# Bài tập 3.1

## Đề bài

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$, $A$ khả nghịch. Chứng minh nghịch đảo của $A$ là duy nhất.

## Bài làm

Ta chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử tồn tại $B \neq C$ là 2 ma trận vuông cấp $n$ đều là nghịch đảo của $A$. Như vậy, $$
AB = BA = I
$$ $$
AC = CA = I
$$ ($I$ là ma trận vuông đơn vị cấp $n$).

Ta có $$
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C
$$

Ở đây đã sử dụng 2 tính chất của ma trận là $$
XI = IX = X, \forall X
$$ $$
X(YZ) = (XY)Z, \forall X, Y, Z
$$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, nếu $A$ khả nghịch thì nghịch đảo của $A$ là duy nhất.