給初中生的斜率筆記

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前言

斜率的概念是高中教的，不過初中也很適合先認識，對很多初中數學的內容會有更完整的學習，而且會有一些好用的工具，我一般會建議初中生就先瞭解過斜率，可以在高中真正開始學的時候負擔不會那麼大。

如果你是初中生而且課內數學已經覺得很吃力了，也可以把下面當故事看，也許忽然就看懂本來就不太拿手的地方喔。

複習

在開始之前先複習一下初中一年級的方程式與直角坐標平面。

二元一次方程式

形如

• $2x+3y=7$
• $4x-y=10$
• $x-6={\displaystyle \frac{2}{3}}y$
• $y=8x-5$

可整理為

$ax+by+c=0$ 的兩個變數

$x$ 和

$y$ 線性組合，次數一次的方程式，稱為二元一次方程式。

二元一次方程式的解

以

$4x-y=10$ 為例子，當

$x=3$ 且

$y=2$ 時，由於

$4\cdot 3-2=10$ 成立，所以稱

• $x=3$ 且
  $y=2$ 滿足
  $4x-y=10$
• $x=3$ 且
  $y=2$ 是
  $4x-y=10$ 的一組解
• $(x,y)=(3,2)$ 是
  $4x-y=10$ 的一組解
• $\{\begin{array}{c}x=3\\ y=2\end{array}$ 是
  $4x-y=10$ 的一組解

而且如果沒有特殊限制時，二元一次方程式的解有無限多組：

• $(x,y)=(4,6)$ 使得
  $4\cdot 4-6=10$ 成立
• $(x,y)=(5,10)$ 使得
  $4\cdot 5-10=10$ 成立
• $(x,y)=(6,14)$ 使得
  $4\cdot 6-14=10$ 成立
• $(x,y)=(7,18)$ 使得
  $4\cdot 7-18=10$ 成立
• ……

$x$	3	4	5	6	7	…
$y$	2	6	10	14	18	…

一元一次方程式

形如

• $x-3=0$
• $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$
• $3x+5=1$

可整理為

$ax+b=0$ 或是

$ay+b=0$，變數只有一個，次數一次的方程式，稱作一元一次方程式。

一元一次方程式的解

以

$x-3=0$ 為例，顯然

$x=3$ 使他成立，但如果加入變數

$y$，也可以看到滿足的數對有無限多組：

• $(x,y)=(3,1)$ 使得
  $3-3=0$ 成立
• $(x,y)=(3,2)$ 使得
  $3-3=0$ 成立
• $(x,y)=(3,3)$ 使得
  $3-3=0$ 成立
• $(x,y)=(3,4)$ 使得
  $3-3=0$ 成立
• $(x,y)=(3,5)$ 使得
  $3-3=0$ 成立
• ……

$x$	3	3	3	3	3	…
$y$	1	2	3	4	5	…

直角坐標平面

直角坐標平面是以互相垂直的兩軸形成的坐標系統，習慣上，橫軸向右為正為

$x$ 軸，縱軸向上為正為

$y$ 軸，平面上的點分別作垂直到兩軸，得到軸上的數值做為數對，即為該點坐標。

如上圖

• $A$ 點作垂直到
  $x$ 軸的值為
  $2$，作垂直到
  $y$ 軸的值為
  $3$，記
  $A$ 點坐標為
  $A(2,3)$
• $B$ 點作垂直到
  $x$ 軸的值為
  $-3$，作垂直到
  $y$ 軸的值為
  $1$，記
  $B$ 點坐標為
  $B(-3,1)$

二元一次方程式的圖形

以

$4x-y=10$ 為例，將解

$(3,2)$ 、

$(4,6)$ 、

$(5,10)$ … 等等描繪在直角坐標平面上，得到的圖形就是二元一次方程式

$4x-y=10$ 的圖形，如下：

除了坐標值為正整數的

$A(3,2)$ 和

$B(4,6)$，還有負整數的

$C(2,-2)$ ，分數或小數的

$D({\displaystyle \frac{7}{2}},4)$、

$E({\displaystyle \frac{5}{2}},0)$ ，他們都是

$4x-y=10$ 的其中一個解：

• $4\cdot 2-(-2)=10$ ，所以
  $C(2,-2)$ 也是一個解。
• $4\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}-4=10$ 和
  $4\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}-0=10$，所以
  $D({\displaystyle \frac{7}{2}},4)$ 和
  $E({\displaystyle \frac{5}{2}},0)$ 也是解。
• ……

