###### tags: `選修`
# 進階程式設計(Python)
:::success
**評量、學習歷程**
:::
### 1. 評量方式
+ 上課基本練習(遲交期限：1週) **40%**
+ 作業題數 **20%** (期中10%+期末10%)
- 作業登記表：[205](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1411xSZCAkzsWxidcUMJyT0UYOwdGpWC4UfBao6ohtVA/edit?usp=sharing)、[206](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1eMYsHmLnTwX0D-ujeIHbSj-msOdSD5Vgqx4ZI-Bl4N0/edit?usp=sharing)、[207](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1jIgEDlKLLQ0qpkGyFG-ZrYR9Y0egXCQbNVVYa1HleMk/edit?usp=sharing)、[208](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Xro5sZUetNaq6On01p-2Bvg2jJG4dGLjK3Egv0Zb2Rc/edit?usp=sharing)、[高三五選A(309\~311、315)](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1VsZhau46Y80wnKjhk7KKZkQyH_CUqLazTg44wNapMwk/edit?usp=sharing)、[高三五選B(312\~314、317(318))](https://docs.google.com/spreadsheets/d/1a0uZxzJGT7WZ0xrMHlF3z2gC7h0wBXT3NDjLvHdCoEs/edit?usp=sharing)
- [歷年作業登記表](https://hackmd.io/@cube/r1Cw2JgDT)
- 每寫完一題作業，請將程式碼連結登錄於作業登記表，以統計作業題數。請小心不要改到別人的資料。惡意編刪別人的資料，視情節扣分或校規處理。
- 作業原始分數：解題數 $*$ 15 (最高120分)
```
if 上機考分數>=60
作業實得分數=作業原始分數
else
作業實得分數=作業原始分數*(上機考成績/60)
```
- 不要為了衝題數，做複製貼上、不求甚解這種沒意義的事。上機考0分，全部都寫也是0分。
- 不寫作業，除了無作業成績，上機考時網路會斷線，沒有任何參考資料，也必定寫不出來，請每個單元至少完成 2 題作業，熟練基本語法。**(不寫作業被當的機會很高，除非你有本事上機考2次都及格)**
- 不要考前才寫作業，初學程式會有很多錯誤，要花時間除錯。請自我要求每週至少要寫 1 題作業，上機考才會比較保險。
- 不會的可以去參考網路上的程式碼、解法，同學也可以互相討論，而且是鼓勵的。不論如何，都要在了解解法後，不看別人的程式碼，自己親自寫一遍。
- 有做作業，考差了才有補救的機會，作業題為期末解題報告的題目。
+ 期中上機考(二、搜尋教完後 1 週) **20%**
+ 期末上機考(倒數第 2 週) **20%**
+ 期末解題報告 **10%** (高二)
- 非必要，想高分或不及格的同學請保握最後機會。
- 繳交期限：最後一週上課前 1 天。
- 分數：每一題 10 分。每個單元至多可放 2 題 (不可以都寫同一單元的題目)
- 報告格式：
* 第1頁為解題目錄(單元、題號、題目、頁碼)。
* 每題的子標題為
(1) 單元、題號、題目、題目簡述
(2) 解題動態、評分結果截圖
(3) 解題思路
(4) 程式碼
(5) 反思(遇到的錯誤、修正的地方、更好的方法…)
(6) 錯誤程式碼
- 檢核方式：
* 有交解題報告者，最後一週會請你在沒有網路的狀態下重寫一題當做檢核(題目由老師挑選)，寫不出來作業直接作廢不算分，請務必自行思考完成。
* 不要為了分數直接複製貼上別人的程式碼，那是無意義的行為，檢核時你就會現出原形，就不用做這種白工了。
- 可整合上課內容後完成課程學習成果，上傳至學習歷程檔案平台。請儘量挑選一開始有錯，然後修正的題目，將修正的想法寫出來更能顯示出反思的能力。
### 2. [APCS](https://apcs.csie.ntnu.edu.tw/)
+ 實作級分*2，直接加在總成績。
+ 3級分免上機考，上機考成績為100。
+ 4級分以上者，一切皆免，學期成績直接算100。
### 3. APCS 實作題檢測從三級到五級(中正大學 吳邦一教授)
+ [AP325(Python)](https://hackmd.io/@bangyewu/Hy2kbYLI6/%2Fg2kqHh5_Q4eQnz-mfNu3Kw)
+ [AP325(C++)](https://drive.google.com/drive/mobile/folders/10hZCMHH0YgsfguVZCHU7EYiG8qJE5f-m?usp=sharing)
+ [APCS實作題檢測(Facebook)](https://www.facebook.com/groups/359446638362710)
+ [TCFSH CIRC Judge(例題與習題)](https://judge.tcirc.tw/)
+ [PythAPCS123講義](https://drive.google.com/drive/folders/1mnVdO2LHq7e4vesn6pt_R0-S6YWtz4Q4?fbclid=IwAR2Xo7LP8V3lWyhJEbFx3F8JLF9AIEI9t9snla9vwwtI4qlGc0mDwJVuf1o)
+ [PythAPCS123 YouTube撥放清單](https://youtube.com/playlist?list=PLpmg1QLbgMuSIDOgOcwf0Fbbn2ZDR7s-X
)
+ [PyApcs45 YouTube撥放清單](https://www.youtube.com/playlist?list=PLpmg1QLbgMuRQXHRkX9iDHyAVIW1D6OJF
)
### 4. 學習歷程檔案(修課記錄、課程學習成果)
+ 最後一週上課結束前如果認證完成，學期總成績加分。
+ [撰寫「課程學習成果」參考資源](https://hackmd.io/@cube/HkCv90e19)。
### 5. 修課建議目標
+ 低：成績及格(修課記錄)。
+ 中：能產出課程學習成果。
+ 高：參加 APCS 檢定，實作達到 3 級分以上。
### 6. 演算法進階參考
+ [中央資工演算法](https://staff.csie.ncu.edu.tw/jrjiang/alg2019/)
+ [中山資工演算法](http://par.cse.nsysu.edu.tw/~cbyang/course/algo/algo_index.htm)
+ [台大資訊系統訓練班演算法](https://www.csie.ntu.edu.tw/~d92005/course_Algorithm(2008).htm)
### 7. [高中資訊學科中心 科技領域加深加廣選修課程－進階程式設計](https://ghresource.mt.ntnu.edu.tw/nss/s/main/InformationTechnologyTPD05)
### 8. 軟體
+ [The collaborative browser based IDE - Replit](https://replit.com/)
- 「+ Create Repl」 可新增一個 Repl (專案)
- Template 欄選擇 「C++」 或 「Python (with Prybar)」，Title 欄填入專案標題如 a001， 再按「+ Create Repl」鈕，就會進入專案編輯的頁面。
- 如果 Template 沒有看到 Python (with Prybar) ，請自行輸入 prybar 後按「Search community templates」後點找到的「Python (with Prybar)」，按「+ Use Template」/「Use Template」，回首頁重新整理後，「Python (with Prybar)」即會出現在 「Favorites」項目下。
- My Repls：專案管理
New folder：建立分類資料夾，如 class、homework …。
專案.../Move：將專案移至分類資料夾。
- Themes：VS Code Dark/Use Theme
- Indentation Size 調為4：側邊欄/Tools/User Settings/Indentation size:4。
- AI Code Completion：關閉。
+ [GDB online Debugger | Compiler - Code, Compile, Run, Debug online C, C++](https://www.onlinegdb.com/)
+ [Online Python](https://www.online-python.com/)
+ [Google Colaboratory](https://colab.research.google.com/)
+ [Thonny](https://thonny.org/) (安裝套件： Tools/Manage plug-ins)
<br/>
:::success
**程式語言(基本語法複習)**
:::
+ 巢狀 if
:::info
EX_0_1：[a003. 兩光法師占卜術](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a003)
``` python=
print('hello')
a=input() # 輸入 1
'''
execute Python code interactively
> a # a='1'
> a+10
> a+'10'
再分別輸入 1.5、'abc'、'1 2'
'''
a=int(input()) # a=1
a=input().split() # a=['1','2']。a[0]、a[1]
a,b=input().split() # a='1', b='2'
m,d=map(int, input().split()) # m=1, d=2
```
``` python=
if 條件1:
條件1「成立」時程式碼區塊
elif 條件2:
條件1「不成立」，且條件2「成立」時的程式碼
...
