# 近世代數（作業3）

1. 证明：SLn(G) 是 GLn(G)的一個正規子群

要证明 SLn(G) 是 GLn(G) 的一个正规子群，需要证明两个条件：

1. SLn(G) 是 GLn(G) 的子群。
2. 对于任意 g∈GLn(G) 和 h∈SLn(G)，有ghg^-1∈SLn(G)。

首先证明 SLn(G) 是 GLn(G) 的子群：

设 A, B∈SLn(G)，则有det(A) = det(B) = 1。

1. 封闭性：由于 A, B 都是 n 阶矩阵，因此 AB 也是 n 阶矩阵。又因为 det(AB) = det(A)det(B) = 1，所以 AB∈SLn(G)。
2. 单位元：单位矩阵 I 是 n 阶矩阵，且 det(I) = 1，因此 I∈SLn(G)。
3. 逆元：由于 A∈SLn(G)，则存在 A^-1 使得 AA^-1 = A^-1A = I，且 det(A^-1) = 1/det(A) = 1。因此 A^-1∈SLn(G)。

因此，SLn(G) 是 GLn(G) 的子群。

接下来证明 SLn(G) 是 GLn(G) 的正规子群：

对于任意 g∈GLn(G) 和 h∈SLn(G)，有ghg^-1∈SLn(G)。

由于 g∈GLn(G)，因此 det(g) ≠ 0。又因为 h∈SLn(G)，因此 det(h) = 1。因此：

det(ghg^-1) = det(g)det(h)det(g^-1) = det(g)·1·1/det(g) = 1

因此，ghg^-1∈SLn(G)。因此 SLn(G) 是 GLn(G) 的正规子群。

综上所述，SLn(G) 是 GLn(G) 的一个正规子群。

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2. 设H是群G的子群，定义 N(H)={g∈G | gH = Hg} 证明：N(H) 是 G 的子群和H是N(H)的正規子群。

首先证明N(H)是G的子群：

1. 首先，H是G的子群，所以H的单位元也是G的单位元，即e∈N(H)。

2. 对于任意的a,b∈N(H)，我们有(ab)H = g1(bH) = g1(Hb) = (aH)g2 = H(ab)，所以ab∈N(H)。

3. 对于任意的g∈N(H)，我们有(g⁻¹)H = (gH)⁻¹ = (Hg)⁻¹ = H(g⁻¹)，所以g⁻¹∈N(H)。

因此，N(H)是G的子群。

接下来证明H是N(H)的正规子群：

对于任意的g∈G和h∈H，我们有ghg⁻¹H = g(hH)g⁻¹ = g(Hh)g⁻¹ = (gH)h(g⁻¹H) = Hh，因此ghg⁻¹∈HgH，即gHg⁻¹⊆H。

同理，对于任意的g∈G和h∈H，我们有g⁻¹hgH = (g⁻¹H)h(g⁻¹) = (Hg⁻¹)h(g⁻¹) = H(g⁻¹h)，因此g⁻¹hg∈Hg⁻¹H，即g⁻¹Hg⊆H。

因此，对于任意的g∈G，我们有gHg⁻¹⊆H和g⁻¹Hg⊆H，即gHg⁻¹=H。

因此，H是N(H)的正规子群。

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3. 设f是群G到群G'的一个同态．证明：ker f 是G的子群和f(G)是G'的子群。

首先证明ker f是G的子群：

定義： e_G 表示G的單位元，e_G'表示G'的單位元。

1. ker f非空，因为f是同态，所以f(e_G)=e_G'，即单位元e_G在ker f中。

2. 对于任意的x,y∈ker f，有f(xy)=f(x)f(y)=e_G' e_G'=e_G'，即xy∈ker f。

3. 对于任意的x∈ker f，有f(x⁻¹)=f(x)⁻¹=e_G'⁻¹=e_G'，即x⁻¹∈ker f。

综上所述，ker f是G的子群。

接下来证明f(G)是G'的子群：

1. f(G)非空，因为G是群，所以e_G∈G，而f(e_G)=e_G'，即e_G'∈f(G)。

2. 对于任意的x,y∈f(G)，存在a,b∈G，使得f(a)=x，f(b)=y。因为f是同态，所以f(ab)=f(a)f(b)=xy∈f(G)。

3. 对于任意的x∈f(G)，存在a∈G，使得f(a)=x。因为f是同态，所以f(a⁻¹)=f(a)⁻¹=x⁻¹∈f(G)。

综上所述，f(G)是G'的子群

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4. 设f是群G到群 G'的一个同态，定义g∈G所在的等价类为g' = {a ∈ G | f(a) = f(b) }. 证明：g' = g * ker f.

首先证明 g' ⊆ g * ker f：

对于任意的 g' 中的元素 a，有 f(a) = f(g)，其中 g ∈ G。

因为 f 是一个同态，所以有 f(g⁻¹ * a) = f(g⁻¹) * f(a) = f(g⁻¹) * f(g) = e'，其中 e' 是 G' 中的单位元。

因此，g⁻¹ * a ∈ ker f，即 a ∈ g * ker f。

因此，g' 中的任意元素都可以表示为 g * k，其中 k ∈ ker f，即 g' ⊆ g * ker f。

接下来证明 g * ker f ⊆ g'：

对于任意的 g * k，其中 k ∈ ker f，有 f(g * k) = f(g) * f(k) = f(g) * e' = f(g)。

因此，g * k 中的任意元素都满足 f(a) = f(g)，即 g * ker f 中的任意元素都属于 g'。

因此，g * ker f ⊆ g'。

综上所述，g' = g * ker f。

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5. 设A,B是群G 的子群．证明：AB是G的子群当且仅当 AB= BA.

