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title: 數系 ： Chapter 2
tags: [Digital system]

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# 數系 ： Chapter 2
###### tags: `Digital system`
## 一 . 代數
### (一) . 代數性質
1. 封閉性 ：  Closure。
   - $x*y=S , S也是x,y$。
2. 結合律 ：  Associate Law。
   - $(x*y)*z=x*(y*z)$。
3. 交換律 ： Commutative law 。
   - $x*y = y*x$。
4. 單位元素 ： Identity element。
   - $e*x=x*e =x, x + 0 = x$。
5. 反元素 ： Inverse。
   - $a + ( -a ) = 0$。
6. 分配律 ： Distributive law。
   - $x*(y + z) = (x*y) + (x*z)$。

### (二) . 布林代數 
1. 滿足的代數性質 ： 
   - 封閉性、結合律、交換率、單位元素、分配率。
2. 布林代數的運算子 ： 
   - And : 且。
   - Or : 或。
   - Not ：否。
   - 優先序 ： **() -> 『 ’ 』 ->  『 * 』 ->  『 + 』** 
3. True Table : 運算結果的真假值相對。

## 二 . 邏輯閘
### (一) . 電路邏輯
![](https://i.imgur.com/v9SsPDy.png)
![](https://i.imgur.com/V4OwM9G.png)


### (二) . 電壓表示
1. 分成高電壓和低電壓。
2. 可能高代表1，低代表0。
3. 也可能高代表0，低代表1。
### (三) . 電路表達
1. 真值表 。 
2. 電路圖 。
3. 布林函式表示。

## 三 . 布林函式
### (一) . Minterm Maxterm
1. Minterm : 此變數之間用『且』連接的運算式為真，表示代數組合。
```
Minterm : x'*y*z  = (0)'*1*1 = 1 --->  x=0, y=1. z=1的組合
```
2. Maxterm : Minterm取Not的結果，表示代數組合的唯一式。

### (二) . Canonical 、 Sum of Minterm、 Product of Maxterm
1. Canonical form : 有n個input的電路，我們用每項有n個的布林代數組合表示。
2. Sum of Minterm : 用電路真值表中，為真的組合的Minterm相加為電路的意義。
   - 表示 ：在這些的組合下，此電路為真。
   - 例 ： $f(1)$在 m1 **或** m4 **或** m7下為真。
    ![](https://i.imgur.com/PQiNV1y.png)

2. Product of Maxterm : 用電路真值表中，為假的組合的Maxterm相乘為電路的意義。
   - 表示 ：在這些的組合下，此電路為假。
   - 例 ： 先表示$f(1)’$在 m0 **或** m2 **或** m3 **或** m5 **或** m7下為假。
   - 例 ： 在對 $f(1)’=m0+m2+m3+m5+m7$取Not，即可以得到Product of Maxterm。
   ![](https://i.imgur.com/dCdDCBS.png)

## 四 . IC硬體電路
### (一) . 基本名詞
1. Gate : 邏輯閘。
2. Circuit : 多個邏輯閘組成的電路板。
3. PCB : 印刷電路板，多個IC晶片的組成。
    - 可能有多層，可以供多個IC在同地方的上下層分離進行溝通。

### (二) . IC 
1. 定義 ： 由半導體組成的電路，又稱Clip。
2. 大小分類 ： 
   - SSL : Small-scale Integration devices，小型積體電路。
   - MSL : Medium-scale Integration devices，中型積體電路。
   - LSL : Large-scale Integration devices ，大型積體電路。
   - VLSL : VLSI - Very Large-scale integration，超大型積體電路。
2. 邏輯family : 不同廠商的電路設計的方法不同，同樣的in、out，但內部的構造不一樣。
3. TTL : Transistor-transistor logic (standard)
    - 便宜。
    - 但不能放過多的邏輯閘。
5. CMOS : complementary metal-oxide semiconductor 
    - 較貴。
    - 可以放大量的邏輯閘。
    - 主要使用。

### (三) . 晶片設計
![](https://i.imgur.com/GSVzO6g.png)
1. 光照 ： 放大，拍照晶片的組成，非常貴的處理。

### (四) . 邏輯設計的專有名詞
1. Fan-out : 可以保持正常作用的輸出數。
   - ex : fan-out為3，可以最多接出三個輸出。
   - 正常的至少fan-out為3。
![](https://i.imgur.com/1NvIOsf.png)
2. fan-in : 可以保持正常作用的輸入數。
3. Power dissipation (power consumption) : 功率消耗。
   -  cooling system : 冷卻的系統。
4. Propagation delay : 輸出到輸入所需要的正確時間。
   - 一個電路的Propagation delay為Propagation delay最大的元件組成。
5. Noise margin  : 高低壓標準可以容忍的範圍。
![](https://i.imgur.com/Tsm22aN.png)

6. 軟體輔助語言 ：
   - EDA :  (electronic design automation) is used specially for IC design，將HDL直接轉成邏輯閘。
   - HDL (Hardware Description Language) ： 硬體設計語言。 
7. 實體IC分類 ： 
   - ASIC – application-specific integrated circuit : 有指定功能的IC晶片，通常經過光照製成。
     - 固定用途，大量的需求，世界工廠的大量需求。 
   - FPGA – Field-programmable gate array : 已經做好了部分的cell，只是將電路燒上去，可以燒多次。
     - 用途多變，用於經常需要變動的，如實驗、測試、導彈晶片。 
   - CPLD – Complex programmable logic device : 



