复变函数 - HackMD

# 复变函数 <section style="/*background-image:url(https://s2.ax1x.com/2019/09/10/nUKC79.gif);background-position:center;color:red;background-size:100%*/"> ## 复变函数 ### 复变函数 #### 复数概念及运算 - 复数的表示 - $x+iy$ - 矢量表示 - 三角表示 - 指数表示 #### 复变函数 - 区域 - 区域 - 全部由内点构成 - 任意两个点都能用一条折线连接，折现上的点都属于点集 - 闭区域 - 区域和边界线组成 - 闭区域不是区域 - 单连通区域 - 区域D内任意一条简单闭合曲线的内部完全属于D - 多联通区域 - 复变函数导数 - $f'(z)=u_x+iv_x$ - 可导等价于可微 - 可导的充要条件 1. 在该点可微 2. 满足C-R条件 - C-R条件 - $u_x=u_y\\u_y=-u_x$ - $u_r={1\over r}u_{\theta}\\{1\over r}u_{\theta}=-v_r$ #### 解析函数 - 定义 - $f(z)$在$z_0$以及$z_0$的某个邻域内处处可导，则在$z_0$解析 - 调和函数 - $u,v,f$相互推导 - 曲线积分法 - 凑微分法 - 不定积分法 - 根据C-R条件求出$f'(z)$再对在$z$积分 - 初等解析函数 - 指数函数 - $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$ - 周期$2\pi i$ - 对数函数 - $Ln\,z= \ln|z|+iArg\,z$ - 幂函数 - $z^{p\over q}$有$q$个值，（$p\over q$为既约分数），特别$z^{1\over n}$有$n$个值 - 三角函数 - $\cos z={e^{iz}+e^{-iz}\over 2}\\\sin z={e^{iz}-e^{-iz}\over 2i}$ - 双曲函数 - 反三角函数 ### 复变函数积分 #### 复变函数积分 - 计算方法 - $f\rightarrow u+iv,dz=dx+idy$ - 参数方程 - $\int_c{dz\over(z-a)^n}=\begin{cases}2\pi i&(n=1)\\0&(n\ne 1)\end{cases}$ #### 柯西定理 - 单连通区域柯西定理 - $\oint_cf(z)dz=0$ - 推论：解析函数积分值只与起点和终点有关 - 复联通区域柯西定理 - $\oint_{c_0}f(z)dz+\sum\limits_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz=0$ #### 柯西公式 - 柯西公式 $f(a)=$ ${1\over 2\pi i}$ $\oint_c{f(z)dz\over z-a}$ - 高阶导数公式 $f^{(n)}=$${n!\over 2\pi i}$$\oint_c{f(\zeta)d\zeta\over\zeta-z}$ - 注意 - $f(z)$在围道内解析 - $z=a$在闭合围道内 ### 解析函数幂级数展开 #### 复变函数项级数 - 收敛判断 - 充要条件实部虚部都收敛 - 必要条件通项极限为0 （用于判断发散) - 柯西收敛定理 - 绝对收敛 - 模收敛 - 绝对收敛一定收敛 - 一致收敛 #### 幂级数 - 收敛圆和收敛半径 - 比值判别法 - 根值判别发 #### 泰勒级数展开 - 泰勒定理 $f(z)$在$z_0$邻域解析，$f(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\\c_n={1\over 2\pi i}\oint_c{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}dz={f^{(n)}(z_0)\over n!}$ #### 洛朗级数展开 - 洛朗级数 - 双边幂函数 - 洛朗定理 $f(z)$在圆环域内处处解析，$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n\\c_n={1\over 2\pi i}\oint_c{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}dz$ #### 孤立奇点分类 - 可去奇点 - 本性奇点 - m级极点根据极点和零点关系确定 ### 留数定理及其应用 #### 留数定理 - $\int_cf(z)dz=2\pi i\sum Res\,f(z_i)$ #### 留数计算方法 - 一阶极点 $\lim\limits_{z\to z_0}\,(z-z_0)f(z)$ $\lim\limits_{z\to z_0}{P\over Q'}$ - m阶极点 $\lim\limits_{z\to z_0} {1\over (m-1)!}{d^{m-1}\over dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)$ #### 留数定理应用 - 有理三角函数积分 $z=e^{i\theta}\\d\theta={dz\over iz}\\\sin\theta={z-z^{-1}\over 2i}\\\cos\theta={z+z^{-1}\over 2}$ - 无穷积分 - 条件一实轴没有奇点，$\lim\limits_{z\to \infty} zf(z)=0$ $上半平面I=2\pi i\sum Res\,f(z_i)_{上半平面}$ - 条件二实轴有奇点(只能是一阶极点) $上半平面实轴I=2\pi i\sum Res,f(z_i)_{上半平面}+\pi iRes\,f(z_0)_{实轴}$ - 含有三角函数积分 $I=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{imx}dx$ - 约当引理 $|z|\to \infty,f(z)$在上半平面和实轴一致趋向0，则$\lim\limits_{R\to\infty}\int_{c_R}f(z)e^{imz}=0$ - $上半平面I=2\pi i\sum Res\,[f(z)e^{imz}]|_{上半平面}$ - 迪利克雷积分 $\int_0^{\infty}{\sin x\over