else:
上述條件都「不成立」時的程式碼
```
:::
+ for 迴圈
:::info
EX_0_2：[d490: 我也愛偶數](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d490)
+ 先完成1+...+n
``` python=
a=['a','b','c']
for x in a:
print(x)
idx=[0,1,2] # idx=range(3) 產生串列 [0, 1, 2]
for i in idx: # for i in range(3): # range(10,20,2)
print(a[i])
```
:::
+ 一維串列
:::info
EX_0_3：[f818. 物競天擇 (Survival)](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f818)
``` python=
h=map(int, input().split()) # <map object at 0x7f2751f4b130>
h=list(map(int, input().split()))
h=[*map(int, input().split())]
# h=[int(n) for n in input().split()]
```
+ `Ctrl+Shift+v`：Replit 測資貼上。或右鍵／貼上。
:::
<br/>
:::success
**資料結構**
:::
## 一、串列
+ 常用串列函式
| 串列函式 | 意義 |
|:------------ |:-------------- |
| lst=list() 或 lst=[] |宣告空的串列|
| len(lst) | 回傳串列個數 |
| max(lst) | 回傳串列中的最大值 |
| min(lst) | 回傳串列中的最小值 |
| list('abc') | 將'abc'拆成'a','b','c'加入串列 |
| 串列方法(函式) | 意義 |
|:---------------|:-------------- |
| lst.append(x) | 將x附加到串列後面 |
| lst.insert(i,x)| 將x插入到索引值i的位置 |
| lst.extend(x) | 將串列x中的所有元素，附加到串列後面。<br />a=[1,2] b=[3,4] <br /> a.append(b) vs. a.extend(b)|
| lst.remove(x) | 刪除串列中的第一個x |
| x=lst.pop(i) | 回傳索引值i的元素，並將其刪除；<br/>如果沒有i，則傳回最後一個元素並刪除 |
| it=lst.index(x) | 回傳第一次出現x的索引值 |
| lst.count(x) | 計算出現x的次數 |
| lst.sort() | 將串列中的元素小->大排序，大->小則加入參數reverse=True |
| lst.reverse() | 將串列中的元素反轉 |
| lst2=lst.copy()| copy串列 |
| lst.clear() | 清除串列內所有元素 |
:::info
EX_1_1：[陸行鳥大賽車](https://neoj.sprout.tw/problem/21/)
+ `ctrl + /`：多行註解
+ `Tab、Shift+Tab`：增、減縮排
+ sidebar/Toos/Settings/Indention size : 2 ➜ 4
:::
``` python=
n=int(input())
m=int(input())
lst=[]
for ~ # 將 1~n 放入 lst。lst=list(range(1,n+1))
~
for _ in range(m):
t,x=map(int,input().split())
if t==0: # x受攻擊
~ # 刪除 x
elif t==1:# x衡刺
~ # 找 x 的位子
if ~ # 如果不是開頭
~ # 刪除 x
~ # 將 x 插入到前 1 個位子
print(*lst)
#for x in lst:
# print(x, end=' ')
```
:::warning
[a870: 10. List Maker](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a870)
:::
``` python=
~ # 宣告一個空的lst
while True:
try:
line=input() # 讀入一行
except:
break
# 只用 line=input() 會有 EOFError: EOF when reading a line
if line=='SHOW':
break
cmd=list(line.split()) # 將讀入的一行以空白分割。cmd=[*line.split()]
if ~ # 如果 cmd[0] 為 ADD
~ # 將 cmd[1] 加入 lst
elif ~ # 如果 cmd[0] 為 INSERT
~ # 找出 cmd[2] 的 index
~ # 將 cmd[1] 插入此 index
elif ~ # 如果 cmd[0] 為 REMOVE
~ # 移除 cmd[1]
~ # 印出lst
```
<br/>
## 二、堆疊
+ [0-19 queue 與 stack | 從零開始的演算法競賽入門教學](https://emanlaicepsa.github.io/2020/12/03/0-19/)
+ 串列模擬堆疊(Stack)常用的方法
| 串列方法(函式) | 意義 |
|:-----|:----------|
| len(sk) | 回傳串列個數 |
| sk.append(x) | 將 x 附加到串列後面 |
| sk.pop() | 回傳最後一個元素並刪除 |
+ 算數運算子
| 算數運算子 | 意義 | 備註|
|:-------- |:------ |:-------|
| / | 除 |17/5 為 3.4，15/5 為 3.0 |
| // | 取商數 |17//5 為 3 |
| % | 取餘數 |17%5 為 2 |
| ** | 次方 | 5**2 為 25 |
+ 運用 [] 取值，可以使用 index(索引值從0開始)、slice 來存取陣列裡的資料。
| slice運算 | 意義 |
|:----------- |:-------------- |
| lst[i] | 取出索引值i的元素 |
| lst[-1] | 取出最後一個元素 |
| lst[i:j] | 取出索引值i~j-1的元素 |
:::info
EX_2_1：[f698. 後序運算式
](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f698)
:::
``` python=
sk=[] # 宣告一個空的串列，模擬堆疊
line=input().split()
for c in line: # for c in input().split():
if c=='+': # a b +
sk.append(sk.pop()+sk.pop()) # 將最後2個元素pop，相加後重新放入堆疊
elif c=='-': # a b -
~ # 不可直接 sk.append(sk.pop()-sk.pop())，這樣是 b-a。
elif c=='*': # a b *
~
elif c=='/': # a b / 為 a/b
~
~ # 不可直接 sk.append(sk.pop()/sk.pop())，這樣是 b/a。// 取商
else: # 數字直接放入堆疊
~
print(sk.pop())
```
:::info
EX_2_2：[e924. pC. 括號配對](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e924)
+ 遇到左括號，放入 stack。
+ 遇到右括號，檢查 stack 是否是空的(有無左括號可配對)。如果空，則括號不正確；如果不空，且括號成對，則 pop 掉。
+ 最後再檢查 stack 是否是空的。
+ 範例輸入
4
{()<>}[]
{(})
())
(){
+ 範例輸出
Y
N
N
N
:::
``` python=
T=int(input())
for _ in range(T): # for _ in range(int(input())):
line=input()
sk=[]
legal=True
for c in line: # for c in input():
if c=='(' or ~ : # 如果是([<{，則放入堆疊
sk.append(c)
elif len(sk)>0 and ( (c==')' and sk[-1]=='(') or ~ or ~ or ~ ): # 如果堆疊裏有之前放入的括號，而且 c=')' 堆疊最上面為'(' (其餘依此類推)，則 pop 掉左括號
~
else: # 其它狀況為括號配對不正確
~
~
if ~ # 如果合法，最後堆疊內會沒有東西
legal=False
if legal:
print('Y')
else:
print('N')
```
``` python=
for _ in range(int(input())):
sk=[]
for c in input():
if c=='(' or ~ : # 如果是([<{，則放入堆疊
sk.append(c)
elif len(sk)>0 and ( (c==')' and sk[-1]=='(') or ~ or ~ or ~ ): # 如果堆疊裏有之前放入的括號，而且 c=')' 堆疊最上面為'(' (其餘依此類推)，則 pop 掉左括號
~
else:
~ # 不正確直接輸出
break
else: # 迴圈正常結束，執行此區塊程式碼。(break不會執行)
if ~ # 如果合法，最後堆疊內會沒有東西
print('Y')
else:
print('N')
```
:::warning
[i213: stack 練習](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=i213)
:::
``` python=
n=int(input())
sk=[]
for ~ # 做 n 次
a=[*map(int,input().split())] # 將輸入以空白分割轉成整數後，放入list a
if ~ # 如果 list a 第 0 個元素為 1
~ # 將 list a 第 1 個元素加入堆疊 sk
elif ~ # 如果 list a 第 0 個元素為 2
try:
~ # 印出堆疊 sk 頂端的元素
except:
~ # 堆疊 sk 內沒有元素，輸出 −1
elif ~ # 如果 list a第 0 個元素為 3
try:
~ # 刪除堆疊 sk 最頂端的元素
except:
pass
```
:::warning
[d318: 11185 - Ternary](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d318)
+ 以 stack 記錄不斷除以 3 的餘數。
:::
:::warning
[b838: 104北二2.括號問題](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b838)
+ 去除字串左右空白：line=input().strip()
:::
<br/>
## 三、佇列
+ [0-19 queue 與 stack | 從零開始的演算法競賽入門教學](https://emanlaicepsa.github.io/2020/12/03/0-19/)
+ 串列模擬佇列(Queue)常用的方法
| 串列方法(函式) | 意義 |
|:--------|:----------|
| len(q) | 回傳串列個數 |
| q.append(x) | 將 x 附加到串列後面 |
| q.pop(i) | 回傳索引值i的元素，並將其刪除；<br/>如果沒有i，則傳回最後一個元素並刪除 |
+ [實作 queue 時效率問題的考量](https://hackmd.io/@s10109670/r1IP771n_?fbclid=IwAR00pFRQZSGuXx7FoXx8_Lxe0qUYwAVzUaWlj9QIDVKfEH3o6S3TZmMtaM0)
:::info
EX_3_1：[e155: 10935 - Throwing cards away I](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e155)
+ [Print lists in Python (4 Different Ways) - GeeksforGeeks](https://www.geeksforgeeks.org/print-lists-in-python-4-different-ways/)
+ Google : [python print 不換行](https://medium.com/data-science-is-not-hard/python%E5%AD%B8%E7%BF%92%E7%AD%86%E8%A8%98-hello-world-%E5%AD%97%E4%B8%B2%E4%BB%8B%E7%B4%B9-%E8%AE%93%E6%96%87%E5%AD%97%E4%B8%8D%E6%8F%9B%E8%A1%8C-529f3b9b11b2)。或問[ChatGPT](https://chat.openai.com/)。
+ 指定字符(str)連接串列(lst)中的元素後，生成新字串(x)：[x = str.join(lst)](https://www.w3schools.com/python/ref_string_join.asp)
``` python
lst = ['a','b','c']
x = ', '.join(lst)
```
+ [列表生成式(List Comprehensions)](https://www.liaoxuefeng.com/wiki/1016959663602400/1017317609699776)建立list，類似數學集合的表示法
$\{ 2n+1 \mid n \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \} \rightarrow \{1,3,5,7,9\}$
``` python
a = [2*n+1 for n in range(5)] # a = [1, 3, 5, 7, 9]
lst = [1,2,3,4,6,7,13,21]
b = [n for n in lst if n%2==0] # b = [2, 4, 6]
c = [ [0 for i in range(3)] for j in range(2) ] # c = [[0, 0, 0], [0, 0, 0]]
d = [ [0]*3 for j in range(2)]
```
:::
``` python=
while True:
try:
n=int(input())
if n==0:
break
q=[]
discard=[]
for ~ # 將 1~n 放到佇列。q=list(~)
~
for ~ # 做 n-1 次
~ # 將佇列前端元素放至discard，並刪除
~ # 讀取佇列前端元素，並從後端加入
# 1. 先印出 discard 元素檢查答案是否正確，元素間為空白
print('Discarded cards:', *discard)
# 2. 分兩段印
print('Discarded cards:', e~) # 結尾不換行
print(*discard, s~) # discard 元素間為', '
# 3. 以列表生成式，將 discard 元素轉成文字，並在元素間加上', ' 組成字串
print('Discarded cards:', ~)
# 4. 以map的方式將discard裏的數字轉成文字
print('Discarded cards:', ', '.join(map(str,discard)) )
print('Remaining card:', q[0])
except:
break
```
:::info
EX_3_2：[a982: 迷宮問題#1](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a982)
+ [圖的搜尋](https://jason-chen-1992.weebly.com/home/-graph-searching-methods)
- [深度優先搜尋(Depth First Search, DFS)](http://simonsays-tw.com/web/DFS-BFS/DepthFirstSearch.html)：以堆疊(Stack)、遞迴來實作。
- [廣度優先搜尋(Breadth First Search, BFS)](http://simonsays-tw.com/web/DFS-BFS/BreadthFirstSearch.html)：以佇列(Queue)來實作。
+ tuple(元組)：類似 list，但元素個數及元素值不能改變，執行效能較好。
- 元組變數 = ( 元素1, 元素2, .... )
- list 使用 []，而 tuple 使用 ()。
``` python
lst = ['臺北', '臺中', '臺南']
lst.append('高雄')
lst[2] = '高雄'
tpl = ('臺北', '臺中', '臺南')
tpl.append('高雄')
tpl[2] = '高雄'
```
+ 
:::
``` python=
n=int(input())
maze=[]
length=~ # 以列表生成式產生n*n的二維串列，初值為-1
q=[]
for _ in range(n):
~ # maze.append(input())
q.append((1,1)) # tuple 介紹
length[1][1]=1
maze[1][1]='#'
while ~ # 當佇列內還有點
~ # 從前端取出
r,c=e[0],e[1]
if maze[r+0][c+1]=='.': # 右
~ # 將 (r,c+1) push 至 queue
~ # 右邊點的長度為目前點的長度+1
~ # 右邊點設為 '#' 表示走過
~ # 下
~ # 左
~ # 上
if length[n-2][n-2]==-1:
print('No solution!')