這無窮多個點，綿密地形成一條直線，這條直線就是

$4x-y=10$ 的圖形。

特殊的直線

前面提到的一元一次方程式也能視做兩個變數，只是另一個變數代入任何值都可以，這樣解一樣有無窮多組。

鉛直線

例如

$x-3=0$ 的解有

$(3,1)$ 、

$(3,2)$ 、

$(3,3)$ 、 … 、

$(3,-1)$ 、… 如下圖，像這樣與

$x$ 軸垂直的直線稱作「鉛直線」，形式為

$x=k$。

水平線

例如

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ 的解有

$(-1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 、

$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 、

$(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 、

$(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 、… 如下圖，像這樣與

$y$ 軸垂直的直線稱作「水平線」，形式為

$y=k$。

斜率

對於一條直線，可以有很多性質可以討論，像是上面提到的分類，是鉛直線、水平線或是斜直線，也可以討論方向、位置和傾斜程度。而傾斜程度就是一個很重要的性質。

傾斜程度

看下圖的黃色與藍色兩個三角形，哪個三角形的斜面我們會稱作比較「陡」？

是最後比較高的黃色三角形的斜面比較陡嗎？這也不一定，如果將他們疊起來：

或是有角度：

就可以知道是藍色三角形的斜面比較陡，黃色三角形的斜面比較平緩，但大部份時候沒有剖面圖可知道角度，更不要說移動斜面做重疊了，所以要找別的可以量化傾斜程度的方法，例如高度差與水平距離的比例：

• 黃色三角形的斜面在水平距離前進
  $5$ 單位時，鉛直高度會上升
  $2$ 單位，而
  $2:5$ 的比值是
  $0.4$
• 藍色三角形的斜面在水平距離前進
  $2$ 單位時，鉛直高度會上升
  $1$ 單位，而
  $1:2$ 的比值是
  $0.5$

比值

$0.4$ 與

$0.5$ 是怎樣的概念呢？當後項也就是基準量水平距離是

$1$ 單位時，黃色斜面的鉛直距離會是

$0.4$ 單位，而藍色斜面的鉛直距離是

$0.5$ 單位，比較大，所以藍色斜面比較陡：

而這個比值概念就是斜率。

直線圖形算傾斜程度

回到二元一次方程式的直線圖形，例如

$4x-y=10$，可以在直線上取兩點

$A(2,-2)$ 和

$B(4,6)$，而

$C$ 點是過

$A$ 點作水平線與過

$B$ 點作鉛直線的交點，如下圖：

求出鉛直距離差

$\overline{BC}=6-(-2)=8$，水平距離差

$\overline{AC}=4-2=2$，而

$8:2$ 的比值是

$4$。可試著在直線上取不同的點，會發現算出來的這個比值都是

$4$，至於為何不會變，這在初中三年級第五冊的相似形章節會解釋，不是此筆記的重點。

所以也可以發現一件事情：同一條直線上任兩點求出來的

${\displaystyle \frac{\mathrm{鉛}\mathrm{直}\mathrm{距}\mathrm{離}\mathrm{差}}{\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{距}\mathrm{離}\mathrm{差}}}$ 是相同的，我們稱這個數值為直線的斜率。

斜率定義

直線上取相異兩點

$P(x_1,y_1)$ 和

$Q(x_2,y_2)$，其斜率

$m={\displaystyle \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}$

範例

$L:3x-2y+2=0$ 和

$M:x-2y-1=0$ 兩個二元一次方程式的圖形，何者圖形較陡峭？

解：

$L:3x-2y+2=0$ 上取兩點

$A(0,1)$ 和

$B(2,4)$，計算得

$L$ 的斜率

$m_L={\displaystyle \frac{1-4}{0-2}}=1.5$

$M:x-2y-1=0$ 上取兩點

$C(1,0)$ 和

$D(3,1)$，計算得

$M$ 的斜率

$m_M={\displaystyle \frac{0-1}{1-3}}=0.5$

得知

$L$ 的斜率較大，

$L$ 的圖形較陡峭，觀察圖形確實是如此：

特殊斜率：負斜率

如果是直線

$N:2x+5y+1=0$，取兩點

$A(-3,1)$ 和

$B(2,-1)$，得斜率

${\displaystyle \frac{1-(-1)}{(-3)-2}}=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$

