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# System prepended metadata

title: 進位制

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# 進位制

## 一種記數方式
用**有限種數字符號**來表示所有數值

# n進位制
一種進位制中可以使用的數字符號數目稱為此種進位制的**基數**或**底數**
基數為n的進位制則稱為**n進位制**或簡稱**n進位**
> 最常使用的十進位 就是以10個阿拉伯數字(0-9)進行記數

# 換算
同一個數可以用不同的進位制來表示
$2039_{10}$
$=2\times10^3+0\times10^2+3\times10^1+9\times10^0$
$=7F7_{16}$
$=7\times16^2+15\times16^1+7\times16^0$
> 16進制中A代表10,B代表11，C代表12,D代表13,E代表14,F代表15

$=11111110111_2$
$=1\times2^{10}+1\times2^9+1\times2^8+1\times2^7+1\times2^6+1\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+1\times2^2+1\times2^1+1\times2^0$

# 常見進位制
### 十進位
底數：10
使用十位數字(0-9)
最常見的進位制系統，用於大多數計數器

### 二進位
底數：2
使用0, 1
常用於電子計算機內部，0表示關，1表示開
在計算機 (電腦) 硬體中，指令是以一連串『高』與『低』的電子訊號來保持
當電壓足夠，就呈現『ON』; 電壓不足，則呈現『OFF』，其亦能以數字表示之。

### 八進位
底數：8
使用八位數字(0-7)

### 十六進位
底數：16
使用十位數字(0-9)和A-F

八進位制和十六進位制系統通常用於電腦領域
它們可方便當作二進位制的簡寫
十六進位制數位對應於四位二進位制數位的序列
> 二進位 $1111000_2$ 是十六進位制 $78_{16}$

八進位制數位對應於三位二進位制數位的序列
> 二進位 $1111000_2$ 是八進位制 $170_8$

### 五進位
底數：5
正字記號

### 十二進位
底數：12
使用十位數字(0-9)和A, B

### 六十進位
底數：60
多用於表達時間、角度等
如 「一小時為 60 分鐘，一分鐘為 60秒」
又稱為 base 60

### 二十進位
底數：20
使用十位數字(0-9)和A-J

## 怎麼換
### 其他進位制轉10進制
#### 指系數
$101.11_2$
$= 1\times2^2 + 0\times2^1 + 1\times2^0 + 1\times2^{-1} + 1\times2^{-2}$
$=5.75_{10}$
### 10進制轉其他進位制
#### 整數--除法餘數
$87 / 2 = 43 ... 1 ↑ => 1010111_2$
$43 / 2 = 21 ... 1 ↑$
$21 / 2 = 10 ... 1 ↑$
$10 / 2 = 5 ... 0 ↑$
$5 / 2 = 2 ... 1 ↑$
$2 / 2 = 1 ... 0 ↑$
$1 / 2 = 0 ... 1 ↑$
#### 小數--乘法
![](https://i.imgur.com/PMQpLQB.png =300x)
![](https://i.imgur.com/ZLxfPZL.png =400x)
### 2, 8, 16之間轉換
#### 分段查表
![](https://i.imgur.com/QcbKy7t.png =500x)


#### 2轉8
![](https://i.imgur.com/GgvESIn.png =400x)

#### 2轉16
![](https://i.imgur.com/7MYlNcc.png =400x)

#### 16轉2
![](https://i.imgur.com/fd1RrAn.png =400x)
