###### tags: `選修` # 進階程式設計 ## 零、評量方式、學習歷程 1. 上課基本練習 55% 2. 上機考 30% 3. 期末作業解題報告 15% - 10~12題。 * 每寫一題10分,上限120分(12題)。 * 每個單元至多可放2題(不可以都寫同一單元的題目)。 - 每題的子標題為 (1) 單元、題號、題目、題目簡述 (2) 解題動態、評分結果截圖 (3) 解題思路 (4) 程式碼 (5) 反思(遇到的錯誤、修正的地方、更好的方法…) (6) 錯誤程式碼 - 檢核方式 * 請儘量放一開始有錯,然後修正的題目。如果你每一題都是一次AC,那你應該是骨骼清奇、萬中無一的練武奇才,應該不用怕老師的檢核吧。 * 有交期末作業解題報告者,會請你在沒有網路的狀態下重寫一題當做檢核(題目由老師挑選),寫不出來作業直接作廢0分,所以作業請務必自思考己完成,如果你只想上網找程式複製貼上賺分數,就不用做這種白工了。 - 可放到學習歷程檔案。 4. [TOI推廣計畫-線上練習賽](https://toi-reg.csie.ntnu.edu.tw/) - 成績計算 - 新手組:分數/300直接加在總成績。 - 潛力組:分數/100直接加在總成績。 - 上學期10、11、12月,下學期3、4、5月,最後一週。 - 星期一08:00 ~ 星期五20:00。90分鐘。 - [證書](https://drive.google.com/open?id=1DcgDKn1R33kOPc_HazdIyQDgyYxSCPlZ) 5. [APCS](https://apcs.csie.ntnu.edu.tw/) - 實作級分*3,直接加在總成績。 - 3級分上機考算滿分(不用上機考,學期成績至少85)。 - 4級分以上者,學期成績100。 6. 學習歷程檔案(修課記錄、課程學習成果)(Bonus) - [作伙學:課程學習成果作品呈現建議](https://www.108epo.com/results-detail.php?Key=23) - [大學申請入學參採高中學習歷程資料完整版查詢系統(大學招生委員會聯合會)](https://www.cac.edu.tw/cacportal/jbcrc/LearningPortfolios_MultiQuery_ppa/index.php) - 最後一週上課結束前如果認證完成,學期總成績加分。 - [Canva線上設計](https://www.canva.com/zh_tw/) 7. 演算法進階參考 - [中央資工演算法](https://staff.csie.ncu.edu.tw/jrjiang/alg2019/) - [中山資工演算法](http://par.cse.nsysu.edu.tw/~cbyang/course/algo/algo_index.htm) - [台大資訊系統訓練班演算法](https://www.csie.ntu.edu.tw/~d92005/course_Algorithm(2008).htm) <br/> :::success **資料結構** ::: ## 一、堆疊 + [常用C++ STL:stack](https://yuihuang.com/cpp-stl-stack/) + C++ 堆疊(Stack)常用的方法 | 名稱 | 意義 | |:-----|:----------| |stack<int> sk |建立一個int型別的stack| |sk.size() |堆疊元素數量| |sk.empty() |判斷堆疊是否為空| |sk.push(x) |從堆疊「頂端」加入一個元素x| |sk.pop() |刪除堆疊頂端元素| |sk.top() |取得堆疊頂端元素| :::info EX_1_1:[a034: 二進位制轉換](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a034) ::: ``` c= #include <iostream> ~ using namespace std; int main() { ~ // 宣告一個存 int 的 stack,需含入 stack 標頭檔 int n; while(cin >> n) { while ~ // n大於0 { ~ // 將n除以2的餘數push進堆疊 ~ // 將n除以2 } while ~ // 堆疊內還有元素 { ~ // 印出堆疊頂端元素 ~ // 將堆疊頂端元素移除 } ~ // 一筆測資完換行 } return 0; } ``` :::info EX_1_2:[b838: 104北二2.括號問題](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b838) + 遇「(」push + 遇「)」檢查stack是否是空的,如果不空pop;如果空,則括號不正確。 + 最後再檢查stack是否是空的。 ::: ``` c= #include <iostream> #include <stack> using namespace std; int main() { int t; cin >> t; cin.ignore(); while(t--) { ~ // 宣告一個存 char 的 stack string s; int cnt=0; cin >> s; for ~ // 對s中的每一個字元判斷 { if ~ // 如果s[i]是左括號,等於要有2個等號「==」 ~ // 將s[i]放到堆疊 else // s[i]是右括號 { if ~ // 如果堆疊內有左括號,堆疊size>0 { ~ // pop出一個左括號 ~ // 計數加1 } else // 沒有左括號,表示式子不正確 { ~ // 計數設為0,設定為一個等號「=」 ~ // 跳出迴圈 } } } if ~ // 最後堆疊內還有左括號 ~ // 計數設為0 cout << cnt << endl; } return 0; } ``` :::warning [b923: stack 堆疊的模板題](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b923) ::: :::warning [d318: 11185 - Ternary](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d318) ::: :::warning [a132: 10931 - Parity](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a132) + 以stack記錄除2的餘數 + stack:push、pop、top ::: :::warning [a565: 2.p&q的邂逅](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a565) + 以getline(cin,line)讀取一行前,用 cin.ignore() 將 n 之後的換行字元讀掉。 + C++ IO加速 ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); ::: <br/> ## 二、佇列 + [常用C++ STL:queue](https://yuihuang.com/cpp-stl-queue/) + [常用C++ STL:priority_queue](https://yuihuang.com/cpp-stl-priority-queue/) + C++ 佇列(Queue)常用的方法 | 名稱 | 意義 | |:--------|:----------| |queue<int> q |建立一個int型別的queue| |q.size() |佇列元素數量| |q.empty() |判斷是否為空| |q.push(x) |從佇列「後端」加入一個元素x| |q.pop() |從「前端」刪除一個元素| |q.front() |取得前端元素| |q.back() |取得後端元素| :::info EX_2_1:[e155: 10935 - Throwing cards away I](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e155) ::: ``` c= #include <iostream> ~ using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n && n>0) { ~ // 宣告一個存放 int 的 queue,需含入 queue 標頭檔 for ~ // 將 1~n 放到佇列 ~ ~ // 設一個布林變數(first),初值為true,代表是否為第一個 cout << "Discarded cards: "; while ~ //當佇列的size大於1 { if ~ // 如果不是第一個要印出來的元素,要先印出「, 」 cout << ", "; ~ // 印出佇列前端元素 ~ // 從前端刪除一個元素 ~ // 讀取前端的元素,並從後端加入 ~ // 從前端刪除一個元素 ~ // first布林變數設為false } cout << endl << "Remaining card: " << q.front() << endl; } return 0; } ``` :::info EX_2_2:[a982: 迷宮問題#1](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a982) + [0-18 pair | 從零開始的演算法競賽入門教學](https://emanlaicepsa.github.io/2020/12/02/0-18/) + [圖的搜尋](https://jason-chen-1992.weebly.com/home/-graph-searching-methods) - [深度優先搜尋(Depth First Search, DFS)](http://simonsays-tw.com/web/DFS-BFS/DepthFirstSearch.html):以堆疊(Stack)、遞迴來實作。 - [廣度優先搜尋(Breadth First Search, BFS)](http://simonsays-tw.com/web/DFS-BFS/BreadthFirstSearch.html):以佇列(Queue)來實作。 ::: ``` c= #include <iostream> #include <cstring> #include <queue> using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n) { char maze[105][105]; int len[105][105]; ~ // 宣告一個存放 pair 的 queue memset(len,-1,sizeof(len)); // 將len陣列的初值都設為-1,表示沒走過 for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) cin >> maze[i][j]; q.push({1,1}); len[1][1]=1; maze[1][1]='#'; while ~ // 當 queue 內還有點 { ~ // 讀取 queue 內的點 ~ // pop 掉這個點 int r=p.first,c=p.second; if(maze[r+0][c+1]=='.') // 右 { ~ // 將 {r,c+1} push 至 queue ~ // 右邊點的長度為目前點的長度+1; ~ // 右邊點設為 '#' 表示走過 } ~ // 下 ~ // 左 ~ // 上 } if(len[n-2][n-2]==-1) cout << "No solution!\n"; else cout << len[n-2][n-2] << endl; } return 0; } ``` ``` c= // Q:如何以迴圈,讓程式碼更精簡 int n,dr[4]={~, ~, ~, ~},dc[4]={~, ~, ~, ~}; // 以陣列表示座標要調整的數值 for(int i=0;i<4;i++) // 四個方向 { // 亦可多設下一點座標變數 nr,nc 讓程式碼更清楚 if(maze[~][~]=='.') // 下一個點的座標 { ~ // 將下一個點 push 至 queue ~ // 下一個點的長度為目前點的長度+1; ~ // 下一點設為 '#' 表示走過 } } ``` :::warning [e447: queue 練習](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e447) ::: :::warning [d900: NOIP2010 2.接水问题](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d900) + [0-22 priority_queue | 從零開始的演算法競賽入門教學](https://emanlaicepsa.github.io/2020/12/10/0-22/) + 依輸入序,取佇列中最小值相加後再放入佇列。 ::: :::warning [d406: 倒水時間](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d406) + BFS,以STL queue實作。 ::: <br/> ## 三、串列 + [C++ STL list](https://sites.google.com/site/zsgititit/home/jin-jiec-cheng-shi-she-ji/stl/list) + C++ 串列(List)常用的方法 | 名稱 | 意義 | |:--------|:----------| |list<int> lst |建立一個int型別的list| |lst.begin() |lst第一個元素的位子| |lst.end() |lst最後一個元素的位子| |lst.push_back(x) |從lst「後端」加入一個元素x| |lst.pop_back() |從lst「後端」刪除一個元素| |lst.insert(it,x) |在it位子插入元素x| |lst.erase(it) |刪除it位子的元素| |lst.remove(x) |將lst中所有值為x的元素刪除| |lst.size() |lst元素數量| :::info EX_3_1:[陸行鳥大賽車](https://neoj.sprout.tw/problem/21/) + list:push_back、insert、erase + [find,需含入 algorithm 標頭檔](https://shengyu7697.github.io/std-find/) + C\+\+ 11設定 - CodeBlocks:Settings / Compiler / Have g++ follow the C\+\+11 ISO C++ language standard - Dev-C\+\+:專案 / 專案選項 / 編譯器訊息 / 程式碼產生 / 語言標準(-std) / ISO C\+\+11 + list find 時間複雜度為O(n),會過不了最後兩筆測資 → [以陣列模擬 list](https://chino.taipei/code-TOJ-21-%E9%99%B8%E8%A1%8C%E9%B3%A5%E5%A4%A7%E8%B3%BD%E8%BB%8A/)。 + 交換函式:swap() ::: ``` c= #include <iostream> #include <algorithm> #include <list> using namespace std; int main() { int n,m,t,x; while(cin >> n) { ~ // 宣告可以存放 int 的list(命名為lst) for ~ // 將 1~n 放入 lst ~ cin >> m; for(int i=0;i<m;i++) { cin >> t >> x; if(t==0) // x受攻擊 { ~ // 找到 x 的位置(it) ~ // 刪除 x (使用it來刪除) } else if(t==1) // x衡刺 { ~ // 找到 x 的位置(it) ~ // 先將 itp 設為 it ~ // 將 itp 調整成 it 的前一個位置 if ~ // 如果 x 不是開頭 (使用 it 來判斷) { ~ // 刪除 x (使用it來刪除) ~ // 將 x 插入至 itp 所指的位置 } } } for ~ // 印出 lst 裏的每個元素 ~ cout << endl; } return 0; } ``` :::warning [a870: 10. List Maker](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a870) ::: <br/> <br/> :::success **演算法** ::: ## 一、排序演算法 + [思考排序的演算法](https://zh.wikipedia.org/wiki/十三張) + [Sorting 排序](https://yuihuang.com/sorting/) ### 1. 氣泡排序(Bubble Sort) + [bubble sort](https://pjchender.blogspot.com/2017/09/bubble-sort.html):兩兩相比,數字大的往後擺,好像數字大的元素慢慢「浮」到右端。 :::info EX_1_1:[a539: 10327 - Flip Sort](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a539) ::: ```c= // bubble sort #include <iostream> using namespace std; int main() { int n,a[1005]; while(cin >> n) { int cnt=0; for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i]; for ~ // 5 個數字排序只需 4 個循環 { for ~ // 每次兩兩比較,每次比較索引值「0、1」「1、2」「2、3」「3、4」 的數字 { if ~ // 如果左邊比右邊大 { ~ // 以swap函式交換 cnt++; } } } cout << "Minimum exchange operations : " << cnt << endl; } return 0; } ``` :::warning [e561: 00299 - Train Swapping](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e561) + 計算 Bubble Sort 交換的次數。 + swap() ::: ### 2. 交換排序(Exchange Sort) vs. 選擇排序(Selection Sort) + [exchange sort](http://it-easy.tw/sorting-algorithm/):對每個基準點,如果之後的數比它小就交換。 + [selection sort](https://medium.com/appworks-school/%E5%88%9D%E5%AD%B8%E8%80%85%E5%AD%B8%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95-%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%B3%95%E5%85%A5%E9%96%80-%E9%81%B8%E6%93%87%E6%8E%92%E5%BA%8F%E8%88%87%E6%8F%92%E5%85%A5%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%B3%95-23d4bc7085ff):跟交換排序法類似,但交換次數較少。對每個基準點,找到其後最小的數值,並進行對調。 :::info EX_1_2:[d452: 二、直線最小距離和](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d452) (以選擇排序實作) + 排序後求中位數,中位數與數組各數的距離和最小 ::: ```c= // exchange sort #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int t,n,a[105]; cin >> t; while(t--) { cin >> n; for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i]; for(int i=0;i<n-1;i++) // 對每個基準點 i for(int j=i+1;j<n;j++) // 從 i 的右邊開始找最小值 if(a[j]<a[i]) // 如果檢查的這個數 < 第 i 個數 swap(a[j],a[i]); // 以 swap 函式交換這兩個數; int sum=0; for(int i=0;i<n;i++) sum+=abs(a[n/2]-a[i]); cout << sum << endl; } return 0; } ``` ```c= // selection sort for ~ // 對每個基準點 i,0 到 ?(最後一個不用看) { int minIdx=i; // 預設目前最小值的 index 為 i for ~ // 從 i 的右邊開始找更小的數值 { if(a[~]<a[~]) // 如果右邊的值 < 目前最小值 minIdx=j; // 更新 minIdx } ~ // 把找到的最小值(minIdx的值)和基準點交換 } ``` ### 3. 插入排序(Insertion Sort) + [insertion sort](https://kopu.chat/2017/06/22/插入排序insertion-sort/):將還未排序的元素插入到已排序數列中的正確位子。 :::info EX_1_3:[a104: 排序](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a104) (以插入排序實作) ::: ```c= // insertion sort #include <iostream> using namespace std; int main() { int n,a[1005]; while(cin >> n) { for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i]; for ~ // 第 0 個元素不用處理,當成已排好序的數列 { int key=a[i],j=i-1; // key(a[i]) 是正在處理的數值,設 j 是 i 的前一個 while ~ // 前面的元素(a[?])大於 key,而且 j 沒有小於邊界(j>=0) { ~ // 前面的元素(a[?])比 key 大,所以往右移 ~ // j減1 } a[~]=key; // 將key放入正確位置 } for(int i=0;i<n;i++) cout << a[i] << " "; cout << endl; } return 0; } ``` :::warning [c010: 10107 - What is the Median?](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c010) + 每次輸入都排序會TLE。 + 以insertion sort的觀念,在已排序的數列中,找出新數字的正確位置。 ::: ### 4. 快速排序(Quick Sort) + [quick sort1](https://ithelp.ithome.com.tw/articles/10202330?sc=iThelpR) + [quick sort2](http://notepad.yehyeh.net/Content/Algorithm/Sort/Quick/Quick.php) ### 5. 合併排序(Merge Sort) + [merge sort1](http://alrightchiu.github.io/SecondRound/comparison-sort-merge-sorthe-bing-pai-xu-fa.html) + [merge sort2](https://medium.com/appworks-school/%E5%88%9D%E5%AD%B8%E8%80%85%E5%AD%B8%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95-%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%B3%95%E9%80%B2%E9%9A%8E-%E5%90%88%E4%BD%B5%E6%8E%92%E5%BA%8F%E6%B3%95-6252651c6f7e) ### 6. 排序演算法效率比較 + [Sorting Algorithms Animations](https://www.toptal.com/developers/sorting-algorithms) + [Comparison Sorting Algorithms](https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/ComparisonSort.html) + [排序演算法整理](http://notepad.yehyeh.net/Content/Algorithm/Sort/Sort.php) ![](https://i.imgur.com/BYBK9Bh.png) ### 7. 排序演算法應用 + [常用C++ algorithm:sort](https://yuihuang.com/cpp-algorithm-sort/) ```c= #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; bool cmp(int a,int b) { if(a>b) return true; else return false; } int main() { int a[5]={2,3,1,4,5}; sort(a,a+5,cmp); for(auto e:a) cout << e << " "; return 0; } ``` :::info EX_1_4:[b966: 第 3 題 線段覆蓋長度](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b966) ([測f855](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f855)) + 開10^7^bool陣列,讀一筆線段就從L標計到R,最後計算標計的數量。時間O(n)*O(10^7^)可行嗎? 空間? + 將輸入線段依左端點座標排序。則前後兩線段的關係只可能為重疊(包含相連)或不重疊(新線段) - 如果下一線段的左端點 > 前一線段的右端點,表示前一線段已結束,計算並加總覆蓋長度。 - 如果下一線段的左端點 <= 前一線段的右端點,表示前一條線段可延續,調整前一線段右端點位置即可。 + [【題解】ZeroJudge b966: 第 3 題 線段覆蓋長度](https://yuihuang.com/zj-b966/) + [結構(struct)](https://kopu.chat/2017/05/30/c-%E8%AA%9E%E8%A8%80%EF%BC%9A%E7%B5%90%E6%A7%8B%EF%BC%88struct%EF%BC%89%E8%87%AA%E8%A8%82%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B3%87%E6%96%99%E5%9E%8B%E6%85%8B%E7%B6%81%E4%B8%80%E8%B5%B7/) ``` c // 自訂的資料型別 struct 結構名稱 { 資料型別 變數1; 資料型別 變數2; ... }; + [掃描線演算法(sweep line algorithm)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Point2.html) ::: ```c= #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; ~ // 定義存放線段開始端點座標(st)、結束端點座標(ed)的結構,並開一個s[10005]的陣列,裏面的元素為此結構。 