# 求積問題20190912

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## 問

https://twitter.com/solvemymaths/status/1171111458815533056?s=12

図のように円と正八角形と正方形が接している。
円の半径を $r = \sqrt{2+\sqrt{2}}$ とするとき、正方形の面積を求めよ。


## 考察


(1) 円の半径の長さは互いに等しいので、$\text{OB}=\text{OF}$
(2) 正八角形において隣り合う二辺を用いて作る三角形は常に合同であるから、 $\triangle\text{ACE}\equiv\triangle\text{GFO}$なので $\text{OF}=\text{CE}$
(3) (1)(2) より、 $\text{OB}=\text{CE}$
(4) 正八角形の性質から、 $\text{OC}\perp\text{AE}$, $\text{OC}\perp\text{GF}$
(5) 正八角形の外角が $\pi/4$ であるから、$\text{AE}\perp\text{EB}$
(6) (4)(5) より $\text{OC} \parallel \text{BE}$
(7) (3)(6) より 四角形$\text{OCEB}$ は平行四辺形。
(8) (7)より $\text{OC}=\text{BE}$

以上から、$\text{OC}=x$ とすると、正方形の面積は $x^2$ に等しい。

三角形$\text{COA}$について、$x=\text{CO}=\text{CA}$, $\angle \text{OCA} = 3\pi/4$ より
余弦定理から $r^2 = x^2 + x^2 - 2x^2 \cos{(3\pi/4)}$
コサインの性質から $r^2 = x^2 + x^2 + 2x^2 \cos{(\pi/4)}$
まとめると $r^2 = 2x^2(1+\cos(\pi/4))$

これを $x^2$について解くと

$\displaystyle x^2 = \frac{r^2}{2(1+\cos{\frac{\pi}{4}})}$

$\displaystyle \cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ だから、

$\displaystyle x^2 = \frac{r^2}{2(1+\cos{\frac{\pi}{4}})} =\frac{r^2}{2\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} = \frac{\sqrt{2}r^2}{2(\sqrt{2}+1)}$

$r = \sqrt{2+\sqrt{2}}$ だったので、

$\displaystyle x^2 = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2(\sqrt{2}+1)} = \frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+2}=1$

よって、 正方形の面積は $1$

...合ってるかしらん(´・ω・｀)