會發現斜率是有可能小於零的，當水平變化量

$x_1-x_2$ 為正數，但是鉛直變化量

$y_1-y_2$ 為負數時，就會呈現如上圖的「左上-右下」方向的直線，這種「往右下」的直線，斜率就會是負數。

「左下-右上」走向的直線，或是「往右上」的直線

$⟺$ 斜率為正的直線

「左上-右下」走向的直線，或是「往右下」的直線

$⟺$ 斜率為負的直線

特殊斜率：水平線

斜率有正有負，那麼有零嗎？有的，當鉛直變化量為零，也就是

$y_1-y_2=0$ 時，而直線取兩點的

$y$ 坐標不變，顯然會連成一條水平線，例如上面舉過的水平線例子

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$，取兩點

$C(1,{\displaystyle \frac{1}{2}})$ 和

$D(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$，計算得斜率

${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1-2}}={\displaystyle \frac{0}{-1}}=0$

水平線

$⟺$ 斜率為零的直線

特殊斜率：鉛直線

那鉛直線的斜率又是如何呢？以上面舉過的例子

$x-3=0$，取兩點

$A(3,1)$ 和

$B(3,2)$ ，計算斜率為

${\displaystyle \frac{1-2}{3-3}}={\displaystyle \frac{-1}{0}}$ ，分母為零所以不存在斜率。

鉛直線

$⟺$ 沒有斜率的直線

相同斜率的兩條直線

會有兩條相異直線，有著相同斜率嗎？下面考慮

$L:2x+3y-5=0$ 和

$M:4x+6y+7=0$：

各自取兩點，

$L$ 上取

$A(1,1)$ 和

$B(4,-1)$，得斜率

$m_L={\displaystyle \frac{1-(-1)}{1-4}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

$M$ 上取

$C(0,-{\displaystyle \frac{7}{6}})$ 和

$D(-{\displaystyle \frac{7}{4}},0)$，得斜率

$m_M={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{7}{6}}-0}{0-(-{\displaystyle \frac{7}{4}})}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

可知

$L$ 和

$M$ 有著相同的斜率

$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$，從圖形來看恰好兩直線互相平行。確實在初中三年級第五冊會學到，可利用 SAS 相似三角形性質來證明，擁有相同斜率的兩條直線，必定重合或平行。證明不是本筆記的重點，還沒學到這章節的人可以先知道就好。

平行的兩條直線

$⟹$ 斜率相等

斜率相等的兩條直線

$⟹$ 兩直線平行或重合

將一條直線平移

$⟹$ 斜率不變

斜率大小變化

由以上可以得知，直線的走向與斜率的關係：

• 「左下-右上」的斜直線，斜率為正數
• 「左上-右下」的斜直線，斜率為負數
• 水平線，斜率為零
• 鉛直線，斜率不存在

往右上的直線變化

關注在斜率為正數的「往右上的」直線，因為平移不影響斜率的值，所以都平移到通過原點

$O(0,0)$ 來方便比較：

從上圖可知，隨著直線從水平線斜率為零，慢慢隨著直線逆時針旋轉愈來愈陡，斜率也愈來愈大，愈是趨近鉛直線

$y$ 軸，斜率就愈趨近於無窮大，當直線和

$y$ 軸重合變為鉛直線，則沒有斜率。

（上圖的斜率無窮大只是示意，實際上不會有直線的斜率恰為無窮大，下圖的負無窮大也是如此）

往右下的直線變化

同樣的關注斜率為負數、方向「往右下的」直線，也是平移到通過原點：

當

$y$ 軸鉛直線時沒有斜率，逆時針旋轉則從負無窮大慢慢變大，保持著負數愈來愈大，直線也愈來愈平緩，直到旋轉成為水平線與

$x$ 軸重合，斜率為零。

工具

學習斜率當然會希望有什麼對初中課內有幫助的，下面來看幾個性質。

二元一次方程式係數與斜率

性質

$ax+by+c=0$ 的直線，若

$b\ne 0$，則斜率

$m=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$

證明

若直線不是鉛直線則有斜率，假設斜率為

$m$，且在直線上取一點

$P(x_0,y_0)$，由斜率定義

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{鉛}\mathrm{直}\mathrm{變}\mathrm{化}\mathrm{量}}{\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{變}\mathrm{化}\mathrm{量}}}={\displaystyle \frac{m}{1}}$，故另一點