else:
print(length[n-2][n-2])
```
``` python=
# Q：如何以迴圈，讓程式碼更精簡
dr=(~,~,~,~) # 以tuple或list表示座標要調整的數值(右、下、左、上)
dc=(~,~,~,~)
while len(q)>0:
e=q.pop(0) # 從前端取出
r,c=e[0],e[1]
for i in range(4): # 四個方向
nr, nc = ~, ~ # 多設下一點座標變數 nr,nc 讓程式碼更清楚
if maze[~][~]=='.': # 下一個點的座標
~ # 將下一個點 push 至 queue
~ # 下一個點的長度為目前點的長度+1
~ # 下一點設為 '#' 表示走過
```
:::warning
[e447: queue 練習](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e447)
:::
``` python=
n=int(input())
q=[]
for ~ # 做 n 次
~ # 將輸入以空白分割轉成整數後，放入 list a
if a[0]==1:
~ # 將 a[1] 放入佇列 q
elif a[0]==2:
~ # 取得佇列 q 前端元素，如果沒有元素，輸出 -1。(try except)
elif a[0]==3:
~ # 刪除佇列 q 前端元素，如果沒有元素，無視該操作。(try except pass)
```
:::warning
[d406: 倒水時間](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d406)
+ BFS，以 queue 實作。
:::
:::warning
[m372. 3. 搬家](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=m372)
+ [解題參考](https://hackmd.io/@bangyewu/SkxXo4QGa)
:::
<br/>
<br/>
:::success
**演算法**
:::
## 一、排序演算法
+ [思考排序的演算法](https://zh.wikipedia.org/wiki/十三張)
### 1. 氣泡排序(Bubble Sort)
+ [bubble sort](https://ithelp.ithome.com.tw/articles/10276184?sc=pt)：兩兩相比，數字大的往後擺，好像數字大的元素慢慢「浮」到右端。
+ [Bubble Sort | GeeksforGeeks - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=nmhjrI-aW5o)
:::info
EX_1_1：[a539: 10327 - Flip Sort](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a539)
:::
```python=
# bubble sort
while True:
try:
n=int(input())
a=[*map(int, input().split())]
cnt=0
for ~ # 5 個數字排序只需 4 個循環
for ~ # 每次兩兩比較，每次比較索引值「0、1」「1、2」「2、3」「3、4」 的數字
if ~ # 如果左邊比右邊大
~ # 交換
cnt+=1
print(f'Minimum exchange operations : {cnt}')
# print('Minimum exchange operations :',cnt)
except:
break
```
:::warning
[e561: 00299 - Train Swapping](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e561)
+ 計算 Bubble Sort 交換的次數。
:::
``` python=
t=int(input())
for _ in range(t):
n=int(input())
a=[*map(int, input().split())]
cnt=0
for ~
for ~
if ~
~
cnt+=1
print(f'~')
```
### 2. 交換排序(Exchange Sort) vs. 選擇排序(Selection Sort)
+ [exchange sort](http://it-easy.tw/sorting-algorithm/)：對每個基準點，如果之後的數比它小就交換。
+ [selection sort](https://ithelp.ithome.com.tw/articles/10276719)：跟交換排序法類似，但交換次數較少。對每個基準點，找到其後最小的數值，並進行對調。
+ [Selection Sort | GeeksforGeeks - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=xWBP4lzkoyM)
:::info
EX_1_2：[d452: 二、直線最小距離和](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d452) (以選擇排序實作)
+ 排序後求中位數，中位數與數組各數的距離和最小
:::
```python=
# exchange sort
t=int(input())
for _ in range(t):
a=[*map(int, input().split())]
n=a.pop(0)
for i in range(n-1): # 對每個基準點 i
for j in range(i+1,n): # 從 i 的右邊開始找最小值
if a[j]<a[i]: # 如果檢查的這個數 < 第 i 個數
a[i],a[j]=a[j],a[i] # 交換
sum=0
for i in range(n):
sum+=abs(a[n//2]-a[i])
print(sum)
```
```python=
# selection sort，記錄最小值的索引值
t=int(input())
for _ in range(t):
a=[*map(int, input().split())]
n=a.pop(0)
for ~ # 對每個基準點 i，0 到 ?(最後一個不用看)
minIdx=i # 預設目前最小值的 index 為 i
for ~ # 從 i 的右邊開始找更小的數值
if a[~]<a[~]: # 如果右邊的值 < 目前最小值
~ # 更新 minIdx
~ # 把找到的最小值(minIdx的值)和基準點交換
sum=0
for i in range(n):
sum+=abs(a[n//2]-a[i])
print(sum)
```
### 3. 插入排序(Insertion Sort)
+ [insertion sort](https://kopu.chat/2017/06/22/插入排序insertion-sort/)：將還未排序的元素插入到已排序數列中的正確位子。
+ [Insertion Sort | GeeksforGeeks - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=OGzPmgsI-pQ)
:::info
EX_1_3：[a104: 排序](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a104) (以插入排序實作)
:::
```python=
# insertion sort
while True:
try:
n=int(input())
a=[*map(int, input().split())]
for ~ # 第 0 個元素不用處理，當成已排好序的數列
key=a[i] # key(a[i]) 是正在處理的數值
j=i-1 # 設 j 是 i 的前一個
while ~ # 前面的元素(a[?])大於 key，而且 j 沒有小於邊界(j>=0)
~ # 前面的元素(a[?])比 key 大，所以往右移
~ # j 往前移
~ # 將 key 放入正確位置
print(*a)
except:
break
```
### 4. 快速排序(Quick Sort)
+ [quick sort1](https://ithelp.ithome.com.tw/articles/10202330?sc=iThelpR)
+ [quick sort2](http://notepad.yehyeh.net/Content/Algorithm/Sort/Quick/Quick.php)
### 5. 合併排序(Merge Sort)
+ [merge sort](https://medium.com/appworks-school/%E5%88%9D%E5%AD%B8%E8%80%85%E5%AD%B8%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95-%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%B3%95%E9%80%B2%E9%9A%8E-%E5%90%88%E4%BD%B5%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%B3%95-6252651c6f7e)
+ [Merge Sort | GeeksforGeeks - YouTube](https://www.youtube.com/watch?v=JSceec-wEyw)
### 6. 排序演算法效率比較
+ [Sorting Algorithms Animations](https://www.toptal.com/developers/sorting-algorithms)
+ [Comparison Sorting Algorithms](https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/ComparisonSort.html)
+ [排序演算法整理](http://notepad.yehyeh.net/Content/Algorithm/Sort/Sort.php)
### 7. 排序演算法應用
+ lambda(匿名函式)
```python
lambda 參數1, 參數2, ... : 運算式
即
def func( 參數1, 參數2, ... ) :
return 運算式
```
```python=
def mul(x,y):
return x*y
print(mul(5,6))
```
```python=
mul = lambda x,y: x*y
print(mul(5,6))
# (lambda parameter: expression)(argument)
# print((lambda x,y: x*y)(5,6))
```
+ [自訂排序鍵值函數](https://officeguide.cc/python-sort-sorted-tutorial-examples/)
```python=
lst=[5,6,8,3,4,6,7,9,8,2]
lst.sort()
lst.sort(reverse = True)
print(*lst)
# 預設依第 1 個元素遞增排序，如果相同則以第 2 個元素遞增排序
seg=[[5,6],[8,3],[4,6],[7,9],[8,2]]
seg.sort()
# 依第 2 個元素遞增排序
seg.sort(key = lambda x: x[1])
# 依第 2 個元素遞增排序，如果相同則以第 1 個元素遞增排序
seg.sort(key = lambda x: (x[1], x[0]))
print(*seg)
```
:::info
EX_1_4：[b966: 第 3 題 線段覆蓋長度](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b966)
+ 開10^7^bool陣列，讀一筆線段就從L標計到R，最後計算標計的數量。時間O(n)*O(10^7^)可行嗎？ 空間？
+ 將輸入線段依左端點座標排序。則前後兩線段的關係只可能為重疊(包含相連)或不重疊(新線段)
- 如果下一線段的左端點 > 前一線段的右端點，表示前一線段已結束，計算並加總覆蓋長度。
- 如果下一線段的左端點 <= 前一線段的右端點，表示前一條線段可延續，調整前一線段右端點位置即可。
+ [掃描線演算法(sweep line algorithm)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Point2.html)
:::
```python=
# 暴力法(72%)
seg=[0]*1000
n=int(input())
cnt=0
for _ in range(n):
st,ed=map(int,input().split())
for ~ # 將線段左到右的座標，標記為 1
~
for ~ # 從頭看一遍
if ~ # 如果座標有標記為 1
~ # 線段覆蓋長度+1
print(cnt)
```
```python=
n=int(input())
seg=[]
for _ in range(n):
st,ed=map(int, input().split())
~ # 將線段[左端點, 右端點]加入串列