bool cmp(seg a,seg b) // 自訂比較函式 { /* if(a.st < b.st) return true; else return false; */ return ~; // 將上面四行濃縮 } int main() { int n; while(cin >> n) { for(int i=0;i<n;i++) cin >> s[i].st >> s[i].ed; ~ // 排序,自訂比較函式 int L=0,R=0,total=0; // L、R為前一線段的開始、結束座標 for(int i=0;i<n;i++) { if ~ // 如果「沒有重疊」,此線段的左端點 > 前一線段的右端點 { ~ // 結算前一線段的總長度 ~ // 以此線段「開始」座標更新 L ~ // 以此線段「結束」座標更新 R } else // 如果「有重疊」,此線段的左端點 <= 前一線段的右端點,表示有可能延伸前一線段 ~ // 更新前一線段的右端點為:max(前一線段右端點,此線段右端點) } cout << total+(R-L) << endl; } return 0; } ``` :::info EX_1_5(進階):[g277: 3. 幸運數字](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=g277) + Q:土法練鋼時間複雜度? + 區間範圍會越來越小,且區間外的數字不會用到。因此可以先將數列排序後,從頭開始檢查是否在區間內(區間外直接忽略),即是區間最小值。 + 區間和用前綴和。 ::: :::warning [a737: 10041 - Vito's family](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a737) + 將所有親戚的門牌號碼排序,中位數即為 Vito 新家的門牌號碼。 ::: :::warning [d150: 11369 - Shopaholic](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d150) + 將商品價格降序(大->小)排序,再取每三個內的最小值。 + for(int i=2;i<n;i+=3) ::: :::warning [d385: 10905 - Children’s Game](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d385) + 將數字以字串讀入,字串可以直接相加,例如 "12"+"34" 為 "1234"。 + 字串比可直接比較大小(以字典序),例如"ab"<"cd","ab"<"ac"。 + 排序方式為兩個字串前後互換試試看,看誰在前面可形成較大的數字。排序完成後,全部字串照順序接起來即是答案。例如給定的字串"123"、"124"、"56"、90”,按順序連接它們可得到"1231245690"。如果交換"123"、"124",可得到更好的結果"1241235690"。 + 比較函式:(a+b)>(b+a)時為要的順序。 ::: <br/> ## 二、搜尋演算法 + [要定義好搜尋的區間是\[a,b\]或\[a,b)或其它](https://www.itread01.com/content/1548961212.html) - [程式設計中左閉右開區間的廣泛應用](https://codingnote.cc/zh-tw/p/183343/) + 區間選擇不正會確導致無窮迴圈,陣列越界 → 模擬剩下兩個元素時,是否能正確執行到結束。 :::info EX_2_1:[d732: 二分搜尋法](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d732) + 陣列從index 1 開始存。 + 先試試循序搜尋會如何?檔名:d732(60%) ::: ``` c= #include <iostream> using namespace std; int main() { int n,k,x,a[100005]; while(cin >> n >> k) { for(int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i]; while(k--) { cin >> x; ~ // 設一個 bool 變數,表示有沒有找到,預設為 false for ~ // 從頭開始找 { if ~ // 如果找到 { cout << i << endl; ~ // bool 變數設為 true,表示找到。 ~ // 跳出 for 迴圈 } } if ~ // 沒找到。Q:不可以直接在 for 迴圈裏的 if 直接加 else 印出 0,搜尋 3 會印出? cout << 0 << endl; } } return 0; } ``` ``` c= while(k--) { cin >> x; ~ // int L=?,R=?,m; // 左閉,右閉 while ~ // 左邊界index <= 右邊界index { ~ // 計算 m if ~ // 如果找到 { cout << m << endl; break; } else if ~ // 中間值 > x ~ // 往左半找 else // 中間值 < x ~ // 往右半找 } if ~ // 如果 左邊界index > 右邊界index,表示沒找到 cout << 0 << endl; } ``` :::info EX_2_2:[f815: TOI_y21m4_a01遊戲升等](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f815) + [最小值最大化](https://blog.csdn.net/qq_43690454/article/details/104020240) + 對答案二分搜。假設一個答案,檢查這個答案是不是符合條件限制,以二分搜尋的方式逼進最大值。 + 分析最後的狀況(L R 相鄰) - L R m 為 L,如果符合預算,L=m+1  L  R L==R 離開迴圈,此時答案在? - L R m 為 L,如果不符合預算,R=m L R L==R 離開迴圈,此時答案在? ::: ``` c= #include <iostream> using namespace std; long long lv[20005],n; long long gold(int m) // 計算到等級 m 需要的金幣 { long long sum=0; for(int i=0;i<n;i++) if ~ // 如果士兵等級 < m ~ // 計算需要的花費後加總 return sum; } int main() { long long c,L=1,R=20000005,m; //左閉,右開 cin >> n >> c; for(int i=0;i<n;i++) cin >> lv[i]; while(L<R) { ~ // 預期的等級 m if ~ // 需要的金幣 > 預算 ~ // 調整 R else ~ // 調整 L } cout << ~ << endl; // Q:答案不在m,在? return 0; } // Bonus:以左閉,右閉改寫看看。 ``` :::warning [f679: 公會成員](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f679) + 想偷懶,排序可用STL sort,二分搜尋可用lower_bound。 ::: :::warning [c575: APCS 2017-0304-4基地台](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c575) + 對n個服務點排序,並計算服務點兩兩相鄰距離。若要分成K群,則找出前K-1個最大的兩兩相離距離,作為分群切割處。(時間複雜度高) + 實做可用二分搜尋的觀點。因為基地台直徑的答案一定介於1~(最遠服務點-最近服務點)。先假設可能答案為最大最小值中間,測試k個基地台可否覆蓋所有服務點,不行則調整基地台直徑,以二分搜尋法找出答案(直接對答案進行二分搜尋)。 ::: :::warning [c904: 天龍國的蜜蘋果](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c904) + 最大化平均值 + [解題參考1](https://www.twblogs.net/a/5c9e53cabd9eee7523887628) + [解題參考2](https://blog.csdn.net/karry_zzj/article/details/70232097) ::: <br/> ## 三、貪婪(greedy)演算法 + 假設一個問題可以藉由一系列的選擇來解決,貪婪演算法為在每一步的選擇中,都採取在當前狀態下的最佳選擇,從而希望導致結果是最佳解的演算法。 :::info EX_3_1:[TCFSH CIRC Judge d042: 例題 P-4-1. 