$Q(x_0+1,y_0+m)$ 也在直線上。

將

$P$ 、

$Q$ 兩點坐標代入方程式必滿足，則有聯立方程組：

$\{\begin{array}{l}a{x}_0+b{y}_0+c=0\\ a(x_0+1)+b(y_0+m)+c=0\end{array}$

$\stackrel{\mathrm{下}\mathrm{式}\mathrm{展}\mathrm{開}}{\to }\{\begin{array}{l}a{x}_0+b{y}_0+c=0\\ a{x}_0+a+b{y}_0+bm+c=0\end{array}$

$\stackrel{\mathrm{下}\mathrm{式}\mathrm{整}\mathrm{理}}{\to }\{\begin{array}{l}a{x}_0+b{y}_0+c=0\\ (a{x}_0+b{y}_0+c)+a+bm=0\end{array}$

$\stackrel{\mathrm{上}\mathrm{式}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{下}\mathrm{式}}{\to }0+a+bm=0$

$⟹m=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$ 得證。

範例

• $2x+3y=7$ 的斜率為
  $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

• $4x-y=10$ 的斜率為
  $-{\displaystyle \frac{4}{-1}}=4$

• $x-6={\displaystyle \frac{2}{3}}y$ 可整理為
  $3x-2y-18=0$ ，得斜率為
  $-{\displaystyle \frac{3}{-2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

• $y=8x-5$ 可整理為
  $8x-y-5=0$ ，得斜率為
  $-{\displaystyle \frac{8}{-1}}=8$

由上面兩個範例發現，

$y=8x-5$ 或

$y=4x-10$ 形式的直線，斜率恰好是

$x$ 的係數，這又是一個性質喔，這個形式是一次函數，後面會再討論。

延伸

由係數與斜率關係的這個性質可知，一個二元一次方程式的斜率可以由

$x$ 項與

$y$ 項係數來決定，所以

$x$ 項與

$y$ 項相同、但是常數項不同的另一個方程式，圖形就會是傾斜程度相同但又不是同一個圖形，就得到平行的直線了。

平行線

性質

$ax+by+c_1=0$ 與

$ax+by+c_2=0$ ，其中

$c_1\ne c_2$，其圖形互相平行。

範例

求通過

$A(1,2)$ 且平行

$2x+3y=16$ 的直線方程式。

解：假設所求直線方程式為

$2x+3y+c=0$ ，代入

$(x,y)=(1,2)$ ，得

$2\cdot 1+3\cdot 2+c=0$ ，解得

$c=-8$，故所求方程式為

$2x+3y-8=0$

聯立方程組的解的討論

課內對平行重合的解釋是用二元一次聯立方程組的解（無解或無限多組解）的討論，結合係數比例做出來的，認識了斜率後可以與之做一個比較。

一次函數的係數與斜率

性質

一次函數

$f(x)=ax+b$，其圖形

$y=f(x)$ 直線的斜率即

$a$

或更接近初中一年級學生認識的一次函數形式會是：

一次函數

$y=ax+b$，其圖形直線的斜率即

$a$

證明

設

$y=f(x)=ax+b$ 圖形上有相異兩點

$(x_1,f(x_1))$ 和

$(x_2,f(x_2))$ ，

則斜率為

$m={\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}}$

得

$m={\displaystyle \frac{(a{x}_1+b)-(a{x}_2+b)}{x_1-x_2}}$

$={\displaystyle \frac{a{x}_1+b-a{x}_2-b}{x_1-x_2}}$

$={\displaystyle \frac{a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}}$

$=a$ ，故得證。

最後可分母分子約去

$(x_1-x_2)$ 是因為相異兩點故

$x_1\ne x_2$，得

$x_1-x_2\ne 0$ 才可約去。

證明過程的

${\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}}$ 可能初中生在課內的習題就看過了，算到最後會發現就是

$x$ 項係數

$a$，其實這種形式在高中微積分章節還會常常看到呦。

點斜式

性質

通過點

$(x_0,y_0)$ 且斜率為

$m$ 的直線，其方程式為

$y-y_0=m(x-x_0)$

證明

設動點

$(x,y)$ 為直線上一點，與定點

$(x_0,y_0)$ 求得的斜率即直線的斜率，故有：

$m={\displaystyle \frac{y-y_0}{x-x_0}}$ ，兩邊同乘以

$(x-x_0)$ 得

$m(x-x_0)=y-y_0$ ，故得證。

範例

• 通過
  $(3,1)$ 且斜率
  $4$ 的直線方程式為
  $y-1=4(x-3)$ ，整理得
  $4x-y-11=0$
• 通過
  $(-2,5)$ 且斜率
  $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ 的直線方程式為
  $y-5=-{\displaystyle \frac{3}{4}}[x-(-2)]$ ，整理得
  $3x+4y-14=0$