~ # 排序，先看看排序結果
L,R=0,0
total=0
for [st,ed] in seg:
# for e in seg: 以 e[0]、e[1] 表示 st、ed 比較不方便
if ~ # 如果「沒有重疊」，此線段的左端點 > 前一線段的右端點
~ # 結算前一線段的總長度
~ # 以此線段「開始」座標更新 L，以此線段「結束」座標更新 R
else: # 如果「有重疊」，此線段的左端點 <= 前一線段的右端點，表示有可能延伸前一線段
~ # 更新前一線段的右端點為：max(前一線段右端點，此線段右端點)
print(total+(R-L)) # Q：答案為何還要加(R-L)？
```
:::warning
[a737: 10041 - Vito's family](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a737)
+ 將所有親戚的門牌號碼排序，中位數即為 Vito 新家的門牌號碼。
:::
```python=
t=int(input())
for _ in range(t):
a=[*map(int, input().split())]
n=a.pop(0)
~ # 將 a 排序
sum=0
for ~
~
print(sum)
```
:::warning
[d150: 11369 - Shopaholic](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d150)
+ 將商品價格降序(大->小)排序，再取每三個內的最小值。
+ for i in range(2, len(a), 3):
:::
:::warning
[h075. 成績排名](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=h075)
+ 將每個人的(加權分數，資訊，數學，英文，座號)加入list後排序(reverse=True)
+ 同分座號小的要在前面，可將座號加上負號。
+ 輸出格式
``` python
for x in lst:
print(f'{-x[-1]} {x[0]/10:g}')
```
:::
<br/>
## 二、搜尋演算法
+ 數列需先排序好才可使用二分搜尋。
+ [要定義好搜尋的區間是\[a,b\]或\[a,b)或其它](https://www.itread01.com/content/1548961212.html)
- [程式設計中左閉右開區間的廣泛應用](https://www.cnblogs.com/fighlone/p/13526864.html)
+ 區間選擇不正會確導致無窮迴圈，陣列越界 → 模擬剩下一個元素時，是否能正確執行到結束。
:::info
EX_2_1：[d732: 二分搜尋法](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d732)
+ 陣列的索引值從 0 開始。
+ 先練習循序搜尋，結果會如何？(TLE)
:::
``` python=
n,k=map(int, input().split())
a=[*map(int, input().split())]
q=[*map(int, input().split())]
for x in q: # 對q中的每個元素
idx=a.index(x) if x in a else -1 # 如果在 a 裏，輸出其 idx
print(idx+1)
```
``` python=
n,k=map(int, input().split())
a=[*map(int, input().split())]
q=[*map(int, input().split())]
for x in q:
~ # 設一個 bool 變數，表示有沒有找到，預設為 False
for ~ # 從頭開始找
if ~ # 如果找到
print(i+1)
~ # bool 變數設為 True，表示找到
~ # 跳出 for 迴圈
if ~ # 沒找到。Q：不可以直接在 for 迴圈裏的 if 直接加 else 印出 0，例如搜尋 3 會印出？
print(0)
```
``` python=
n,k=map(int, input().split())
a=[*map(int, input().split())]
q=[*map(int, input().split())]
for x in q:
L , R = ~, ~ # 左閉，右開
while ~ # 左邊界index < 右邊界index
~ # 計算 m
if ~ # 如果找到
print(~)
break
elif ~ # 中間值 > x，往左半找
~
else: # 中間值 < x，往右半找
~
if ~ # 如果 左邊界index == 右邊界index，表示沒找到
print(0)
```
:::info
EX_2_2：[f815: TOI_y21m4_a01遊戲升等](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f815)
+ [最小值最大化](https://www.796t.com/content/1551625085.html)([e616](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e616))
+ 對答案二分搜。假設一個答案，檢查這個答案是不是符合條件限制，以二分搜的方式逼進最大值。
+ 結束狀況討論
:::
``` python=
def gold(m): # 計算到等級 m 需要的金幣
sum=0
for ~ # 拿出每個士兵等級
if ~ # 如果士兵等級 < m
~ # 計算需要的花費後加總
return sum
n,c=map(int, input().split())
lv=[*map(int, input().split())]
L,R=1,20000001 # 左閉，右開，假設最大等級為2千萬（極端狀況，1位士兵10^7級，c=10^14，可以升到2千萬級）
while ~
~ # 預期的等級 m
if ~ # 需要的金幣 > 預算，往左半找
~
else: # 往右半找
~
print(~) # Q：答案在？
```
:::warning
[g640: 璽羽的壽司](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=g640)
+ 先將壽司的價格(品質)排序，對每個顧客的最低品質標準，以二分搜找>=標準的最小值。如果標準大於所有壽司的品質，則忽略。
+ score:60%以上即可。
:::
``` python=
n,m=map(int, input().split())
a=[*map(int, input().split())]
q=[*map(int, input().split())]
a.sort()
sum=0
for x in q:
L,R=0,n # 左閉，右開
while ~
m=(L+R)//2
if ~
sum+=a[m]
break
elif a[m]>x:
R=~
else:
L=~
if L==R and L<n:
sum+=a[L]
print(sum)
```
:::warning
[c575: APCS 2017-0304-4基地台](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c575)
+ 對n個服務點排序，並計算服務點兩兩相鄰距離。若要分成K群，則找出前K-1個最大的兩兩相離距離，作為分群切割處。(時間複雜度高)
+ 實做可用二分搜的觀點。因為基地台直徑的答案一定介於1~(最遠服務點-最近服務點)。先假設可能答案為最大最小值中間，測試k個基地台可否覆蓋所有服務點，不行則調整基地台直徑，以二分搜尋法找出答案(直接對答案進行二分搜)。
:::
:::warning
[e616: Aggressive cows](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e616)
+ [最小值最大化](https://blog.csdn.net/qq_43690454/article/details/104020240)
+ 對答案二分搜。假設一個答案，檢查這個答案是不是符合條件限件，以二分搜的方式逼進最大值。
:::
<br/>
## 三、貪婪(greedy)演算法
+ 假設一個問題可以藉由一系列的選擇來解決，貪婪演算法為在每一步的選擇中，都採取在當前狀態下的最佳選擇，從而希望導致結果是最佳解的演算法。
+ [使用貪婪策略的演算法](https://blog.csdn.net/weixin_46072771/article/details/106365035)
- 活動選擇(Activity Selection Problem)
- 物品可分割背包問題(Fractional Knapsack Problem)
- 霍夫曼編碼（Huffman Coding）
- 最小生成樹(Min spanning tree problem) : Kruskal’s algorithm and Prim’s algorithm
- Dijkstra 最短路徑演算法
:::info
EX_3_1：[TCFSH CIRC Judge d042: 例題 P-4-1. 少林寺的代幣](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d042)
+ 當代幣之間不一定是倍數關係時(如 1、3、4)，局部最佳解不一定會組成全局最佳解。
+ 運用 [] 取值，可以使用 index(索引值從0開始)、slice 來存取陣列裡的資料。lst[i:j:k] 可取出索引值 i ~ j-1 的，間隔為k的元素。
:::
```python=
coin=[1,5,10,50]
m=int(input())
for _ in range(m):
n=int(input())
cnt=0
for ~ # 從 50 元開始換
~ # 計算可換出的數量
~ # 剩下沒換零錢的金額
print(cnt)
```
:::info
EX_3_2：[f627: 1. 礦砂採集](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f627)
+ [物品可分割背包問題(Fractional Knapsack Problem)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/KnapsackProblem.html)(選擇物品時，可以只拿物品的一部分，不必須全部拿)
- 如果物品不可分割(0-1背包問題)，greedy可行嗎？(範例如[六、2_2. 0-1背包問題](#0-1背包問題))
+ 依單位重量價值由大到小排序(reverse=True)。
+ 不斷將單位重量價值最大的礦砂放入背包，直到背包已滿或沒有礦砂可放入。
:::
```python=
n,m=map(int, input().split())
ore=[]
for _ in range(n):
w,p=map(int, input().split())
~ # 預設依第 1 個元素遞增排序，如果相同則以第 2 個元素遞增排序。因為要根據單位重量價值排序，所以將[p,w]放入串列
~ # 根據單位重量價值由大到小排序
# 先印出來看看
sum=0 # 礦沙總價值
for ~ # 將每個礦砂list取出
if ~ # 背包重量 > 此礦沙重量
~ # 更新總價值(將此礦沙全部放入背包)
~ # 背包重量扣掉此礦沙重量
else: # 背包重量 <= 此礦沙重量，沒空間可以放下一個
~ # 更新總價值(背包剩下的重量全部放此礦沙)
break
print(sum)
```
:::warning
[TCFSH CIRC Judge d044: 例題 P-4-3. 十年磨一劍(最少完成時間)](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d044)
+ minimum completion time 經典題
+ 放在越前面的工作，等它的人越多，所以短的工作先做。
:::
```python=
n=int(input())
a=[*map(int, input().split())]
~ # 先以 sort 函式將 a 串列由小->大排序
comp,total=0,0 # comp為每把劍磨完時間，total為完成時間之總和
for ~ # 對每一個所需時間
~ # 計算此劍完成時間
~ # 計算完成時間總和
print(total)
```
:::warning
[TCFSH CIRC Judge d045: 例題 P-4-4. 幾場華山論劍(activity selection)](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d045)
+ activity selection problem 經典題
+ 若[x,y]是還未選取線段中右端點最小的線段，那麼最佳解一定會挑選[x,y]。
+ 一開始依照右端點由小到大排序，然後不斷將最小右端的線段挑進最佳解，略過與它重疊的線段。
:::
:::warning
[f832: 隕石 (Meteorite)](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f832)
+ 將隕石重量、捕捉器容量排序
+ 由捕捉器容量大到小，決定是否可以裝入此時最大重量的隕石。