必要性：假设AB是G的子群，则AB的元素在G中的乘法运算下封闭，即对于任意的a,b∈A，x,y∈B，都有ax,by∈AB，且(ax)(by)∈AB。因此，对于任意的a∈A，b∈B，有ab∈AB。又因为AB=BA，所以对于任意的a∈A，b∈B，有ba∈AB。因此，AB在G的乘法运算下封闭，且对于任意的a∈A，b∈B，有ab和ba都属于AB。因此，AB是G的子群。

充分性：假设AB=BA，则对于任意的a∈A，b∈B，有ab∈AB，ba∈BA=AB。因此，AB在G的乘法运算下封闭，且对于任意的a∈A，b∈B，有ab和ba都属于AB。因此，AB是G的子群。

6. 设a∈A：A一>B是从集合A到集合B的映射。

a) 设a∈A.判断：a一定有像。
答： 一定，f(a) = b, b∈B;

b) 设b∈B.判断：b一定有原像。
答： 一定，b = f⁻¹(a);

c) 设b1,b2∈B，试讨论f⁻¹(b1）与f⁻¹(b2）的关系。
答： 根据映射的定义，对于任意的a∈A，f(a)都是唯一确定的。因此，如果f(a)=b1，则a必然属于f⁻¹(b1)；如果f(a)=b2，则a必然属于f⁻¹(b2)。因此，f⁻¹(b1)和f⁻¹(b2)可能有重叠部分，也可能完全没有重叠部分。

具体来说，如果存在a∈A，使得f(a)=b1=b2，则f⁻¹(b1)=f⁻¹(b2)，即两个集合相等；如果不存在这样的a，则f⁻¹(b1)和f⁻¹(b2)是互不相交的两个集合。

d) 证明或否定：对任意a∈A，都存在b∈B，使得a∈f⁻¹(b)。

证明：对任意a∈A，都存在b∈B，使得a∈f⁻¹(b)成立。

由于A一>B是从集合A到集合B的映射，因此对于任意的b∈B，都存在唯一的a∈A，使得f(a)=b。即f⁻¹(b)={a∈A | f(a)=b}。

因此，对于任意的a∈A，都存在唯一的b∈B，使得f(a)=b，即a∈f⁻¹(b)。因此，对任意a∈A，都存在b∈B，使得a∈f⁻¹(b)成立。

7. 设f是群G到群 G' 的一个满同态.

a) 证明：ker f是G的正規子群。
证明：

首先，我们知道ker f是G的子群，因为ker f包含单位元e，并且对于任意的a,b∈ker f，有f(ab)=f(a)f(b)=e'，即ab∈ker f，因此ker f对于G的乘法运算是封闭的。

接下来，我们需要证明ker f是G的正规子群，即对于任意的g∈G和k∈ker f，有gkg⁻¹∈ker f。

由于f是满同态，因此对于任意的g∈G，都存在一个元素h∈G，使得f(h)=f(g)。因此，我们可以将gkg⁻¹表示为hkh⁻¹，即gkg⁻¹=hkh⁻¹。

由于k∈ker f，因此f(k)=e'，而f(hkh⁻¹)=f(h)f(k)f(h⁻¹)=f(h)f(h⁻¹)=e'，即hkh⁻¹∈ker f。

因此，我们得到了gkg⁻¹=hkh⁻¹∈ker f，证明了ker f是G的正规子群。

b) 证明：f(G)是G'的正規子群。
证明：

首先，由于f是一个满同态，因此f(G)是G'的一个子群。

其次，对于任意的g'∈G'和g∈G，由于f是一个同态，有f(g'f(g)f(g')⁻¹)=g'f(g)g'⁻¹∈f(G)，即g'f(g)g'⁻¹属于f(G)。因此，f(G)是G'的一个正规子群。

综上所述，f(G)是G'的正规子群。

c) 若同态子不是满的，判断ker f是G的正規子群是否依然成立.

是的，如果同态子不是满的，那么ker f一定是G的正规子群。

证明：

首先，我们需要知道同态基本定理：对于群G到群G'的一个同态f，有以下三个基本定理：

1. ker f是G的正规子群。

2. G/ker f是同态f的像的同构像。

3. f(G)是G'的子群。

由于同态子不是满的，我们可以得到：

f(G)是同态f的像的真子群。

因此，由同态基本定理中的第2条可知：

G/ker f是同态f的像的同构像，也就是说，G/ker f与f(G)同构。

同时，由同态基本定理中的第3条可知：

f(G)是G'的子群。

因此，我们可以得到：

G/ker f是G'的子群的同构像。

由于同态子不是满的，我们可以得到：

G/ker f是G'的子群的真子群的同构像。

因此，我们可以得到：

ker f是G的正规子群。

因为如果ker f不是G的正规子群，那么G/ker f也不是G'的子群的同构像，这与上面的结论相矛盾，因此ker f一定是G的正规子群。

d) 若同态f不是满的，判断f(G)是G的正規子群是否依然成立。

如果同态f不是满的，即存在一些元素在映射下没有被覆盖到，那么f(G)也不可能是G的正规子群。

因为如果f(G)是G的正规子群，那么对于任意的g∈G和f(g)∈f(G)，必须有f(g)f(G)f(g)⁻¹⊆f(G)，即f(G)在f(g)的共轭下仍然保持不变。但是如果f不是满的，那么就存在一些元素在映射下没有被覆盖到，这些元素的共轭映射也不会被覆盖到，因此f(G)在这些元素的共轭映射下不再保持不变，即不满足正规子群的定义。

因此，当同态f不是满的时候，f(G)不是G的正规子群。