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title: 統計與機率簡介
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###### tags: `Probability`

# 統計與機率簡介

## 1.4 抽樣空間與事件
### 樣本空間
> 統計實驗中所有可能結果的集合稱為**樣本空間(sample space)**，並以符號*S*表示

- 在一個樣本空間中的每一個結果稱為**元素(element) = 成員(member) = 樣本點(sample point)**
- ex. 當擲一枚硬幣時，可能結果的樣本空間*S*可以寫作 $S = \{H, T\}$， 其中H與T分別表示正面與反面。

:::info
**Ex1.4**
考慮投擲一顆骰子的實驗。如果我們對於在頂面所顯示的數字感興趣，則樣本空間是 
$$
S_1 = \{1,2,3,4,5,6\}
$$
如果只對數字為偶數或奇數感興趣，則樣本空間就單純為
$$
S_2 = \{偶數,奇數\}
$$
:::

- 在一些實驗中，藉由 **樹狀圖(tree diagram)** 的方式有系統地列出樣本空間的元素是有幫助的。
- 具有很大量或無線多個樣本點的樣本空間，最好使用 **陳述(statement)** 或 **規則方法(rule method)** 來描述。

### 事件
> **事件(event)** 是樣本空間的一個子集合。

- 補集(complement)
    > 與 $S$ 有關之事件 $A$ 的補集，是沒有在 $A$ 中之 $S$ 全部元素的子集合。
    > 我們將 $A$ 的補集表示為符號 $A'$。

- 交集(intersection)
    > 兩個事件 $A$ 和 $B$ 的交集，表示為符號 $A \cap B$，是包含所有 $A$ 和 $B$ 共同元素的事件。

- 互斥(mutually exclusive) or 不相交(disjoint)
    > 如果 $A \cap B = \emptyset$，亦即如果 $A$ 和 $B$ 沒有共同的元素，則兩個事件 $A$ 和 $B$ 為互斥或不相交。

- 聯集(union)
    > 兩個事件 $A$ 和 $B$ 的聯集，表示為符號 $A \cup B$，是包含屬於 $A$ 或 $B$ 或兩者之全部元素的事件。

## 1.5 計數樣本點

### 排列(Permutation)
> 排列是一組物件的全部或部分的安排方式。

- **定理 1.1:**
    $n$ 個物件的排列數是 $n!$
    
- **定理 1.2:**
    當從 $n$ 個不同的物件中一次取出 $r$ 個時，排列數為 $P^n_r = \cfrac{n!}{(n-r)!}$
    
- **定理 1.3:**
    安排 $n$ 個物件成為一個圓圈的排列數是 $(n - 1)!$
    
- **定理 1.4:**
    當 $n$ 東西中的 $n_1$ 個為一個種類、$n_2$ 個為第二個種類、...、$n_k$ 個為第k個種類時，這 $n$ 個東西的不同排列數為 $\cfrac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$
    
- **定理 1.5:**
    將 $n$ 個物件的集合分割為 $r$ 個格，其中第一個格中有 $n_1$ 個元素、 第二個格中有 $n_2$ 個元素，以此類推，則分割方式的數目為 $\begin{pmatrix}n\\n_1\ n_2\ ...\ n_r \\\end{pmatrix} = \cfrac{n!}{n_1!n_2!...n_r!}$，其中 $n_1 + n_2 + ... + n_r = n$

### 組合(Combination)

- **定理 1.6:**
    從 $n$ 個不同的物件中一次取出 $r$ 個的組合數是 $C^n_r = \cfrac{n!}{r!(n-r)!}$

## 1.6 事件的機率