:::
<br/>
## 四、分治(divide & conquer)演算法
### 1. 遞迴複習
:::info
EX_4_1：[a623: 3. Combination](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a623)
+ 以遞迴求組合數。
+ $C^n_m = C^{n-1}_m + C^{n-1}_{m-1}$
+ $n==m \ 或 \ m==0$ 時，只有一種組合方式。
:::
```python=
def c(n,m):
if ~ # 終止條件
return 1
else:
~ # 遞迴呼叫
while True:
try:
n,m=map(int, input().split())
print(c(n,m))
except:
break
```
### 2. 區域變數 vs. 全域變數
- 在函式中的變數為區域變數，在函式外的變數為全域變數。
``` python=
def fun():
a = 10 # 此處的 a 為區域變數
print('函式內',a)
a = 5 # 此處的 a 為全域變數
fun()
print(a) # a 印出5
```
``` python=
def fun():
global a # 使用全域變數 a
a = 10
print('函式內',a)
a = 5 # 此處的 a 為全域變數
fun()
print(a) # a 被函式改變，印出 10
```
``` python=
def fun():
print('函式內',a) # 可以使用全域變數 a，印出 5
a = 5 # 此處的 a 為全域變數
fun()
```
```python=
def fun(a): # 更改參數 a 不會影響函式外的變數
a = 10
print('函式內',a)
a = 5
fun(a)
print(a)
```
:::info
EX_4_2：[f637: DF-expression](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f637)
+ [解題參考](https://www.youtube.com/watch?v=LMlQIJoU6PA)
+ 測資
|  |  | ||
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1<br>8<br>ans=64<br>| 20101<br>8<br>ans=32<br>| 202010101<br>8<br>ans=24<br>||
:::
```python=
def f(n):
global s,idx
idx+=1
if s[idx]=='0':
return 0
elif ~ # 1 表示全部都是黑色，回傳 n*n
~
else: # 2 表示均分為四小塊，用遞迴把四小塊的結果加總回傳
# return f(n//2)+f(n//2)+f(n//2)+f(n//2)
sum=0
for ~
~
return sum
s=input()
n=int(input())
idx=-1
print(f(n))
```
+ [Python中next()函数、iter()以及next(iter())函数的用法详解](https://blog.csdn.net/weixin_42782150/article/details/109315355)
+ [深入理解 Python 中的循环和迭代](https://www.freecodecamp.org/chinese/news/loops-and-iterations-in-python/)
```python=
def f(n):
nx=next(it) # 每從迭代器中取出一項，那一項即從迭代器中「消失」。
if nx=='0':
return 0
elif nx=='1':
return n**2
else:
return sum(f(n//2) for _ in range(4))
it=iter(input())
n=int(input())
print(f(n))
```
:::warning
[e357: 遞迴函數練習](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e357)
:::
```python=
~ # 定義遞迴函數f(x)
if ~ # x等於1
~ # 直接回傳 1
elif ~ # x為偶數
~ # 回傳 f(x/2)，// 取商
else:
~ # 回傳 f(x-1)+f(x+1)
n=int(input())
print(f(n))
```
:::warning
[c002: 10696 - f91](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c002)
:::
### 3. 步驟
+ 分割(divid)：將原本的問題分割成多個子問題(規模較小的同類問題)。
+ 克服(conquer)：當子問題劃分得足夠小時，用相同的演算法遞迴地解決所有的子問題。
+ 合併(combine)：合併(merge)所有子問題的解答成為原本問題的解答。(不一定所有的問題都需要，快速排序 vs. 合併排序)
### 4. 優點
+ 將問題分割，較易解決困難的問題。(河內塔)
+ 可以找出比較有效率的演算法。(合併排序)
+ 能夠平行處理。(快速排序)
### 5. 分治經典問題
+ [找出較輕的假幣](https://market73228.pixnet.net/blog/post/11996380)
+ 二分搜尋
+ 快速排序
+ 合併排序
+ [河內塔](http://www.novelgames.com/zh-HK/tower/)
+ [逆序數對](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%BA%8F%E5%AF%B9)
+ [平面最近點對](https://oi-wiki.org/geometry/nearest-points/)
+ [缺陷棋盤填滿](https://xie.infoq.cn/article/65ba1aaa2135b23eb6180e3ff)
:::info
EX_4_3：[d219: 00374 - Big Mod](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d219)
+ [分配律](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E9%99%A4)
+ (A\*B)%M=[ (A%M)\*(B%M) ]%M→B^P^%M=[ (B^P/2^%M)\*(B^P/2^%M) ]%M
+ EX：4\*5%3=(4%3)\*(5%3)、5\*8%3=(5%3)\*(8%3)%3
+ 測資輸入 b p m 為同一行。
:::
```python=
def dc(b,p,m):
if p==0:
return 1
elif p==1:
~
else:
half=~ # 先算出 b^(p/2)%m
if ~ # p 為偶數，( b^(p/2)%m * b^(p/2)%m ) % m
# return dc(b,p//2,m)*dc(b,p//2,m)%m
return ~
else:
~ # p 為奇數要比偶數時多乘一次b
while True:
try:
b,p,m=map(int, input().split())
print(dc(b,p,m))
except:
break
```
:::info
EX_4_4：[a233: 排序法~~~ 挑戰極限](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a233)(以合併排序實作)
+ 時間複雜度O(n^2^)的排序法會TLE
+ [步驟說明](https://www.cnblogs.com/pythonbao/p/10800699.html)
+ [L, R) 分為 [L, mid) + [mid, R) 處理。
[L, R) 中元素個數為 R-L。
+ [C++ 與 Python 的輸入輸出優化](https://akr.tw/post/6)
:::
```python=
import sys
def mergeSort(a):
if len(a)<=1:
return a
mid=len(a)//2
left=mergeSort(a[:mid]) # 左半邊以 mergeSort 排序好
~ # 右半邊以 mergeSort 排序好
output=[]
i,j=0,0
while ~ # 將左、右半邊已排序好的序列，依序放至 output 陣列。(i、j 還沒到底)
if left[i]<=right[j]:
output.append(left[i])
i+=1
else:
~
~
output+=left[i:] # 當左半邊沒放完
~ # 當右半邊沒放完
return output
n=int(sys.stdin.readline())
a=[*map(int, sys.stdin.readline().split())]
sys.stdout.write(' '.join([str(c) for c in mergeSort(a)]))
# score:75%
# n=int(input())
# a=[*map(int, input().split())]
# print(*mergeSort(a))
```
```python=
# 如果函式參數為可變的(mutable)物件，如list時，在函式中對 list 的修改，也會影響 list 變數。
def f(lst):
lst[0]=5
lst=[1,2,3]
f(lst)
print(lst)
```
```python=
# 在原始串列處理，儘量不搬動，但 score:45%
def mergeSort(a):
if len(a)<=1:
return
mid=len(a)//2
left=a[:mid]
right=a[mid:]
mergeSort(left)
mergeSort(right)
i,il=0,0 # i 為主串列索引，il 為左半索引
for x in right:
while il<len(left) and left[il]<=x:
a[i]=left[il]
i+=1
il+=1
a[i]=x
i+=1
while il<len(left):
a[i]=left[il]
i+=1
il+=1
n=int(input())
a=[*map(int, input().split())]
mergeSort(a)
print(*a)
```
:::warning
[d636: 大爆炸bomb](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d636)
:::
```python=
def dc(a,b):
if b==0:
return ~
elif b==1:
return ~
else:
~ # 先算出 a^(b/2)%10007
if ~ # b 為偶數
~
else: # b 為奇數
~
a,b=map(int, input().split())
print(dc(a,b))
```
:::warning
[a227: 三龍杯 -> 河內之塔](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a227)
+ [解題參考](http://notepad.yehyeh.net/Content/DS/CH02/4.php)
:::
:::warning
[TCFSH CIRC Judge d064: P-5-4. 反序數量 (APCS201806)
](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d064)
+ 類似 a233 合併排序 score:45% 作法。
+ [資訊之芽算法班 第六週 Divide and conquer](https://www.csie.ntu.edu.tw/~sprout/algo2019/ppt_pdf/week06/divide_and_conquer.pdf)
+ 如果看成從前往後掃，對於每個數a[i]只要能求在i之前有多少大於它的數，即可用線段樹來做。[參考網站](https://zh.codeprj.com/blog/4c8dff1.html)
:::
<br/>
## 五、樹搜尋(tree search)與回溯(backtracking)演算法
+ 許多問題尋找解答的過程可以表示成樹，建構出解答空間樹(solution space tree)，因此找解答就轉變成一個樹搜尋問題。
+ [回溯法](https://www.youtube.com/watch?v=nrHTtjkYEyQ)是暴搜法的一種，用來枚舉所有的候選解。在進行未拜訪節點選擇時，可以先選擇可能會有好結果的分支，或是提早判斷若無解，就不遞迴至下一層，而是回溯退回先前的節點。
+ [DFS](https://jason-chen-1992.weebly.com/home/-graph-searching-methods) vs. 回溯 (backtracking)
- DFS 可視為回溯法的一種型態，DFS 會遍訪每一個未拜訪過的子節點，如果該節點為樹葉節點，就退回其父節點再遍訪其它分支的節點，強調搜尋的順序。
- 回溯法強調剪枝(pruning)，剪掉不符合條件的分枝，不再繼續遞迴下去。