少林寺的代幣](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d042) ::: ```c= #include <iostream> using namespace std; int main() { int coin[4]={1,5,10,50},m,n; cin >> m; while(m--) { int num=0; // 代幣數量 cin >> n; for ~ // 從 50 元開始換 { ~ // 計算可換出的數量 ~ // 剩下沒換零錢的金額 } cout << num << endl; } return 0; } ``` :::info EX_3_2:[f627: 1. 礦砂採集](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f627) + [分數背包問題(Fractional Knapsack Problem)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/KnapsackProblem.html)(選擇物品時,可以只拿物品的一部分,不必須全部拿) + 依單位重量價值由大到小排序(搭配比較函式greater)。 + 不斷將單位重量價值最大的礦砂放入背包,直到背包已滿或沒有礦砂可放入。 + STL [vector(1)](https://yuihuang.com/cpp-stl-vector/) [(2)](https://zrn-code.github.io/2020/07/19/vector/) ::: ```c= #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n,m,w,p; while(cin >> n >> m) { ~ // 宣告存放礦沙的 vector for(int i=0;i<n;i++) { cin >> w >> p; ~ // pair排序會先以first為基準,相同再比second。因為要根據單位重量價值排序,所以將{p,w}放入vector, } ~ // 根據單位重量價值由大到小排序 /* 先印出來看看 cout << endl; for(auto e:ore) cout << e.first << " " << e.second << endl; */ int sum=0; //礦沙總價值 for ~ // 將每個 pair 取出 { if ~ // 背包重量 > 此礦沙重量 { ~ // 更新總價值(將此礦沙全部放入背包) ~ // 背包重量扣掉此礦沙重量 } else // 背包重量 <= 此礦沙重量,沒空間可以放下一個 { ~ // 更新總價值(背包剩下的重量全部放此礦沙) break; } } cout << sum << endl; } return 0; } ``` :::warning [TCFSH CIRC Judge d044: 例題 P-4-3. 十年磨一劍(最少完成時間)](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d044) + minimum completion time 經典題 + 放在越前面的工作,等它的人越多,所以短的工作先做。 ::: :::warning [e538: 11389 - The Bus Driver Problem](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e538) + 將早晨巴士路線由小->大排序,傍晚巴士路線由大->小排序。( sort搭配比較函式 greater<int>() ) + 最短的早晨巴士路線搭配最長的傍晚巴士路線,會使支付的總加班費最小。 ::: :::warning [f832: 隕石 (Meteorite)](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f832) + 將隕石重量、捕捉器容量排序 + 由捕捉器容量大到小,決定是否可以裝入此時最大重量的隕石。 ::: <br/> ## 四、分治(divide & conquer)演算法 ### 1. 遞迴複習 :::info EX_4_1:[a623: 3. Combination](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a623) + 以遞迴求組合數。 + $C^n_k = C^{n-1}_k + C^{n-1}_{k-1}$ + $n==k \ || \ k==0$ 時,只有一種組合方式。 ::: ```c= #include<iostream> using namespace std; int c(int n, int m) { if ~ // 終止條件 return 1; else ~ // 遞迴呼叫 } int main() { int n,m; while(cin >> n >> m) { cout << c(n,m) << endl; } return 0; } ``` :::warning [e357: 遞迴函數練習](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=e357) ::: :::warning [c002: 10696 - f91](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c002) ::: ### 2. 步驟 + 分割(divid):將原本的問題分割成多個子問題(規模較小的同類問題)。 + 克服(conquer):當子問題劃分得足夠小時,用相同的演算法遞迴地解決所有的子問題。 + 合併(combine):合併(merge)所有子問題的解答成為原本問題的解答。 ### 3.分治經典問題 + [找出較輕的假幣](https://market73228.pixnet.net/blog/post/11996380) + 二分搜尋 + 快速排序 + 合併排序 + [河內塔](http://www.novelgames.com/zh-HK/tower/) + [逆序數對](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%BA%8F%E5%AF%B9) + [平面最近點對](https://oi-wiki.org/geometry/nearest-points/) + [缺陷棋盤填滿](https://xie.infoq.cn/article/65ba1aaa2135b23eb6180e3ff) :::info EX_4_2:[d219: 00374 - Big Mod](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d219) + [分配律](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E9%99%A4) + (A\*B)%M=[ (A%M)\*(B%M) ]%M→B^P^%M=[ (B^P/2^%M)\*(B^P/2^%M) ]%M + EX:4\*5%3=(4%3)\*(5%3)、5\*8%3=(5%3)\*(8%3)%3 ::: ```c= #include<iostream> using namespace std; int dc(int b,int p,int m) { if(p==0) return 1; else if (p==1) return b; else { ~ // 先算出 b^(p/2)%m,要宣告為long long,Why? if ~ return ~ // p為偶數,( b^(p/2)%m * b^(p/2)%m ) % m else ~ // p為奇數要比偶數時多乘一次b } } int main() { int b,p,m; while(cin >> b >> p >> m) cout << dc(b,p,m) << endl; return 0; } ``` :::info EX_4_3:[d153: 六、智力测验](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d153)(以快速排序實作) + 時間複雜度O(n^2^)的排序法會TLE + [步驟說明](https://www.youtube.com/watch?v=AsQW27DT82I&t=1m1s) ::: ```c= #include <iostream> using namespace std; void quickSort(int a[],int L,int R) { if(L>=R) return; int i=L,j=R; // 最左邊的元素設為「基準點」 while ~ // 將小於「基準點」的元素放在它左邊,大於的放右邊。i==j時停止。 { while ~ // 從右「向左」找『小於』基準點的元素。 a[j]>=「基準點」 且 i<j 時繼續找 j--; while ~ // 從左「向右」找『大於』基準點的元素 ~ // 將 i 向右移 ~ // 以 swap 函式,讓小於「基準點」的放左邊,大於「基準點」的放右邊 } ~ // 「基準點」交換至中間 quickSort(a, L, i-1); // 左半繼續做 quickSort ~ // 右半繼續做 quickSort } int main() { int t,n,a[40005]; cin >> t; while(t--) { cin >> n; for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i]; quickSort(a,0,n-1); cout << a[(n-1)/2] << endl; } return 0; } ``` :::warning [d636: 大爆炸bomb](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d636) ::: :::warning [a227: 三龍杯 -> 河內之塔](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a227) + [解題參考]((http://notepad.yehyeh.net/Content/DS/CH02/4.php)) ::: :::warning [a638: Closest-pair problem](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a638) + [演算法筆記](https://web.ntnu.edu.tw/~algo/Point2.html#3) + 橫跨兩側的最近點對,只要依序窮舉中線左側距離 d 以內的點,作為左端點;再找右側距離 d 以內的點,作為右端點。 ::: <br/> ## 五、樹搜尋(tree search)與回溯(backtracking)演算法 + 許多問題尋找解答的過程可以表示成樹,建構出解答空間樹(solution space tree),因此找解答就轉變成一個樹搜尋問題。 + DFS vs. 回溯(backtracking) - DFS 會遍訪每一個未拜訪過的節點,如果該節點已無可拜訪的節點,就會退回該節點的父節點再遍訪其它分支的節點。 - backtracking 在進行未拜訪節點選擇時,可以先選擇可能會有好結果的分支,或是提早判斷若無解,就不遞迴至下一層,而是回溯退回先前的節點。(偷吃步) + [DFS 遇到拜訪過的節點會馬上回溯,backtracking 遇到不合理的解答會馬上回溯。](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Backtracking.html#1) :::info EX_5_1:[d908: 4. 最佳路徑](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d908) + 深度優先搜尋(depth-first search, DFS)演算法 + [相鄰矩陣表示法(Adjacency Matrix)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Graph.html#3) ::: ```c= #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; int g[26][26],vst[26],mx; void dfs(int now, int sum) { if(sum > mx) mx=sum; for ~ //從此點(now) 往下檢查 26 個字母是否相連 if ~ // 如果 now 有連到 i ,且 i 還沒走過 { ~ // 將 i 設為走過(以 1 表示) ~ // 從 i 繼續往下走,路徑的權重總和要加 now->i 這一段的權重 ~ // 取消 i 設為走過(以 0 表示),讓其它點可以連到 i } } int main() { char s,u,v; int n,w; while(cin >> s >> n) { memset(g,0,sizeof(g)); ~ // 將 vst 陣列歸 0 mx=0; for(int i=0;i<n;i++) { cin >> u >> v >> w; graph[u-'A'][v-'A']=w; // 將相鄰矩陣g[u(轉為數字)][v(轉為數字)]的值設為w,A 轉為 0,B 為 1 …, } ~ // 從 s 開始走,路徑的權重總和為 0 cout << mx << endl; } return 0; } // Q:NA(score:80%)? // A:有些線段會重複,記錄此線段的最大權重。 ``` :::info EX_5_2:[d324: 00750 - 8 Queens Chess Problem](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d324) + backtracking + 一維陣列queen[8],陣列索引為皇后的col,值為皇后的row。 + [皇后衝突的判斷](https://iter01.com/588856.html) + [棋盤](https://www.datagenetics.com/blog/august42012/) ::: ```c= #include <iostream> using namespace std ; int qr,qc,queen[9],cnt; // index為col,值為row void print() { if(queen[qc]==qr) // 符合題目皇后必須放的位子才印出來 { cout << " " << cnt++ << " "; for(int i=1;i<=8;i++) cout << queen[i] <<" "; cout << endl; } } bool attack(int r,int c) { for ~ // 檢查是否衝突到之前已擺放的皇后 if ~ // 在同一列或對角(abs) return true; // 表示衝突到 return false; } void place(int q) // 填第 q 個皇后,即第幾 col { for ~ // 每一列(1~8)都試試看 if ~ // 如果放在 r 列, q 欄的皇后不會衝突之前已擺放的皇后 { ~ // 記錄此皇后的位置 if(q==8) print(); else ~ // 繼續擺下一個皇后 } } int main() { int t; cin >> t; while(t--) { cin >> qr >> qc; cout <<"SOLN COLUMN"<<endl; cout <<" # 1 2 3 4 5 6 7 8"<<endl<<endl; cnt=1; place(1); cout <<endl; } return 0; } ``` :::info EX_5_3:[c812: 1. 觀光景點](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c812) + [相鄰串列表示法(Adjacency Lists)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Graph.html#4) + [整數最大值可用0x3f3f3f3f](https://blog.csdn.net/jiange_zh/article/details/50198097) ::: ```c= #include <iostream> #include <vector> using namespace std; vector< pair<int,int> > g[5005]; bool vst[5005]={0}; int q,ans=0; void dfs(int now,int r) { ~ // 將現在的點(now)設為走過 if(r>=q) ans++; for ~ // 對每個連到 now 的節點(nxt) if ~ // 如果 nxt 沒走過 ~ // 從 nxt 繼續往下走,重新估算路徑的相關性 } int main() { int n,vk,i,j,rij; cin >> n >> vk >> q; for(int a=0;a<n-1;a++) { cin >> i >> j >> rij; g[i].push_back({j,rij}); ~ // 無向圖,i 連到 j , j 也連到 i } dfs(vk,0x3f3f3f3f); cout << ans-1 << endl; // 減掉自己 return 0; } ``` :::warning [d626: 小畫家真好用](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d626) + 全域變數 + 分四個方向做DFS ::: :::warning [a290: 新手訓練系列 ~ 圖論](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a290) ::: :::warning [b967: 第 4 題 血緣關係](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b967) + max_element + [解題參考1](https://yuihuang.com/zj-b967/) (farthest of farthest:以任意點(0)為根,找離它最遠的點(v),再以此點(v)為根,找最大深度) + [解題參考2](https://sites.google.com/site/zsgititit/zi-xun-neng-li-jian-ding/apcs/10503di4ti-xue-yuan-guan-xi) ::: :::warning [f161: 3. 尋寶之旅](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f161) + 在 DFS 過程中,每次走到一個節點,就將該點顏色數量加一。當 DFS 返回父節點時,把該點顏色數減一,以表示回復到沒有走到此點的狀態。 + 在拜訪每個節點時,檢查該點的顏色數量有沒有超過最大值。 + 寶石的顏色號碼不超過10^9^,記錄每一顏色的寶石數用陣列會太大,離散化可以用 [STL map](http://larry850806.github.io/2016/06/06/STL1/#map)。 ::: <br/> ## 六、動態規劃(Dynamic Programming、DP) + [DP概念解說](https://hackmd.io/@3xOSPTI6QMGdj6jgMMe08w/HknO-zmQI/https%3A%2F%2Fhackmd.io%2Fs%2FByfT8JZ9E#Week-9-Dynamic-Programming-%E5%8B%95%E6%85%8B%E8%A6%8F%E5%8A%83) 1. 定義子問題。 2. 找出問題與子問題之間的(遞迴)關係(狀態轉移方程)。 3. 找出子問題的計算順序來避免以遞迴的方式進行計算。 :::info EX_6_1:[TCFSH CIRC Judge d067: P-6-2. 不連續的表演酬勞](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d067) + 每天可以獲得的酬勞放在一維陣列p[]中。 + 子問題定義: dp[i] 是前 i 天可以獲得的最大報酬。 + 狀態轉移方程 - 如果第 i 天不選,前 i 天的獲利就是前 i-1 天的獲利 dp[i]=dp[i-1]。 - 如果第 i 天要選,可以獲利 p[i],但是第 i-1 天就不可以選,因此最大的獲利是 p[i]+dp[i-2]。 - dp[i]=max(dp[i-1], p[i]+dp[i-2]))。 ::: ```c= #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n) { int p[100005],dp[100005]; // dp[i] 記錄到第 i 天的最大報酬 for(int i=0;i<n;i++) cin >> p[i]; dp[0]=p[0]; dp[1]=max(p[0], p[1]); for ~ // 計算2~n天的報酬 ~ // 遞迴關係式 cout << dp[n-1] << endl; } return 0; } ``` :::warning [d038: 00900 - Brick Wall Patterns](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d038) + F(1) = 1,F(2) = 2,F(n) = F(n-1)+F(n-2) ::: :::warning [d054: 11310 - DELIVERY DEBACLE](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d054) + F(0) = 1,F(1) = 1,F(2) = 5,F(n) = F(n-1)+4\*F(n-2)+2\*F(n-3) + [解題參考](http://kos74185foracm.blogspot.kr/2011/06/11310-delivery-debacle.html) ::: :::warning [d378: 最小路徑](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d378) + [解題參考](https://yuihuang.com/zj-d378/) ::: ### 1. 零錢問題 + [Money Changing Problem](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d904) :::info EX_6_2:[d904: 換零錢](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d904) + [整數最大值可用0x3f3f3f3f](https://blog.csdn.net/jiange_zh/article/details/50198097) + memset(a,0x3f,sizeof(a)); 需含入cstring + Q:(1) 子問題定義? (2) 狀態轉移方程? ::: ```c= #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; int main() { int c,n; while(cin >> c >> n ) { int coin[n],dp[c+1]; // dp[]存每種金額,最少的硬幣數量 memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); dp[0]=0; for(int i=0;i<n;i++) cin >> coin[i]; for ~ // 對每一個種硬幣 for ~ // 對每一金額(硬幣幣值以上金額),重新檢查硬幣數是否會改變 if ~ // 如果拿此硬幣會讓此金額的硬幣數量減少 ~ // 更新此金額的硬幣數量 cout << dp[c] << endl; } return 0; } // 19、20行簡化:dp[j]=min(dp[j], dp[j–coins[i]]+1); ``` :::warning [d253: 00674 - Coin Change](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d253) + [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d253-674---coin-change) ::: :::warning [b232: TOI2009 第四題:分房子](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b232) + 將1,3,5,7,9…視為幣值,n間房子視為金額 + f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-5)… ::: ### 2. LCS 最長共同子序列 + [最長共同子序列(LCS)_1](https://yuihuang.com/dp-lcs/) + [最長共同子序列(LCS)_2](https://hackmd.io/@3xOSPTI6QMGdj6jgMMe08w/ByfT8JZ9E?type=view#Longest-Common-Subsequence-LCS) + [步驟說明](https://www.youtube.com/watch?v=uX-PJiNVHrs&t=17m33s) :::info EX_6_3:[c001: 10405 - Longest Common Subsequence](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=c001) + X陣列的index由0開始,長度i的元素為X[i-1]。 + LCS(0,j)=0 ,LCS(i,0)=0 $$ LCS(i,j)= \begin{cases} LCS(i-1,j-1)+1, if X[i]==Y[j] \\[2ex] MAX(LCS(i-1,j), LCS(I,j-1)), otherwise \end{cases} $$ ::: ```c= #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; int dp[1005][1005]; int main() { string s1,s2; while (cin >> s1 >> s2) { memset(dp,0,sizeof(dp)); for ~ // s1 的所有元素 for ~ // s2 的所有元素 if ~ // s1,s2 最後一個元素相同 ~ else // s1,s2 最後一個元素不同 ~ cout << dp[s1.size()][s2.size()] <<endl ; } return 0; } ``` :::warning [a133: 10066 - The Twin Towers](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a133) + [解題參考](http://par.cse.nsysu.edu.tw/~advprog/advprog2013/tip/10066.ppt) ::: :::warning [a252: Another LCS](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=a252) ::: ### 3. [0-1背包問題](https://yuihuang.com/0-1-knapsack/) + 相對於分數背包問題,在選擇物品時,要麼完整地選擇,要麼不選擇,不可以只拿物品的一部份(物品不可分割)。 + 有 N 個物品,每個物品有重量 W 跟價值 V,背包最大負重 MAX,求在物品不可以分割不重複的情況下,背包可以裝的最大價值為何? - [圖示](https://labuladong.gitee.io/algo/3/26/75/) - 如果用窮舉法,N 個物品,每個物品可以選擇拿或不拿,會有 2^N^ 種可能性要考慮,例如 N=20 時,有1048576種排列組合。 + 題目分析 - 如果背包重量 MAX 小一點,或是物品少一些,也許比較容易看出,所以建立一個 dp[N+1][MAX+1] 的陣列來做動態規劃(初值為 0)。 - dp[i][j]表示只考慮拿前 i 個物品,放入最大負重為 j 的背包時,可以得到的最大價值。 - 狀態轉移方程 * 假設第 i 項物品的重量是 w[i],而價值是 v[i]。 * 如果 w[i]>j (根本不可能挑選) 或選擇不拿, dp[i][j]=dp[i-1][j]。 * 如果拿第 i 項物品,背包重量剩 j-w[i] (可以從i-1項挑選),dp[i][j]=v[i] + dp[i-1][j-w[i]] * $$ \begin{cases} dp(0,j)=0 \\[2ex] dp(i,j)=max(\ dp(i-1,j),\ dp(i-1,j-w[i]) + v[i]\ ) \end{cases} $$ * 亦即在負重 j 時,第 i 個物品不拿時的價值,與拿了第 i 個物品時的價值(背包剩下的負重為j-w[i],此時的最大價值+v[i]),哪一個較好。 - [步驟說明](https://riptutorial.com/zh-TW/dynamic-programming/example/25787/0-1%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%95%8F%E9%A1%8C) :::info EX_6_4:[d637: 路過的鴨duck](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d637) + [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/d637-duck) ::: ```c= #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; #define N 10000 // 飼料數(物品數量) #define M 100 // 胃容量(背包重量) int dp[N+1][M+1],c[N],v[N],n; // c[i]表飼料的體積,v[i]表飼料的飽足感(價值) int main() { while(cin >> n) { memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) cin >> c[i] >> v[i]; for ~ // 考慮每一顆飼料要不要吃 for ~ // 考慮每一個胃容量的飽足感(價值) if ~ // 如果第 i 顆飼料太大超過此胃容量(背包容量),則不能吃這顆 ~ // 此胃容量的飽足感(價值)同不吃 i、此容量(j)時的飽足感(價值) else ~ // 第 i 顆飼料可以吃下,則此胃容量的飽足感(價值)為max(不吃 i、此容量(j)的飽足感 , 吃 i 的飽足感+胃容量扣除 i 時的飽足感) cout << dp[n][M] << endl; } return 0; } ``` :::info EX_6_5:[b184: 5. 裝貨櫃問題](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b184) + [空間優化](https://hackmd.io/@3xOSPTI6QMGdj6jgMMe08w/ByfT8JZ9E?type=view#01-%E8%83%8C%E5%8C%85%E5%95%8F%E9%A1%8C) + dp(j)為背包重量為j時的最大價值。 對第 i 個物品,考慮不拿或拿,狀態轉移方程為 dp(j)=max( dp(j), dp(j−w[i])+v[i] ) j必須為從大到小,否則可能會造成重複拿物品。 ::: ```c= #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; while (cin >> n) { int dp[101]={0},w[101],v[101]; for(int i=1;i<=n;i++) cin >> w[i] >> v[i]; for ~ // 考慮每一貨物要不要拿 for ~ // 對這個貨物,從體積 100 往前檢查 ~ // 裝這個貨物的價值比較大,dp[j]就設定成新的(較大的)價值 cout << dp[100] << endl; } return 0; } ``` :::warning [b140: NOIP2005 3.採藥](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b140) ::: :::warning [b131: NOIP2006 2.开心的金明](http://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=b131) + [解題參考](https://sites.google.com/a/mail.hpsh.tp.edu.tw/pc/jiao-cai/b131-noip2006-2) ::: ### 4. LIS 最長遞增子序列 + [最長遞增子序列(LIS)](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/Subsequence.html) + 若dp[i]表示以s[i]為結尾的最長遞增子序列長度(s[0]~s[i]的LIS長度),則狀態轉移方程為dp[i]=max{dp[j]+1:0<=j<i 且 s[j]<s[i]}。 :::info EX_6_6:[TCFSH CIRC Judge d078: P-6-15. 一覽衆山小](https://judge.tcirc.tw/ShowProblem?problemid=d078) + [常用C++ algorithm:lower_bound & upper_bound](https://yuihuang.com/cpp-algorithm-lower-bound-upper-bound/) + [STL max_element](https://shengyu7697.github.io/std-max_element/) ::: ```c= // O(n^2),NA(score:40%) #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n) { vector<int> s(n); // 戰力值 ~ // 宣告一個vector dp,dp[i]表示以s[i]為结尾的最長遞增子序列長度(s[0]~s[i]的LIS長度)。初始化為1(每一個數字本身就是長度為一的 LIS) ~ // 輸入戰力值 for ~ // 找出 s[i] 能接在哪些數字後面 for ~ // 檢查 j=0~i-1 if ~ // 如果 s[i]>s[j],表示 s[i] 能接在 s[j] 後面 ~ // dp[j]+1 若大於 dp[i],更新為新長度 ~ // dp[]之中最大的值即為 LIS 的長度 } return 0; } ``` + 陣列 last[L] 記錄 LIS 長度為 L 的最後一個元素(選值最小的,讓後續數字有機會發展出更長的 LIS) + last 陣列的元素是單調遞增的。 + [範例](https://yuihuang.com/dp-lis/) ```c= // O(nlog(n)) #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n,s; while(cin >> n) { vector<int> last; for(int i=0;i<n;i++) { cin >> s; ~ // 在目前 last 陣列中找 >=s 的最小值,以 s 覆蓋此元素可能產生更長的 LIS if ~ // 如果找不到 ~ // 將 s 放在 last 最後 else // 如果找的到 ~ // 取代這個值 } cout << last.size() << endl; } return 0; } ``` :::info EX_6_7:[f608: 4. 飛黃騰達](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=f608) + 將點依 x 座標排序後,對 y 座標求LIS。 + 排序時 x 相等則比較 y,可以用 pair 來記錄點,預設即會這樣比較。 ::: ```c= #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n) { ~ // 宣告存pair的vector vector<int> lis; // 存 y 座標的 lis ~ // 讀入果實座標 ~ ~ // 先根據 x 座標排序(小->大),如果 x 座標一樣,再根據 y 座標排序 for ~ // 對每個座標 if ~ // 如果 lis 是空的,或此點 >= lis 的最後一個元素 ~ // 將此點 y 座標放在 lis 最後 else ~ // 在目前 lis 陣列中找 > 此點 y 座標的最小值,以此點 y 座標覆蓋此元素可能產生更長的 LIS cout << lis.size() << endl; } return 0; } ``` :::warning [d242: 00481 - What Goes Up](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d242) + [解題參考](https://yuihuang.com/zj-d242/) + [需多一個 position 陣列](http://web.ntnu.edu.tw/~algo/LongestIncreasingSubsequence.html#3) ::: :::warning [d052: 11456 - Trainsorting](https://zerojudge.tw/ShowProblem?problemid=d052) + [由於火車可以選擇接在前方或後方,所以將原本的數列前接上顛倒的數列](https://yuihuang.com/zj-d052/),再找 LIS。 :::