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# 4.1 Real vector space (向量空間)
- 主要講述當我給定一集合(set)V,給一集合R(實數 有理數 複數)和兩個運算的規則(向量加法與純量乘積),則十項的定理皆成立
## vector (向量) -->具有 大小 及 方向
### 特性
- 加法(addition) (u v w皆為向量)
- 如果u與v在V(vector space)裡,則u+v一樣會在V之中
- 1.u + v = v + u
- 2.u + (v + w) = (u + v ) + w
- 3.0向量特色 大小趨近於零且與任一有值向量皆平行。
- 4.u + 0 = u
- 5.u + (-u) = (-u) + u = 0
- 內積
- u dot 0 = 0
## scalar(純量) -->具有大小
- 乘法(multiplication) (u v w皆為向量，k、m為純量)
- 6.k (u + v ) = ku+kv
- 7.(k+m) u = ku+mu
- 8.kmu = mku
- 9.1* u = u
- 10.如果u是在V裡,且k是純量,則k* u也是在V裡
#### 成立條件 皆為封閉(closure)
## $R^n$ 向量空間的集合
- R代表向量空間集合 n代表維度數
- $R^n$適用於向量相加與純量乘積
- 如果$R^{無限大}$ = [($a_1,a_2,a_3....$)|$a_1,a_2...屬於R$]在向量相加與純量乘積中還是成立
- ($a_1,a_2,a_3....$)+($b_1,b_2,b_3....$) = ($a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3....$)-->向量相加
- k($a_1,a_2,a_3....$) = ($ka_1,ka_2,ka_3....$) -->純量乘積
- 現有一方程式在F[a,b],其區間在[a,b]之間,則在向量相加與純量乘積會有以下特性
- (f+g)(x) = f(x)+ g(x)
- (kf)(x) = kf(x)
- 若方程式區間改成[-無限大,無限大]則一樣適用
- $M_{mn}$矩陣形式一樣適用向量相加與純量乘積特性
- 如果V是一任意向量空間,則零向量一定存在其中
## 總結 4.1
- Zero vector 零向量的定義--> 不改變向量的 大小 及方向 且符合向量相加與純量乘積運算規則(在向量空間中的零向量可能是 0元素 0矩陣 0向量)
- Vector space向量空間-->須符合向量與純量的運算規則,若不符合則vector space不成立
- 消去法定理成立
- 運算規則成立
- 1.[0(純量)* x = 0(向量)]
- 2.a是實數則 -(ax)=(-ax) = a(-x) -->其中負號的意思這個元素為加法的反元素,具有唯一性。
- 3.a0 = 0 其中兩等號的0皆為0向量
# 4.2 Subspaces(子集合,子空間)
- 定義 假若有一個vector space V,且同時存在一部分集合(子集合)(subset)W 在V向量空間中且滿足十項運算規則,則稱此W為Subspaces