- [DFS 遇到拜訪過的節點會馬上回溯，backtracking 遇到不合理的解答會馬上回溯。](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Backtracking.html#1)
:::info
EX_5_1：[d908: 4. 最佳路徑](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d908)
+ DFS
+ [相鄰矩陣表示法(Adjacency Matrix)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Graph.html#3)
+ Q：NA(score:80%)？
A：有些線段會重複，記錄此線段的最大權重。
:::
```python=
def dfs(now):
sum=0 # 從此點往下的路徑總和
for ~ # 從此點(now) 往下檢查 26 個字母是否相連
if ~ # 如果 now 有連到 i (而且 i沒走過)
~ # 從 i 繼續往下走，路徑的權重總和為 now->i 這一段的權重 + 從 i dfs 下去的權重和。取最大值。
return sum
s=input()
s=ord(s)-ord('A') # A 轉為 0，B 為 1 …，
n=int(input())
g=[[0]*26 for i in range(26)] # 初始化一個26*26矩陣，初值均為 0
for _ in range(n):
u,v,w=input().split()
u=ord(u)-ord('A') # A 轉為 0，B 為 1 …，
v=~
w=int(w)
~ # 將相鄰矩陣g[u(轉為數字)][v(轉為數字)]的值設為w
'''
先把範例一的相鄰矩陣印出來看看
0 7 1 0 0 0
0 0 0 3 5 0
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
for row in g:
print(row)
'''
print(dfs(s))
```
:::info
EX_5_2：[i644. 列舉八皇后問題所有解](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=i644)
+ backtracking
+ 以一維陣列 row[9] ([1-based indexing](https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/oneBasedIndexing.html)) 記錄皇后的座標。陣列索引為皇后的col，值為皇后的row。
|  | q[1]={1,1}<br>q[2]={3,2}<br>q[3]={5,3}<br>$\vdots$<br><br>row[1]=1<br>row[2]=3<br>row[3]=5<br>$\vdots$|
| -------- | :--------: |
+ [皇后衝突的判斷](https://iter01.com/kmw2YoS.html)
[](https://i.imgur.com/JWKOD70.png) [](https://i.imgur.com/kmw2YoS.png)
+ [棋盤](https://www.datagenetics.com/blog/august42012/)
:::
```python=
def attack(r, c):
for ~ # 檢查是否衝突到之前已擺放的皇后
if ~ # 在同一列或對角(abs)
return True # 表示衝突到
return False
def place(c): # 填第幾 col ，即填第幾個皇后
for ~ # 每一列(1~8)都試試看
if ~ # 如果放在 r 列, c 欄的皇后不會衝突之前已擺放的皇后
~ # 記錄此皇后的位置
if c==8:
global cnt
print(str(cnt) + ': ' + ~)
cnt+=1
else:
~ # 繼續擺下一個皇后
row=[0]*9 # index 為皇后的 col，值為 row
cnt=1
place(1)
```
:::info
EX_5_3：[c812: 1. 觀光景點](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c812)
+ [相鄰串列表示法(Adjacency Lists)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Graph.html#4)
```python
g=[[0]*26 for i in range(26)] # 初始化一個26*26矩陣
g=[[] for _ in range(5)] # 相鄰串列，每列放相鄰的點，或[點，邊]
```
+ 有三組測資因預設遞迴深度不足會出現 RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison。需加上 sys.setrecursionlimit(10000)
:::
```python=
import sys
sys.setrecursionlimit(10000)
def dfs(now,r): # r 為起點到現在的點(now) 的相關性
global ans
if ~ # 起點到現在的點(now) 的相關性至少為 q
ans+=1
for ~ # 對每個連到 now 的節點(nxt)
if ~ # 如果 nxt 沒走過
~ # 將現在的點(now)設為走過
~ # 從 nxt 繼續往下走，重新估算路徑的相關性
g=[[] for _ in range(5005)]
vis=[0]*5005
n,vk,q=map(int, input().split())
for _ in range(n-1):
i,j,rij = map(int,input().split())
g[i].append([j,rij])
~ # 無向圖，i 連到 j ， j 也連到 i
'''
先把範例二的相鄰串列印出來看看
1 : [6,4]
2 : [4,10] [3,6]
3 : [6,3] [5,8] [2,6]
4 : [2,10]
5 : [3,8]
6 : [3,3] [1,4]
'''
vis[vk]=1
ans=0
dfs(vk,1e9)
print(~) # 答案不是 ans，Why？
```
:::warning
[j124: 3. 石窟探險](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=j124)
+ 類似 d908
:::
```python=
def dfs(u): # 找 u 的孩子 v
~ # 使用全域變數 seq 和 idx
total_diff=0
for i in range(2+u%2): # 偶數做2次，奇數做3次
idx+=1
v= ~ # v 在 seq 中 idx 的地方
if ~ # 如果 v 有編號，不是 0
total_diff+=~ # u、v差的絕對值，再加上 v 之下差的總和(遞迴)
return total_diff
seq=[*map(int, input().split())]
idx=0
print(dfs(seq[0]))
```
:::warning
[a290: 新手訓練系列 ~ 圖論](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a290)
+ 相鄰串列
+ input().split()會 TLE，改用 sys.stdin.readline().split()。需 import sys。
:::
:::warning
[d626: 小畫家真好用](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d626)
+ 分四個方向做DFS。
```python=
# 輸入
mp=[]
for _ in range(n):
mp.append(list(input()))
# 輸出
for i in range(n):
print(''.join(mp[i]))
:::
:::warning
[b554. 5.貪吃龍遊戲](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b554)
+ backtracking。
+ [解題參考](https://hackmd.io/@cyk/112/https%3A%2F%2Fhackmd.io%2F%40cyk%2Fbacktracking#%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E7%A2%BC)
:::
<br/>
## 六、動態規劃(Dynamic Programming、DP)
+ [動態規劃簡介](https://mropengate.blogspot.com/2015/01/algorithm-ch2-dynamic-programming.html)
+ [一個問題若能用 DP 求解，該問題含有以下三個性質](https://hackmd.io/@3xOSPTI6QMGdj6jgMMe08w/HknO-zmQI/https%3A%2F%2Fhackmd.io%2Fs%2FByfT8JZ9E#Week-9-Dynamic-Programming-%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83)
- 最佳子結構(optimal substructure)：最佳解能夠由子問題的最佳解構成。([分治與貪心法同樣有著這個特性](https://hackmd.io/@XDEv11/NCKU-AdvCP-2021-DP#%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83%E5%95%8F%E9%A1%8C%E7%9A%84%E7%89%B9%E6%80%A7))
- 重疊子問題(overlapping subproblem)
- 無後效性：子問題的解一但確定，就不會受到更大的問題的求解決策影響。
+ 規劃步驟
1. 定義子問題(狀態定義)。
- 定義存最佳解的 dp[i] 的 i 是什麼狀態。
2. 找出問題與子問題之間的遞迴關係(狀態轉移方程)。
- 思考 dp[i] 如何用已求得的 dp[i-1], dp[i-2] … 來計算，或思考已求得的 dp[i] 如何延伸去計算 dp[i+1], dp[i+2] …。
- 再思考狀態轉移方程時，要不斷催眠自己 dp[i] 已知道答案，才較容易得到問題與子問題之間的遞迴關係。
3. 規劃初始狀態及轉移順序，避免以遞迴的方式進行計算。(以空間換取時間)
- dp[0] 設定初始值。
+ 一個DP如果狀態有 O(n^x^) 而狀態轉移方程涉及 O(n^y^) 個狀態，一般可稱為 xDyD 的 DP。
### 1. 1D0D
:::info
EX_6_1：[TCFSH CIRC Judge d067: P-6-2. 不連續的表演酬勞](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d067)
+ 每天可以獲得的酬勞放在一維陣列p[]中。
+ 狀態定義： dp[i] 是前 i 天可以獲得的最大報酬。
+ 狀態轉移方程
- 如果第 i 天不選，前 i 天的獲利就是前 i-1 天的獲利 dp[i]=dp[i-1]。
- 如果第 i 天要選，可以獲利 p[i]，但是第 i-1 天就不可以選，因此最大的獲利是 p[i]+dp[i-2]。
- dp[i]=max(dp[i-1], p[i]+dp[i-2])。
:::
```python=
n=int(input())
p=[*map(int, input().split())]
dp=[0]*100005 # dp[i] 記錄到第 i 天的最大報酬
dp[0]=~
dp[1]=~
for ~ # 計算第3~n天的報酬
~ # 遞迴關係式
print(dp[n-1])
```
:::warning
[d038: 00900 - Brick Wall Patterns](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d038)
+ dp(1)=1，dp(2)=2
+ dp(n)=dp(n-1) + dp(n-2)
:::
:::warning
[d054: 11310 - DELIVERY DEBACLE](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d054)
+ dp(0)=1，dp(1)=1，dp(2)=5
+ dp(n)=dp(n-1) + 4\*dp(n-2) + 2\*dp(n-3)
+ [解題參考](http://kos74185foracm.blogspot.kr/2011/06/11310-delivery-debacle.html)
:::
### 2. 2D0D
#### 2_1. [最長共同子序列(LCS)](https://www.796t.com/content/1546179722.html)
+ 狀態定義
- lcs(i, j) 為 x 的前 i 個字元（x[0]~x[i-1]），與 y 的前 j 個字元（y[0]~y[j-1]），最長共同子序列的長度。
- x 字串的 index 由 0 開始，長度 i 的最元素為x[i-1]。
+ 狀態轉移方程