兩點式

性質

當

$x_1\ne x_2$ ，通過

$A(x_1,y_1)$ 與

$B(x_2,y_2)$ 兩點的直線方程式為

${\displaystyle \frac{y-y_2}{x-x_2}}={\displaystyle \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}$

證明

設動點

$P(x,y)$ 為直線上一點，則三點之間任兩點求得的斜率要相同，

考慮

$P$ 點與

$B$ 點的斜率，還有

$A$ 點與

$B$ 點的斜率，

$m_{PB}=m_{AB}$ ，即得

${\displaystyle \frac{y-y_2}{x-x_2}}={\displaystyle \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}$

範例1

求通過

$(-1,1)$ 與

$(9,5)$ 的直線方程式。

初中課內解法：

由通過兩點

$x$ 坐標不同，判斷不是鉛直線，假設所求方程式為

$y=ax+b$，代入通過兩點：

$\{\begin{array}{l}1=a\cdot (-1)+b\\ 5=a\cdot (9)+b\end{array}$

$\stackrel{\mathrm{整}\mathrm{理}\mathrm{得}}{\to }\{\begin{array}{l}a-b=-1\\ 9a+b=5\end{array}$

$\stackrel{\mathrm{兩}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{得}}{\to }10a=4$ ，得

$a={\displaystyle \frac{2}{5}}$ ，代回得

$b={\displaystyle \frac{7}{5}}$

得直線方程式為

$y={\displaystyle \frac{2}{5}}x+{\displaystyle \frac{7}{5}}$ ，可再整理為

$2x-5y+7=0$

斜率點斜式解法：

由通過兩點

$x$ 坐標不同，判斷不是鉛直線，先用通過兩點求斜率：

$m={\displaystyle \frac{1-5}{(-1)-9}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$
通過

$(9,5)$，由點斜式得

$y-5={\displaystyle \frac{2}{5}}(x-9)$

$\stackrel{\mathrm{同}\mathrm{乘}\mathrm{以}5}{\to }5(y-5)=2(x-9)$ 整理得

$2x-5y+7=0$

斜率兩點式解法：

由通過兩點

$x$ 坐標不同，判斷不是鉛直線，則由兩點式得所求為

${\displaystyle \frac{y-5}{x-9}}={\displaystyle \frac{1-5}{(-1)-9}}$

$\stackrel{\mathrm{右}\mathrm{邊}\mathrm{化}\mathrm{簡}}{\to }{\displaystyle \frac{y-5}{x-9}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$

$\stackrel{\mathrm{同}\mathrm{乘}\mathrm{以}5(x-9)}{\to }5(y-5)=2(x-9)$ ，整理得

$2x-5y+7=0$

斜率的精髓，並不是死板地代公式，而是利用成比例的概念，彈性地運用，例如下面的範例：

範例2

已知兩點

$A(12,7)$ 和

$B(3,3)$ ，求直線

$\overleftrightarrow{AB}$ 與

$x$ 軸的交點

$C$ 的坐標。

初中課內的解法：

設

$\overleftrightarrow{AB}$ 的方程式為

$y=ax+b$ ，代入

$A(12,7)$ 和

$B(3,3)$ 解聯立，解得

$a$ 和

$b$ 後得直線方程式，再與

$x$ 軸：

$y=0$ 解聯立得交點

$C$ 的坐標。

斜率兩點式或點斜式的解法：

由兩點式或點斜式公式，先得到

$\overleftrightarrow{AB}$ 方程式，再與

$x$ 軸：

$y=0$ 解聯立得交點

$C$ 的坐標。

三點共線解法：

由於

$C$ 點在

$x$ 軸上，設

$C(t,0)$，利用任兩點求的斜率相同

$m_{AB}=m_{BC}$，得：

${\displaystyle \frac{7-3}{12-3}}={\displaystyle \frac{3-0}{3-t}}$

$\stackrel{\mathrm{化}\mathrm{簡}}{\to }{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{3}{3-t}}$

$\stackrel{\mathrm{同}\mathrm{乘}\mathrm{以}9(3-t)}{\to }4(3-t)=3\cdot 9$ ，解得

$t=-{\displaystyle \frac{15}{4}}$

得交點

$C(-{\displaystyle \frac{15}{4}},0)$

結語

斜率牽涉的性質非常多，在高中數學裡結合向量和三角函數後可以變得很複雜，非常推薦在初中負擔還沒有那麼重時先瞭解過喔。