# 機率與統計 - Ch4 : Mathematical Expectation
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## 一 . 期望值
### (一) . 單變量期望值
1. 期望值的定義 ： <span class="red">$E(x)=\sum X*w(i)$</span>，每個事件乘以其加權。
- $X$ :為單變量的隨機變數。
- $w(i)$ : 隨機變數所對應的機率，即機率函數或機率密度函數。
2. 期望值公式 ：
- 離散下 ： $E(x)=\sum X*f(X)$。$f(x)$為機率函數。
- 加權平均 ： 隨機變數$(x)$*其發生的機率$f(x)$。
- 連續下 ： $E(x)=\int_{-∞}^{∞} X*f(X)dx$。$f(x)$為機率密度函數。
- 加權平均 ： 隨機變數$(x)$*其發生的機率$(f(x)dx)$。
- 因為連續分佈的機率，其機率值為圖下面積。

3. $E(x)$ 的 $operator$ ： 可以將$E(x)$視為一個運算子，或線性隨機的伸縮平移。
- 離散下 ： $E(g(x))=\sum g(x)*f(x)$，$f(x)$為機率函數。
- 連續下 ： $E(g(x))=\int_{-∞}^{∞} g(x)*f(x)$，$f(x)$為機率密度函數。
- 注意 ： $g(x)$隨機變數視為隨機變數一次的mapping變換，影響其值，但不會影響其對應的機率。

### (二) . 多變量期望值
1. 多變量期望值公式 ：
- 離散下 ： $E(g(x,y))=\sum_{X}\sum_{Y}g(x,y)*f(x,y)$。
- 連續下 ： $E(g(x,y))=\int_{-∞}^{∞}\int_{-∞}^{∞}g(x,y)*f(x,y)dxdy$

2. 邊界分佈時的多變量期望值 ： 對多變量量數$x$和$y$。
- 離散下 ： 對X的邊界分佈期望值$E(x)$和Y的邊界分佈期望值$E(y)$。
- $E(x)=\sum_{X}\sum_{Y}(x*f(x,y))$。
- $E(x)=\sum_{y}\sum_{x}(y*f(x,y))$。
- 連續下 ： 對X的邊界分佈期望值$E(x)$和Y的邊界分佈期望值$E(y)$。
## 二 . 變異數和標準差
### (一) . 單變量的變異數和標準差
1. 變異數的定義 ： $σ^2=E [(x(i)-E(x))]^2$，離均差的期望值。
- 先前概念 ： 已知 $f(x)隨機變數$ 下，$E(x)$ 為constant。
- $Point 1 :$ 首先，我們複習一下$f(x)$的概念，將**所有**的sample point映射到一個數值集合的關係。
- $Point 2 :$ 所以，**確定了$f(x)$，代表母體確定，也代表其母體的平均數為定值**。
- $Point 3 :$ 只是我們沒有辦法算出母體的平均值，只可以用樣本的平均值假設為母體平均。
2. 變異數公式 ： $u$為平均數。
- 離散下 ： $σ^2 = E ((x-u)^2)=\sum(x-u)^2*f(x)$
- 連續下 ： $σ^2 = E ((x-u)^2)=\int_{-∞}^{∞}(x-u)^2*f(x)dx$
- 公式變化 ： $σ^2 = E(x^2)-u^2$。
3. 隨機變數的變化 ：
- $σ(g(x))^2=E(g(x)-u(g(x)))^2$
4. 都要注意 ： **隨機變數的變化，但$f(x)$都不會變化**。
## 三 . 線性組成下的變異數、平均數
### (一) . 平均數
1. 公式一 ： $E(aX+b)=a*E(X)+b$。
- 平均數會因伸縮平移所影響。
3. 公式二 ： $E(g(x)±h(x))=E(g(x))±E(h(x))$。
- 多變量變數的平均數，直接相加。
5. 公式三 ： X,Y事件獨立之下，$E(X*Y)=E(X)*E(Y)$。

### (二) . 變異數
1. 公式： $σ^2(aX+bY+c)=a^2*σ(X)^2+b^2*σ(Y)^2+2ab*σ(XY)$。
2. 公式一 ： $σ^2(aX+b)=a^2*σ(X)$。
- 變異數只受到伸縮所影響。
4. 公式二 ： $σ^2(X+Y)=σ^2(X)+σ^2(Y)$。
- 多變量的變異數，直接相加。

## 四 . 柴爾雪夫定理