- $$
lcs(i,j)=
\begin{cases}
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \ if \ i=0 \ or \ j=0
\\[2ex]
lcs(i-1,\ j-1)+1\qquad\qquad\qquad\ \ if \ x[i]=y[j]
\\[2ex]
max(lcs(i-1,j),\ lcs(i,j-1))\qquad otherwise
\end{cases}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
$$
+ [步驟說明](https://www.youtube.com/watch?v=uX-PJiNVHrs&t=17m33s)
:::info
EX_6_2：[c001: 10405 - Longest Common Subsequence](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c001)
:::
```python=
while True:
try:
x=input()
y=input()
dp=[[0]*1005 for i in range(1005)]
for ~ # x 的所有元素
for ~ # y 的所有元素
if ~ # x,y 最後一個元素相同
~
else: # x,y 最後一個元素不同
~
print(dp[~][~])
except:
break
```
:::warning
[d378: 最小路徑](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d378)
+ [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d378)
:::
:::warning
[a133: 10066 - The Twin Towers](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a133)
+ [解題參考](https://www.youtube.com/watch?v=7qN9Wg0jmJo)
:::
:::warning
[a252: Another LCS](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a252)
+ dp=[[[0]*101 for _ in range(101)] for _ in range(101)]
:::
:::warning
[i429. 4. 內積 (時限放寬版，給 Python 使用者)](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=i429)
+ [解題參考](https://www.youtube.com/watch?v=EvyyRNAnAtE)
:::
#### 2_2. <span id="0-1背包問題">[0-1背包問題](https://www.cnblogs.com/lyeeer/p/12771929.html)</span>
+ 有 n 個物品，每個物品有重量 w 跟價值 v，背包有最大負重，求在物品不可以分割不重複的情況下，背包可以裝的最大價值為何？
- 相對於物品可分割背包問題，在選擇物品時，要麼完整地選擇，要麼不選擇，不可以只拿物品的一部份(物品不可分割)。
- Greedy不行，假設背包負重30kg，會得到190(50+140)，但最大價值為200(60+140)。
|物品|重量|價值|價值/重量比|
|:-:|:-:|:-:|:-:|
|1 |5 |50 |10|
|2 |10 |60 |6 |
|3 |20 |140|7 |
- 窮舉法會太多狀況，n 個物品，每個物品可以選擇拿或不拿，會有 2^n^ 種可能性要考慮(例如 d637，n=10000)。
+ 狀態定義
- dp[i][j]表示只考慮拿前 i 個物品，放入最大負重為 j 的背包時，可以得到的最大價值。
+ 狀態轉移方程
- 假設第 i 項物品的重量為 w[i]，價值為 v[i]。
- 如果 w[i]>j，根本不可能挑選。
- 如果拿第 i 項物品，背包重量剩 j-w[i] (可以從i-1項挑選)，亦即在負重 j 時，第 i 個物品不拿時的價值，與拿了第 i 個物品時的價值，選擇較好的那個。
- $$
dp(i,\ j)=\begin{cases}
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \ if \ i=0 \ or \ j=0
\\[2ex]
dp(i-1,\ j) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ if \ w[i]> j\\[2ex]
max(\ dp(i-1,\ j),\ dp(i-1,\ j-w[i]) + v[i]\ )\quad otherwise \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{cases}
$$
- 
:::info
EX_6_3：[d637: 路過的鴨duck](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d637)
+ [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d637-duck)
:::
```python=
dp=[[0]*105 for _ in range(10005)]
w=[0]*10005 # w[i]表飼料的體積(物品重量)
v=[0]*10005 # v[i]表飼料的飽足感(物品價值)
n=int(input())
for i in range(1,n+1):
w[i],v[i]=map(int, input().split())
for ~ # 考慮每一個物品要不要拿
for ~ # 考慮每一個背包重量
if ~ # 如果第 i 個物品的重量 > 背包重量，則不拿
~
else: # 如果如果第 i 個物品放的下，在拿或不拿中選較大的
~
print(dp[n][100])
```
:::info
EX_6_4：[b184: 5. 裝貨櫃問題](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b184)
+ [空間優化](https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/105209974)([滾動DP](https://hackmd.io/@fdhscpp110/Sk21ZDbvd))：更新藍色格子只需要紅色格子的資料。
+ 若狀態定義 dp(j) 為背包重量為 j 時的最大價值。
+ 對第 i 個物品，考慮不拿或拿，狀態轉移方程為
- dp(j)=max( dp(j), dp(j-w[i])+v[i] )
+ Q：[如果如上一題由背包重量小->大更新表格，會有什麼問題？](https://hackmd.io/@3xOSPTI6QMGdj6jgMMe08w/ByfT8JZ9E?type=view#01-%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%95%8F%E9%A1%8C)
A：<font color="#d9edf6">若 dp(j−w[i]) 已經拿 i 物品，更新到 dp(j) 時，拿 i 物品也有較大價值，因為 dp(j)=dp(j−w[i])+v[i]，dp[j] 相當於拿了兩次 i 物品，違反物品只能拿一次的要求。
調整 j 由大->小更新表格，則可避免物品重複拿。</font>
:::
```python=
while True:
try:
dp=[0]*105
w=[0]*105 # w[i]表體積
v=[0]*105 # v[i]表利潤
n=int(input())
for i in range(1,n+1):
w[i],v[i]=map(int, input().split())
for ~ # 考慮每一個貨物要不要拿
for ~ # 對這個貨物，從體積 100 往前檢查
~ # 裝這個貨物的價值比較大，dp[j]就設定成新的(較大的)價值
print(dp[100])
except:
break
```
:::warning
[b140: NOIP2005 3.採藥](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b140)
:::
:::warning
[b131: NOIP2006 2.开心的金明](http://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b131)
+ [解題參考](https://sites.google.com/view/zsgititit/home/c-cheng-shi-she-ji/b131-noip2006-2-kai-xin-de-jin-ming)
:::
:::warning
[TCFSH CIRC Judge d075: Q-6-10. 置物櫃出租 (APCS201810)](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d075)
+ 以0-1背包問題的方法，計算剩下空間(總空間-王老要的空間)的最大利益。
+ 目前的利益-剩下空間的最大利益即是王老損失的利益。
+ [解題參考](https://www.youtube.com/watch?v=0SNyjUl2t4A)
:::
#### 2_3. (Bonus) 零錢問題
+ [狀態定義 & 狀態轉移方程](https://yuihuang.com/change-coins/)
:::info
EX_6_5：[d904: 換零錢](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d904)
+ [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d904)
+ 零錢可重複，檢查金額時，不需如 b184 大到小檢查。
:::
```python=
coin=[]
dp=[1e9]*1005 # dp[]存每種金額，最少的硬幣數量
dp[0]=0
c,n=map(int, input().split())
for _ in range(n):
coin.append(int(input()))
for ~ # 對每一個種硬幣
for j in range(~, ~): # 對每一金額 j (硬幣幣值以上金額)，重新檢查硬幣數是否會改變
dp[j]=~ # 更新此金額的硬幣數量
print(dp[c])
```
:::warning
[d253: 00674 - Coin Change](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d253)
+ [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d253-674---coin-change)
:::
:::warning
[b232: TOI2009 第四題：分房子](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b232)
+ 將1,3,5,7,9…視為幣值，n間房子視為金額
+ dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]]
:::
### 3. 1D1D
+ 有O(n)個子問題(狀態)，一個子問題(狀態)的計算會牽涉O(n)個前置狀態。
+ 如果直接計算時間複雜度為O(n^2^)，很多1D1D的問題會利用資料結構或問題的特性來降低複雜度。
#### [最長遞增子序列(LIS)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Subsequence.html)
+ 狀態定義
- dp[i] 表示以 s[i] 為結尾的最長遞增子序列長度(s[0]~s[i]的 LIS 長度)
+ 狀態轉移方程
- dp[i]=max{ dp[j]+1：0<=j<i and s[j]<s[i] }
+ 範例
| s[0] | s[1] | s[2] | s[3] | s[4] | s[5] |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| 2 | 7 | 4 | 1 | 8 | 3 |
+ dp 陣列
| s[] | 2 | 7 | 4 | 1 | 8 | 3 |
|:------------------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| LIS 的元素 | 2 | 2 7 | 2 4 | 1 | 2 4 8| 1 3 |
| dp 陣列值 (s[]為結尾的LIS 長度) | 1 | | | | | |
| 7 可接在 2 後 | 1 | 2 | | | | |
| 4 可接在 2 後 | 1 | 2 | 2 | | | |
| 1 無法接在任何數後 | 1 | 2 | 2 | 1 | | |
| 8 可接在 4 後 | 1 | 2 | 2 | 1 | 3 | |
| 3 可接在 1 後 | 1 | 2 | 2 | 1 | 3 | 2 |
:::info
