# Экзаменационные программы

###### tags: `mathbio`

# Программа курса 2022

1. Виды динамических моделей. ОДУ, дискретные модели, неавтономные модели, модели с запаздыванием, УрЧП. Примеры знаменитых динамических моделей. Численные методы решения ОДУ. Явная и неявная схемы.
2. Работа с ОДУ в python. Связка numpy/scipy/matplotlib. Интегрированные в python методы численного интегрирования уравнений: odeint и solve_ivp. Построение фазовых портретов, кинетик. Изображение векторного поля с помощью quiver. Создание видео на базе решения динамической модели.
3. Анализ одномерной модели. Стационарные точки и их устойчивость. Потеря устойчивости положения равновесия в одномерной модели. Фазо-параметрическая диаграмма. Бифуркация складки. Катастрофа.
4. Анализ дискретной одномерной модели. Неподвижная точка и ее устойчивость. Потеря устойчивости в колебательном и неколебательном режимах. Диаграма Ламерея.
5. Построение популяционных моделей. Модель с нижней критической границей. Модель с нижней и верхней границами.
6. Примеры многомерных моделей. Двух- и трехмерные популяционные модели типа Лоттки-Вольтерра. Мультистационарные системы типа триггера Жакоба-Моно, конкуренции видов, модели вспышки численности насекомых.
8. Типы стационарных точек двухмерных моделей. Анализ устойчивости многомерной стационарной точки в линейном приближении (матрица Якоби, собственные числа). Бифуркационная диаграмма (прямая центров, парабола разделяющая узлы/фокусы). Седлоузловая бифуркация и бифуркация Андронова-Хопфа.
9. Анализ устойчивости стационарных точек модели с использованием символьных вычислений (`sympy`). Комбинирование численных и символьных вычислений при построении фазо-параметрических диаграм. Расчет собственных векторов для построения сепаратрисс.
10. Колебания в системе ОДУ. Бифуркация АХ - жесткая и мягкая потеря устойчивости. Функция последования (отображение Пуанкаре). Примеры колебательных систем.
11. Математическое моделирование процессов биологии развития. "Французский флаг". Градиенты морфогенов. Разметка синцитиальной бластулы дрозофилы. Неустойчивость Тьюринга и ее приложения. Модель Гирера-Мейнхардта.

# Программа курса 2021

1. Виды динамических моделей. ОДУ, дискретные модели, неавтономные модели, модели с запаздыванием, УрЧП. Примеры знаменитых динамических моделей. Численные методы решения ОДУ. Явная и неявная схемы.
2. Работа с ОДУ в python. Связка numpy/scipy/matplotlib. Интегрированные в python методы численного интегрирования уравнений: odeint и solve_ivp. Построение фазовых портретов, кинетик. Изображение векторного поля с помощью quiver. Создание видео на базе решения динамической модели.
3. Анализ одномерной модели. Стационарные точки и их устойчивость. Потеря устойчивости положения равновесия в одномерной модели. Фазо-параметрическая диаграмма. Бифуркация складки. Катастрофа.
4. Анализ дискретной одномерной модели. Неподвижная точка и ее устойчивость. Потеря устойчивости в колебательном и неколебательном режимах. Диаграма Ламерея.
5. Построение популяционных моделей. Модель с нижней критической границей. Модель с нижней и верхней границами.
6. Примеры многомерных моделей. Двух- и трехмерные популяционные модели типа Лоттки-Вольтерра. Мультистационарные системы типа триггера Жакоба-Моно, конкуренции видов, модели вспышки численности насекомых.
8. Типы стационарных точек двухмерных моделей. Анализ устойчивости многомерной стационарной точки в линейном приближении (матрица Якоби, собственные числа). Бифуркационная диаграмма (прямая центров, парабола разделяющая узлы/фокусы). Седлоузловая бифуркация и бифуркация Андронова-Хопфа.
9. Колебания в системе ОДУ. Бифуркация АХ - жесткая и мягкая потеря устойчивости. Функция последования (отображение Пуанкаре). Примеры колебательных систем.
10. Построение моделей химической кинетики на примере модели Квана. Диссипативная система. Мягкая потеря устойчивости с образованием предельного цикла.
11. Хаос в простейших дискретных системах. Самоподобие бифуркационной диаграммы. Константа Фейгенбаума.
12. Хаос в непрерывных системах. Странный аттрактор, его геометрические особенности. Эргодичность странного аттрактора (сохранение статистик на почти всех достаточно длинных траекториях).