x}dx={\pi\over 2}$ - 菲涅尔积分 $\int_0^{\infty}\sin x^2dx=\int_0^{\infty }\cos x^2dx={\sqrt{2\pi}\over 4}$ - $\int_0^{\infty}e^{-ax^2}\cos bxdx={1\over 2}\sqrt{\pi\over a}e^{-b^2\over 4a}$ ### 傅里叶积分变换 #### 傅里叶级数 - 实数 $f(x)=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos {n\pi\over l}x+b_n\sin{n\pi\over l}x)$ $a_0={1\over 2l}\int_{-l}^lf(x)dx\\a_n={1\over l}\int_{-l}^lf(x)\cos{n\pi\over l}xdx\\b_n={1\over l}\int_{-l}^lf(x)\sin{n\pi\over l}xdx$ - 波数$k_n={n\pi\over l}\\f(x)=a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos k_nx+b_n\sin k_nx)$ - 频率$\omega={2\pi\over l},t={x\over 2},\omega_n=n\omega\\f(t)=a_0+\sum\limits^{\infty}_{n=1}(a_n\cos \omega_nt+\sin\omega_nt)$ - 复数 - $f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{ik_nx}$ - $c_n={1\over 2l}\int_{-l}^lf(x)e^{-ik_nx}dx$ #### 傅里叶积分定理 - 条件 1. 绝对可积 2. 满足迪利克雷积分条件 - 任意$(-\infty,+\infty)$的非周期函数都能展开成 $f(x)=\int_0^{\infty}A(k)\cos kxdk+\int_0^{\infty}B(k)\sin kxdk$ $A(k)={1\over \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos kxdx$ - 复数形式 - 关于$x$ $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(k)e^{ikx}dk\\F(k)={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx$ - 关于$t$ $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\\F(\omega)={1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i\omega t}dt$ - 关于$\vec r$和$t$ $f(\vec r,t)=\iiiint_{-\infty}^{+\infty}F(\vec k,\omega)e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}d\omega d\vec k$ $F(\vec k,\omega)={1\over (2\pi)^4}\iiiint_{-\infty}^{\infty}f(\vec r,t)e^{-i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)}dtd\vec r$ #### 傅里叶变换性质 - 导数定理I ${\scr F}[f^{(n)}(x)]=(ik)^nF(k),\quad f^{(n-1)}(x)|_{x=\pm\infty}=0$ - 导数定理II ${\scr F}[(-ix)^nf(x)]=F^{(n)}(k)$ - 积分定理 ${\scr F}[\int_{-\infty}^xf(x)dx]={F(k)\over ik}$ - 相似性质 ${\scr F}[f(ax)]={1\over |a|}F({k\over a})$ - 延迟性质 ${\scr F}[f(x\pm a)]=e^{\pm ika}F(k)$ - 位移性质 ${\scr F}[e^{\mp ik_0x}f(x)]=F(k\pm k_0)$ - 推论 ${\scr F}[f(x)\cos k_0 x]={1\over 2}[F(k+k_0)+F(k-k_0)]\\{\scr F}[f(x)\sin k_0 x]={i\over 2}[F(k+k_0)-F(k-k_0)]$ 卷积定理 - ${\scr F}[f_1(x)*f_2(x)]=F_1(k)\cdot F_2(k)\\{\scr F}[f_1(t)\cdot f_2(t)]={1\over 2\pi}F_1(k)*F_2(k)$ #### Dirac 函数 - $\delta (x-x_0)=\begin{cases}o&t\ne t_0\\\infty&t=t_0\end{cases}$ $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)dt=1$ - 性质 - 筛选性质 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)$ - 奇偶性 $x_0=0$时为偶函数 - 相似性 $\delta(ax)={\delta(x)\over |a|}$ - 导数性质 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta'(x)f(x)dx=-\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)f'(x)dx$ - $\delta(x-x_0)f(x)=\delta(x-x_0)f(x_0)$ - $\delta(x)={dH\over dt}\ H$为单位阶跃函数 - $\delta(x)$傅里叶变换 $1\to 2\pi\delta(k)\\e^{ik_0x}\to 2\pi\delta(k-k_0)\\\sin k_0x\to i\pi[\delta(k+k_0)-\delta(k-k_0)]\\\cos k_0x\to \pi[\delta(k+k_0)+\delta(k-k_0)]$ 大车埋土大学 物理三班