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title: ガロアの夢 第19週 E

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$\dfrac{d^{2}w}{dz^{2}} + \left\{ \dfrac{1}{3z} + \dfrac{1}{6(z-1)} \right\} \dfrac{dw}{dz} + \left\{ -\dfrac{1}{3z^{2}} - \dfrac{1}{6(z-1)^{2}} + \dfrac{1}{2z(z-1)} \right\}w = 0$
の解として、
$w_{1}(z) = z^{-1/3} (z-1)^{-1/6} \left(z-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{3} z^{-1/3} (z-1)^{-1/6} (3z - 2)$
があることを、実際に代入して確認する。

<hr>

$B=\left\{ \dfrac{1}{3z} + \dfrac{1}{6(z-1)} \right\} \dfrac{dw_{1}}{dz},$
$C=\left\{ -\dfrac{1}{3z^{2}} - \dfrac{1}{6(z-1)^{2}} + \dfrac{1}{2z(z-1)} \right\}w_{1}$
という名前をつけておく。


まず、

$\dfrac{1}{3z} + \dfrac{1}{6(z-1)} = \dfrac{3z-2}{6z(z-1)},$

$-\dfrac{1}{3z^{2}} - \dfrac{1}{6(z-1)^{2}} + \dfrac{1}{2z(z-1)} = \dfrac{z-2}{6z^{2}(z-1)^{2}}$

である。

また、

$\begin{align}
\dfrac{dw_{1}}{dz} &= \dfrac{1}{3} \left\{
-\dfrac{1}{3}z^{-4/3} (z-1)^{-1/6} (3z-2) + z^{-1/3}\left(-\dfrac{1}{6}\right) (z-1)^{-7/6} (3z-2) + z^{-1/3}(z-1)^{-1/6} \cdot 3 \right\} \\
&= \dfrac{1}{3z^{4/3}(z-1)^{7/6}} \left\{ -\dfrac{1}{3}(z-1)(3z-2) - \dfrac{1}{6}z(3z-2) + 3z(z-1) \right\} \\
&= \dfrac{1}{18z^{4/3}(z-1)^{7/6}} \{ -2(z-1)(3z-2) - z(3z-2) + 18z(z-1) \} \\
&= \dfrac{9z^{2} - 6z - 4}{18z^{4/3}(z-1)^{7/6}},
\end{align}$

$\begin{align}
\dfrac{d^{2}w_{1}}{dz^{2}} &= \dfrac{(18z - 6) \left\{ 18z^{4/3}(z-1)^{7/6} \right\} - (9z^{2} - 6z - 4) \left\{ 18 \cdot \dfrac{4}{3} z^{1/3}(z-1)^{7/6} + 18z^{4/3} \cdot \dfrac{7}{6} (z-1)^{1/6} \right\} }{324 z^{8/3} (z-1)^{14/6}} \\
\\
&= \dfrac{18 \cdot 6 (3z-1) z^{4/3} (z-1)^{7/6} - 3(9z^{2} - 6z - 4) \left\{ 8z^{1/3}(z-1)^{7/6} + 7z^{4/3}(z-1)^{1/6} \right\}}{324z^{8/3}(z-1)^{14/6}} \\
\\
&= \dfrac{3z^{1/3}(z-1)^{1/6} \left[ 36(3z-1)z(z-1) - (9z^{2} -6z - 4)\left\{ 8(z-1) + 7z \right\} \right]}{324z^{8/3}(z-1)^{14/6}} \\
\\
&= \dfrac{-27z^{3} + 18z^{2} + 48z - 32}{108z^{7/3}(z-1)^{13/6}}
\end{align}$
である。

よって
$\begin{align}
B &= \dfrac{3z-2}{6z(z-1)} \cdot \dfrac{9z^{2} - 6z - 4}{18z^{4/3}(z-1)^{7/6}} \\
\\
&= \dfrac{27z^{3} - 36z^{2} + 8}{108z^{7/3}(z-1)^{13/6}},
\end{align}$

$\begin{align}
C &= \dfrac{z-2}{6z^{2}(z-1)^{2}} \cdot \dfrac{3z-2}{3z^{1/3}(z-1)^{1/6}} \\
\\
&= \dfrac{3z^{2} - 8z + 4}{18z^{7/3}(z-1)^{13/6}} \\
\\
&= \dfrac{18z^{2} - 48z + 24}{108z^{7/3}(z-1)^{13/6}}
\end{align}$

であり、

$\begin{align}
\dfrac{d^{2}w_{1}}{dz^{2}} + B + C &= 0.\\
\end{align}$