EX_6_6：[TCFSH CIRC Judge d078: P-6-15. 一覽衆山小](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d078)
+ 先完成O(n^2^)的方法。(TLE)
:::
```python=
n=int(input())
s=[*map(int, input().split())] # 戰力值
dp=~ # dp[i]表示以s[i]為结尾的最長遞增子序列長度(s[0]~s[i]的LIS長度)。初始化為1(每一個數字本身就是長度為一的 LIS)
for ~ # 找出 s[i] 能接在哪些數字後面
for ~ # 檢查 j=0~i-1
if ~ # 如果 s[i]>s[j]，表示 s[i] 能接在 s[j] 後面
~ # dp[j]+1 若大於 dp[i]，更新為新長度
print(max(dp)) # dp[]之中最大的值即為 LIS 的長度
```
+ 上面的做法，對每個 i 點，都要往前搜尋所有的 j 點，時間複雜度為O(n^2^)，如何加速？(省略不必要的計算)
- 如果 s[i]<=s[j] (i>j)，但 dp[i]>=dp[j]，表示s[i]的值比較小，但有比較長的 LIS。那麼可以接在 s[j] 後面的一定也可以接在 s[i] 後面。
* 例如上一個例子，2 4 可以取代 2 7，後面如果有 5 可發展出更長 的 LIS。所以對之後的數字，2 7 不需要再檢查。
* Q：如果刪除沒有用的子問題結果，會剩下甚麼呢？
A：<font color="white">每一種 LIS 長度只會有一個狀態被留下來$\Rightarrow$ 結尾數值最小的狀態。</font>
| s[] | 2 | 7 | 4 | 1 | 8 | 3 |
|:-----:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| LIS 的元素 | 2 | 2 7 | 2 4 | 1 | 2 4 8| 1 3 |
| LIS 長度| ~~1~~ | ~~2~~ | ~~2~~ | 1 | 3 | 2 |
* Q：增加一個元素 5 ，表格會調整為？
| s[] | 2 | 7 | 4 | 1 | 8 | 3 | 5 |
|:-----:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| LIS 的元素 | 2 | 2 7 | 2 4 | 1 | 2 4 8| 1 3 |<font color=white>1 3 5</font>|
| LIS 長度| ~~1~~ | ~~2~~ | ~~2~~ | 1 | <font color=white>~~3~~</font> | 2 | <font color=white>3</font>|
- 以陣列 last[L] 記錄 LIS 長度為 L 的最後一個元素(選值最小的，讓後續數字有機會發展出更長的 LIS)
+ 範例
| s[0] | s[1] | s[2] | s[3] | s[4] | s[5] | s[6] | s[7] |
|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:| :---: |
| 2 | 8 | 6 | 7 | 1 | 3 | 4 | 9 |
+ last 陣列
| LIS 長度 | 1 | 2 | 3 | 4 |概念|
|:--------------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---|
|最後一個元素|2| | | |s[0]=2 |
| |2|8<br />(2 8)| | |s[1]=8 |
| |2|6<br />(2 6)| | |s[2]=6，26 取代 28|
| |2|6|7<br />(2 6 7)| |s[3]=7，7可加在6後，變成長度3|
| |1|6|7| |s[4]=1|
| |1|3<br />(1 3)|7| |s[5]=3，3可以取代6(13->26)，<br />**找到第一個>=3的元素並取代**|
| |1|3|4<br />(1 3 4)| |s[6]=4，134 取代 267，<br />找到第一個>=4的元素並取代|
| |1|3|4|9<br />(1 3 4 9)|s[7]=9，找不到直接加在最後面|
+ last 陣列的元素是單調遞增的，要找 s[i] 可以接在誰後面時，不用循序找，可以用二分搜加速。
+ [[Python] 陣列二分演算法（Array bisection algorithm）bisect 筆記](https://clay-atlas.com/blog/2022/11/26/python-bisect-array-bisection-algorithm/)
```python=
import bisect
a=[1, 2, 5, 5, 6, 8]
print(bisect.bisect_left(a, 3)) # 2
print(bisect.bisect_right(a, 3)) # 2
print(bisect.bisect_left(a, 5)) # 2
print(bisect.bisect_right(a, 5)) # 4
print(bisect.bisect_left(a, 9)) # 6
print(bisect.bisect_right(a, 9)) # 6
bisect.insort_left(a, 4)
print(*a) # 1 2 4 5 5 6 8
```
```python=
# O(nlog(n))
import bisect
n=int(input())
s=[*map(int, input().split())] # 戰力值
last=[]
for e in s:
~ # 在目前 last 陣列中找 >=e 的最小值，以 e 覆蓋此元素可能產生更長的 LIS
if ~ # 如果找不到
~ # 將 e 放在 last 最後
else: # 如果找的到
~ # 取代這個值
print(len(last))
```
+ [如果要印出 LIS 的元素](https://yuihuang.com/dp-lis/)
:::info
EX_6_7：[f608: 4. 飛黃騰達](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f608)
+ [最長嚴格遞增子序列(LIS)的變形](https://www.youtube.com/watch?v=vLS3fCeGpeI)
- 將所有點依 x 座標排序後，每個點的 y 座標可看成一個整數序列。對任意 i<j 若y[i]<=y[j]，表示 i 點可以走到 j 點，所以每一種走法就是一個非遞減子序列，本題就是要找一個最長的非遞減子序列(Longest Non-Decreasing Subsequence)。
- 範例
| <br> $\bf\fbox 1$ 5 $\bf\fbox 1$ $\bf\fbox 3$ 2 $\bf\fbox 4$ $\bf\fbox 4$ 6 3 $\bf\fbox 5$ 4<br> $\bf\fbox 1$ 5 $\bf\fbox 1$ 3 $\bf\fbox 2$ $\bf\fbox 4$ $\bf\fbox 4$ $\bf\fbox 6$ 3 5 4<br>$\vdots$| 11<br>1 1<br>1 5<br>2 1<br>2 3<br>3 2<br>3 4<br>4 4<br>4 6<br>5 3<br>5 5<br>6 4<br>Ans：6|
| :--------: | :-------- |
- 飛黃可以向上或『向右』移動，y 座標相等可以加到非遞減子序列。
LIS 在 last 陣列中尋找第一個『>=』(bisect_left) 的元素，這裏要改為尋找第一個 『>』(bisect_right) 的元素(數值相同要保留，不要覆蓋掉)。
+ 排序時 x 相等則比較 y，list 預設即會這樣比較。
:::
```python=
import bisect
n=int(input())
a=[[int(x) for x in input().split()] for _ in range(n)]
a.sort()
last=[] # 存 y 座標的 lis
for ~ # 對每個座標
~ # 在目前 lis 陣列中找 > 此點 y 座標的最小值，覆蓋此元素可能產生更長的 LIS
if ~ # 如果找不到
~ # 將此點 y 座標從尾端加入 lis
else:
~ # 如果找的到，取代這個值
print(len(last))
```
:::warning
[d052: 11456 - Trainsorting](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d052)
+ [由於火車可以選擇接在前方或後方，所以將原本的數列前接上顛倒的數列](https://yuihuang.com/zj-d052/)，再找 LIS。
+ s=s[::-1]+s
:::
### 4. 2D1D
#### [切棍子的最小成本](https://www.freesion.com/article/49081335466/)
+ 狀態定義
- cost(i,j) 表示第 i 點到第 j 點這段的最低切割成本。
- 以座標 0 與 L 當作第 0 與第 n+1 點，即求 cost(0,n+1)
+ 狀態轉移方程
- $$
cost(i,\ j)=\begin{cases}
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad if \ j=i+1
\\[2ex]
\min\limits_{i<k<j}\{\ cost(i,\ k) + cost(k,\ j) \ \} + p[j]-p[i] \quad otherwise \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{cases}
$$
+ 範例
:::info
EX_6_8：[TCFSH CIRC Judge d079: P-6-17. 切棍子](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d079)
:::
```python=
n,L=map(int, input().split())
p=[0]+[*map(int, input().split())]+[L]
cost=[[0]*205 for _ in range(205)] # 點相鄰 cost 為 0
for len in range(2,n+2): # 多用一個變數 len=j-i，代表點i~點j之間的長度，比較好思考。
for ~ # 計算 cost(i, j)
j=i+len
minCost=1e9
for ~ # 對 i~j 中間每個切割點 k 計算 cost
~ # 求 i~k cost + k~j cost 的最小值
~ # 得到最小值後，總成本還要加上點i~點j之間的距離。
print(cost[0][n+1])
```
:::warning
[TCFSH CIRC Judge d086: Q-6-18. 矩陣乘法鏈](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d086)
+ [矩陣相乘次序(Matrix Chain Multiplication)](https://web.ntnu.edu.tw/~algo/DynamicProgramming.html#4)
+ dp(i, j)為從第 i 個矩陣乘到第 j 個矩陣，最少的相乘次數。
+ r[i]為第 i 個矩陣的列數。
+ c[i]為第 i 個矩陣的欄數。
+ $$ dp(i, j) = \min\limits_{i\le k<j} \{ dp(i, k) + dp(k+1, j) + r[i]*c[k]*c[j] \} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$
:::
:::warning
[m934. 4. 合併成本](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=m934)
+ $$ dp(i, j) = \min\limits_{i\le k<j} \{ dp(i, k) + dp(k+1, j) + |sum(i,k)-sum(k+1,j)| \} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$
+ [解題參考](https://hackmd.io/@bangyewu/SkKxG8Oua?fbclid=IwAR09nvTMNtD9ilT1bdtXLjSgTgr-tGe9OxEoodT9bF0xlSYmcgmZmB4etQA)
:::
:::warning
[f817: TOI_y21m4_a03枯枝](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f817)
+ dp[i][j] = dp[i][i] + min( max(dp[i+1][k], dp[k+1][j])，i+1 ≦ k < j)
+ [解題參考](https://www.youtube.com/watch?v=lpPhi25Md1c)
:::
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