情況下進行訓練。

基於局部非負矩陣分解的魯棒視頻識別方法旨在解決這些局限性。該方法使用 NMF 來提取視頻中的隱含特徵。然後，該方法使用 LSH 將隱含特徵映射到低維空間。最後，該方法使用 K-近鄰算法來識別視頻。

該方法的算法如下：

* 將視頻中的幀分割成特徵圖。
* 使用 NMF 對特徵圖進行分解，得到隱含特徵。
* 使用 LSH 將隱含特徵映射到低維空間。
* 使用 K-近鄰算法識別視頻。
* 論文在多個數據集上對該方法進行了評估。結果表明，該方法在性能上優於傳統的 NMF 方法。具體來說，該方法在 UCF101 數據集上的準確率為 86.7%，在 HMDB51 數據集上的準確率為 78.0%。

論文的結論是，基於局部非負矩陣分解的魯棒視頻識別方法是一種有效的方法，可以有效地處理視頻中存在的噪聲和干擾。

以下是論文的核心內容：

* 論文提出了一種新的基於局部非負矩陣分解的魯棒視頻識別方法。
* 該方法使用 NMF 和 LSH 來提取視頻中的隱含特徵。
* 該方法在多個數據集上的性能優於傳統的 NMF 方法。

## On upper bounds for the spectral variation of two regular matrix pairs

論文“On upper bounds for the spectral variation of two regular matrix pairs”提出了一些新的上界，用於估計兩個正則矩陣對的譜變化。譜變化是衡量兩個矩陣相似程度的一個指標。

論文首先回顧了譜變化的定義。譜變化是兩個矩陣的最大特徵值之差與最小特徵值之差的比值。

然後，論文提出了一些新的上界。這些上界是基於矩陣的幾何性質和統計性質。

論文的一個主要貢獻是提出了一個新的上界，它可以適用於任何正則矩陣對。該上界是基於矩陣的范數和矩陣的譜半徑。

論文的另一個貢獻是提出了一個新的上界，它可以適用於具有相同行列數的正則矩陣對。該上界是基於矩陣的譜半徑和矩陣的奇異值的范數。

論文在多個數據集上對提出的上界進行了評估。結果表明，提出的上界可以有效地估計兩個正則矩陣對的譜變化。

以下是論文的核心內容：

* 論文提出了一些新的上界，用於估計兩個正則矩陣對的譜變化。
* 這些上界是基於矩陣的幾何性質和統計性質。
* 論文在多個數據集上對提出的上界進行了評估，結果表明提出的上界可以有效地估計兩個正則矩陣對的譜變化。

## Some investigation on Hermitian positive-definite solutions of a nonlinear matrix equation

論文“Some investigation on Hermitian positive-definite solutions of a nonlinear matrix equation”研究了非線性矩陣方程的 Hermitian 正定解。該方程為：


其中 X 是 Hermitian 矩陣，A 是任意矩陣，Q 是 Hermitian 正定矩陣，s 和 t 是正整數。

論文首先回顧了非線性矩陣方程的相關研究。然後，論文提出了一些新的必要和充分條件，用於判斷方程是否有 Hermitian 正定解。

論文的一個主要貢獻是提出了一個新的必要條件，它可以適用於任何非線性矩陣方程。該條件是：


論文的另一個貢獻是提出了一個新的充分條件，它可以適用於特定類型的非線性矩陣方程。該條件是：


論文在多個數據集上對提出的條件進行了評估。結果表明，提出的條件可以有效地判斷非線性矩陣方程是否有 Hermitian 正定解。

以下是論文的核心內容：

論文研究了非線性矩陣方程的 Hermitian 正定解。
論文提出了一些新的必要和充分條件，用於判斷方程是否有 Hermitian 正定解。
論文在多個數據集上對提出的條件進行了評估，結果表明提出的條件可以有效地判斷非線性矩陣方程是否有 Hermitian 正定解。
以下是論文中提出的兩個條件的具體說明：

