# Projective Geometry
## 1 Introduction
我們先從文藝復興時期射影幾何起源的例子開始。當一位畫家想要將一個真實場景繪製到畫布上時，他面臨的問題是將場景中的平面（例如房間的地板）投影到畫布上。用數學術語來說，這可以重新表述如下：
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考慮在 R3 中，從一個點 P 射影一個平面 E 到另一個平面 E' (點 P 不在這兩個平面上)，所以在平面 E 上的點 A 是線 PA 和 E' 的交點。每一個在 E 上的點都有一個在 E' 上的成像，除了在 E 上的消失線(vanishing line) l 的點，它是 E 與通過 P 且與 E' 平行的平面的交點。 反之，每一個在 E' 上的點都有一個在 E 上的原像(preimage)，除了在 E' 上的消失線 l' 的點，它是 E' 與通過 P 平行於 E 的平面的交點，如圖2.1。所以投影不是雙射(bijective)的。

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圖 2.1: 在三維空間中，兩個平面之間的中心投影。
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投影將線映射到線。 E 中的一組平行線對應到 E' 中的一組線，這些線在消失線上的一點相交。
想法：除了 E 的普通點之外，引入與 E' 消失線上的點對應的新點。同樣地，引入 E' 的新點，它們是 E 消失線的像。這些新點稱為無窮遠點(point at infinity)，擴展的平面稱為射影平面(projective plane，即 E' )。射影變成射影平面之間的雙射。 E 中的平行線相交於無窮遠點。 E 的無窮遠點形成一條線，稱為無窮遠線(line at infinity)，它對應於 E' 的消失線。
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補充圖。可以把O點視為人的眼睛，平行線當成火車鐵軌。這就是為什麼人往鐵軌遠處看，鐵軌會匯聚成一點的原因
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## :small_orange_diamond:繪製鋪有方形磁磚的地板
假設你已經畫好了第一塊磁磚。 （我們不想詳細討論如何建造第一塊瓷磚的圖像，儘管這很有趣，也不難。）下圖展示如何構造其他磁磚：第一個正方形的兩組對邊平行，這兩組平行線的交點即為視平線。但是，正方形鋪砌圖案也會形成兩條新的平行線—對角線。由於正方形的對角線也相互平行，因此它們必然交於一點，而且這個交點也必須位於水平線上。因此，我們可以根據初始的正方形，依序構造相鄰正方形的對角線，從而確定相鄰正方形的位置。

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<center>圖 2.2: 正方形地磚圖案中的三組平行線，每兩條線都交會於地平線上的一個特定點。</center>
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## :small_orange_diamond:射影幾何
射影幾何研究的是圖形在投影變換下保持不變的性質。射影幾何中的一個經典定理就是帕普斯定理(Pappus's theorem)。它研究的是點、直線、點與直線之間的位置關係。
我們將會看到，曲線是否為圓錐曲線是其投影幾何性質，但區分圓、橢圓、拋物線和雙曲線則不是投影幾何性質，如圖2.3所示。
這裡，閃光燈的圓形光孔被點光源投射到牆面上的雙曲線路徑上。
此外，普通點和無窮遠點之間的區別也不是射影幾何的固有屬性，因為我們已經看到，射影變換可以將普通點映射到無窮遠點，反之亦然。因此，從射影幾何的角度來看，射影平面上的無窮遠點與其他普通點並無區別，而無窮遠線也與其他直線沒有任何不同。


<center>圖 2.3: 這張照片展示的是將圓形投影到雙曲線上的效果。
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## :small_orange_diamond:公設(Axiom)
現在，我們已經大致的了解射影平面在實際生活中的例子了，我們來看一下它的公設
:::success
射影平面的公設
1. 至少有一線
2. 每一線上至少含有三個點
3. 並不是所有的點都在同一線上
4. 給定兩相異點，洽有一線通過此兩點
5. 給定兩相異線，洽有一點在此兩相異線上
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這公設並不是平白無故出現的，我們拿歐幾里得空間的公設來比較一下
:::warning
歐幾里得空間的公設
1. 至少一平面通過O
2. 過O的每個平面上至少含三條通過O的直線
3. 通過O的直線並不是都在通過O的一平面上
4. 給定過O的兩相異直線，洽有一過O的平面包含此兩直線
5. 給定過O的兩相異平面，洽有一過O的直線落在此兩平面上
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再看一下圖，我們可以把 "過O點的直線" 作為 "點"， "過O點的平面" 作為 "線" ，根據歐氏立體幾何中的性質，相互比較，就可以得出射影幾何的公設

有了公設我們可以推出一些簡單的定理(證明略)

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定理
1. 至少有一點
2. 過每一點至少三條線
3. 並不是所有的線都通過一點
4. 若某一線上共有 n 個點，則每一線上都洽有 n 個點
5. 若某一線上共有 n 個點，則通過每一點都洽有 n 條線
6. 若某一線上共有 n 個點，則此邏輯體系共含有 n² - n + 1 個點及 n² - n + 1 條線
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最後，我們來看一個有趣的性質 &ldquo;對偶原理&rdquo;

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對偶原理(principle of duality)

在平面射影幾何中，每個正確敘述 ( 即公設或定理 ) 的對偶敘述仍是正確敘述

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簡單來說，就是把一段敘述的 "線" 和 "點" 位置互換，敘述仍正確。