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title: "Rime/oral\U0001F9D2\U0001F9E9\U0001F913"

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# Rime/oral🧒🧩🤓

**La tour d’Hanoï, plus qu’un jeu d’enfants ?**

**Intro :** Apporter en 1883 par le mathématicien Français Edouard Lucas d’Inde, la tour de Hanoï/Brahma et un des nombreux casse tète qui font plaisir à s’y exercé. Elle est d’ailleurs tirée d’une légende comme quoi une divinité aurait enfilait 64 disque d’or du plus grands au plus petit dans un bâton posé à la vertical, et que si ces disques sont déplacer et mis dans le même ordre sur le troisième bâton, la fin du monde arrivera. Les règles sont simples : on ne peut pas déplacer plus d’un disque, on peut poser ce disque que sur un plus grand que lui ou si il n’y a pas d’autre, et on peut prendre que celui du haut.
On peut donc se demander si la tour de Hanoï est bien plus qu’un jeu d’enfant.

**Développement :** Ce problème peu déjà être représenter par un simple algorithme : on déplace les n-1 disques vers le 2eme pilier (ceux du haut sauf le +grand), le plus grand se met dans le 3eme puis les n-1 disques se déplace aussi dans le troisième.
![](https://i.imgur.com/gv0J3Tv.jpg)

On peut ainsi le représenté par une suite récursive: Un=2Un-1+1 avec n le nombre de disque.
On peut ainsi en déduire la suite géométrique suivante : Un=2^n-1
Cette formule nous permet alors de calculer le nombre de coup nécessaire pour résoudre ce puzzle : U3=2^3-1=8-1=7
![](https://i.imgur.com/hu0yO5F.jpg)

On peut aussi ressortir une autre propriété de ce casse tête : un schéma se répète en fonction du nombre de disque. Si il est pair les disques se déplace au 1er puis le 2éme et enfin le 3éme, mais si il est impair il suit le schéma 1, 3, 2. On peut déterminer par un simple calcul le nombre de répétition : pair=> 2^n-1/3  impair=> 2^n-2/3
Soit Un ou Un-1(impair devient pair) divisé par le nombre de bâton.
On peut aussi représenter cette méthode itérative par une alternance de couleur, ici le disque ne sera jamais posé sur une plateforme de même couleur
![](https://i.imgur.com/x0WQwDv.png)

Ce problème est de plus représenté en programmation comme un exemple parfait de forme récursive. On entre d’abord les paramètres tel que le nombre de disque, le pilier de départ, d’arrivé et l’intermédiaire. Si il n’y a qu’un seul disque, on le déplace à l’arrivée, ou bien on déplace les premiers disques disque du départ vers l’intermédiaire de manière récursive, pour ensuite toujours en faisant à nouveau appelle à la fonction de les déplacer jusqu’à l’arrivé.
(programme python)

**Conclusion :** On peut donc voir derrière ce casse tète pour enfant, une représentation mathématique logique suivant le principe de récursivité. Mais si on veut mettre en lien notre raisonnement avec la légende, il faudrait 2^64-1=1,84*10^9 coups pour finir de déplacer ces 64 disques. La fin du monde est donc pour longtemps (5834601725 décennies).
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