# Bài tập 2.1

## Đề bài

**Định nghĩa** Hai chuẩn (norm) $p$ và $q$ trong là tương đương khi tồn tại $a, b \in \mathbb{R}, a > 0$ sao cho $a p(x) \leq q(x) \leq b p(x), \forall x \in \mathbb{R}^n$.

Chứng minh (hoặc tìm phản ví dụ) sự tương đương của từng cặp chuẩn trong các chuẩn $1$, $2$ và $\infty$.

## Bài làm

**P1: Chứng minh sự tương đương của chuẩn $1$ và chuẩn $\infty$**

Gọi $k = \arg\max_j |x_j|$ (nói cách khác, $x_k = \max_j |x_j|$).

Có $\forall x \in \mathbb{R}^n, \forall i=1..n, |x_i| \leq x_k$, do đó

$$
\sum_{i=1}^{n} |x_i| \leq \sum_{i=1}^{n} x_k = n x_k
$$

Mặt khác, $\forall x \in \mathbb{R}^n, \forall i=1..n, |x_i| \geq 0$, do đó

$$
\sum_{i=1}^{n} |x_i| = x_k + \sum_{1 \leq i \leq n, i \neq k} |x_i| \geq x_k
$$

Như vậy, tồn tại $a=1 > 0$ và $b=n$ sao cho $\forall x \in \mathbb{R}^n, a||x||_\infty \leq ||x||_1 \leq b||x||_\infty$, và do đó chuẩn $1$ và chuẩn $\infty$ tương đương.

**P1: Chứng minh sự tương đương của chuẩn $2$ và chuẩn $\infty$**

Gọi $k = \arg\max_j |x_j|$ (nói cách khác, $x_k = \max_j |x_j|$). Lưu ý $x_k \geq 0$.

Có $\forall x \in \mathbb{R}^n, \forall i=1..n, x_i^2 \leq x_k^2$, do đó

$$
\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_k^2} = \sqrt{n x_k^2} = \sqrt{n} x_k
$$

Mặt khác, $\forall x \in \mathbb{R}^n, \forall i=1..n, x_i^2 \geq 0$, do đó

$$
\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt{x_k^2 + \sum_{1 \leq i \leq n, i \neq k} |x_i|} \geq \sqrt{x_k^2} = x_k
$$

Như vậy, tồn tại $a=1 > 0$ và $b=\sqrt{n}$ sao cho $\forall x \in \mathbb{R}^n, a||x||_\infty \leq ||x||_2 \leq b||x||_\infty$, và do đó chuẩn $2$ và chuẩn $\infty$ tương đương.

**P3a: Chứng minh sự tương đương của chuẩn $1$ và chuẩn $2$**

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, ta có $\forall x \in \mathbb{R}^n$,

$$
\sum_{i=1}^{n} |x_i| \leq \sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2 \right)\left(\sum_{i=1}^{n} 1^2\right)} = \sqrt{n} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} \Leftrightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} \geq \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} |x_i|
$$

Mặt khác, $\forall x \in \mathbb{R}^n, \forall i=1..n, \forall j=1..n, |x_i||x_j| = |x_i x_j| \geq 0$, do đó

$$
\left(\sum_{i=1}^{n} |x_i|\right)^2
= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum_{1 \leq i, j \leq n, i \neq j} |x_i||x_j|
\geq \sum_{i=1}^{n} x_i^2
\Leftrightarrow
\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} \leq \sum_{i=1}^{n} |x_i|
$$

Như vậy, tồn tại $a=1/\sqrt{n} > 0$ và $b=1$ sao cho $\forall x \in \mathbb{R}^n, a||x||_1 \leq ||x||_2 \leq b||x||_1$, và do đó chuẩn $1$ và chuẩn $2$ tương đương.

**HOẶC**

**P3b: Chứng minh quan hệ tương đương chuẩn có tính bắc cầu**

Giả sử có $p \equiv q$ và $q \equiv r$ tức tồn tại $a_1, b_1, a_2, b_2 \in \mathbb{R}, a_1, a_2 > 0$ sao cho $\forall x \in \mathbb{R}^n$,
$$
a_1 p(x) \leq q(x) \leq b_1 p(x)
$$$$
a_2 r(x) \leq q(x) \leq b_2 r(x)
$$

Từ đó có
$$
a_1 p(x) \leq q(x) \leq b_2 r(x) \Leftrightarrow p(x) \leq b_2 / a_1 r(x)
$$ $$
a_2 r(x) \leq q(x) \leq b_1 p(x) \Leftrightarrow p(x) \geq a_2 / b_1 r(x)
$$

Như vậy, tồn tại $a=a_2/b_1 > 0$ và $b=b_2/a_1$ sao cho $\forall x \in \mathbb{R}^n, a r(x) \leq p(x) \leq b r(x)$, và do đó $p \equiv r$. Kết luận tương đương chuẩn có tính bắc cầu.

**Từ 3 điều trên ta kết luận các chuẩn $1$, $2$, $\infty$ tương đương nhau.**