# Bài tập 2.2

## Đề bài

Cho tập vector $S = \{v_1, v_2, \ldots, v_k\}$. Làm sao để kiểm tra tập vector này có là cơ sở của không gian nào không?

## Bài làm

Yêu cầu bài toán không rõ ràng nên có nhiều cách hiểu.

**C1: Kiểm tra $S$ là cơ sở của $\mathbb{R}^n$**

Kiểm tra:

(1) $k = n$;
(2) $S$ độc lập tuyến tính.

**C2: Kiểm tra $S$ là cơ sở của một không gian con bất kì của $\mathbb{R}^n$**

Chỉ cần kiểm tra $S$ độc lập tuyến tính. Khi đó nó là cơ sở của một không gian con $k$ chiều của $\mathbb{R}^n$.

**C3: Kiểm tra $S$ là cơ sở của một không gian con xác định của $\mathbb{R}^n$**

**Ví dụ:** Kiểm tra $S = \{(1,0,0), (1,1,0), (0,0,1)\}$ là cơ sở của $U = \{x \in \mathbb{R}^3 / x_3 = 0\}$.

Kiểm tra:
(1) Các vector của $S$ thuộc $U$;
(2) $S$ sinh $U$;
(3) $S$ độc lập tuyến tính.

---

Để kiểm tra các ý trên:

**P1: Kiểm tra $S$ độc lập tuyến tính**

Xếp các vector của $S$ thành các dòng hoặc cột của một ma trận, gọi ma trận này là $A$. Thực hiện khử Gauss trên ma trận $A$. Đếm số dòng khác $0$ (tất cả phần tử đều không cùng lúc bằng $0$), đây là hạng của ma trận, kí hiệu $rank(A)$. Kiểm tra $rank(A) = k$ ($k$ là số lượng vector).

**P2: Kiểm tra $S$ sinh $U$**

Kiểm tra với mọi $u \in U$, $u$ là tổ hợp tuyến tính của các vector trong $S$.

Một cách ví dụ: Xếp các vector của $S$ thành các cột của một ma trận, gọi là $A$. Giải hệ $Ac = u$ (ẩn $c \in \mathbb{R}^k$). Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất.

**Ví dụ:** Ở ví dụ trên, rõ ràng $S$ đã vi phạm (1) do có $(0, 0, 1) \notin U$. Giả sử không có vector này trong $S$, ta kiểm tra điều kiện (2).

Xét $u = (a, b, 0) \in U$, hệ

$$
\left(
\begin{array}{@{}cc|c@{}}
1 & 0 & a \\
1 & 1 & b \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\leftrightarrow
\left(
\begin{array}{@{}cc|c@{}}
1 & 0 & a \\
0 & 1 & b-a \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$$

có nghiệm duy nhất là $c = (a, b-a, 0)$. Do đó $U$ được sinh bởi $S$.