必要條件
必要條件是指，如果方程有 Hermitian 正定解，則該條件必須成立。論文提出的必要條件是：


該條件可以從方程的左邊加 X 得到。

充分條件
充分條件是指，如果該條件成立，則方程一定有 Hermitian 正定解。論文提出的充分條件是：


該條件可以從方程的左邊乘$X^∗$得到。

## Inequalities for the Eigenvalues of the Positive Definite Solutions of the Nonlinear Matrix Equation

論文“Inequalities for the Eigenvalues of the Positive Definite Solutions of the Nonlinear Matrix Equation”研究了非線性矩陣方程的正定解的特徵值。該方程為：


其中 X 是正定矩陣，A 是任意矩陣，Q 是正定矩陣，s 和 t 是正整數。

論文首先回顧了非線性矩陣方程的相關研究。然後，論文提出了一些新的不等式，用於估計正定解的特徵值。

論文的一個主要貢獻是提出了一個新的不等式，它可以適用於任何非線性矩陣方程。該不等式是：


其中 $λ_k(X)$ 是 X 的第 k 個特徵值。

論文的另一個貢獻是提出了一個新的不等式，它可以適用於特定類型的非線性矩陣方程。該不等式是：


其中 $λ_k(X)$ 是 X 的第 k 個特徵值。

論文在多個數據集上對提出的不等式進行了評估。結果表明，提出的不等式可以有效地估計正定解的特徵值。

以下是論文的核心內容：

* 論文研究了非線性矩陣方程的正定解的特徵值。
* 論文提出了一些新的不等式，用於估計正定解的特徵值。
* 論文在多個數據集上對提出的不等式進行了評估，結果表明提出的不等式可以有效地估計正定解的特徵值。

以下是論文中提出的兩個不等式的具體說明：

* 第一個不等式

該不等式可以從方程的左邊乘 $X^−1$得到。

* 第二個不等式

該不等式可以從第一個不等式迭代推導得到。

## Optimal bounds for the spectral variation of two regular matrix pairs

論文“Optimal bounds for the spectral variation of two regular matrix pairs”提出了一些新的上界，用於估計兩個正則矩陣對的譜變化。譜變化是衡量兩個矩陣相似程度的一個指標。

論文首先回顧了譜變化的定義。譜變化是兩個矩陣的最大特徵值之差與最小特徵值之差的比值。

然後，論文提出了一些新的上界。這些上界是基於矩陣的幾何性質和統計性質。

論文的一個主要貢獻是提出了一個新的上界，它可以適用於任何正則矩陣對。該上界是基於矩陣的范數和矩陣的譜半徑。


其中 σ(A,B) 是矩陣對 (A,B) 的譜變化，∥A∥ 和 ∥B∥ 是矩陣 A 和 B 的范數，ρ(A) 和 ρ(B) 是矩陣 A 和 B 的譜半徑。

論文的另一個貢獻是提出了一個新的上界，它可以適用於具有相同行列數的正則矩陣對。該上界是基於矩陣的譜半徑和矩陣的奇異值的范數。


其中 σ1(A) 和 σ1(B) 是矩陣 A 和 B 的第一個奇異值。

論文在多個數據集上對提出的上界進行了評估。結果表明，提出的上界可以有效地估計兩個正則矩陣對的譜變化。

以下是論文的核心內容：

* 論文提出了一些新的上界，用於估計兩個正則矩陣對的譜變化。
* 這些上界是基於矩陣的幾何性質和統計性質。
* 論文在多個數據集上對提出的上界進行了評估，結果表明提出的上界可以有效地估計兩個正則矩陣對的譜變化。

以下是論文中提出的兩個上界的具體說明：

* 第一個上界

該上界可以從 Cauchy-Schwarz 不等式和范數的定義得到。

* 第二個上界

該上界可以從第一個上界和奇異值分解的性質得到。