# Bài tập 3.2

## Đề bài

Gọi $\mathbb{GL}(n, \mathbb{F}(2))$ là nhóm gồm tập các ma trận vuông cấp $n$ trên trường $\mathbb{F}(2)$ (tức các phần tử của ma trận chỉ nhận giá trị $0$ hoặc $1$) và phép toán nhân ma trận. Tìm số lượng phần tử của tập hợp trên.

## Bài làm

Một ma trận vuông thuộc nhóm trên được tạo thành bằng cách lần lượt chọn các dòng sao cho dòng mới độc lập tuyến tính với các dòng đã được chọn trước đó.

- Chọn 1 vector $v_1$ khác vector 0 làm dòng đầu, có $2^n - 1$ cách;
- Khi đã chọn được $k > 0$ dòng (vector), để chọn ra dòng mới độc lập với các dòng này, cần chọn 1 vector không thuộc $\{ \sum_{i=1}^k \alpha_i v_i | \alpha_i \in \{0, 1\}, \forall i=1..k \}$. Có $2^k$ cách chọn bộ $(\alpha_1,...,\alpha_k)$ do đó có $2^n-2^k$ vector có thể chọn.

Như vậy, có tất cả
$$
(2^n - 2^0)(2^n - 2^1)...(2^n - 2^{n-1})
$$ ma trận thoả yêu cầu.