*by Tien-Yi, NTNU CGLAB*

# Cross PBR Model

本文詳細說明了 CrossPBR 的定義，並整理分析多個主流的 PBR 材質模型，包括 Blender、NVIDIA MDL、OpenPBR、Autodesk Standard Surface 以及 Unreal 等。CrossPBR 在設計上與 Blender、MDL、OpenPBR、Autodesk Standard Surface 等具有高度的通用性。

內容涵蓋上述模型的定義說明、原理架構、部分發展脈絡、參數與其定義，以及微表面模型的觀念，並簡要介紹其背後的數學原理。

## Table of symbols

| Symbol | Description | 描述 |
|:----------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |:-------------------------------------------------------------------- |
| $\omega_i$ | Direction from which light is incident | 光線的入射向量 |
| $\omega_o$ | Direction from which light is scattered (outgoing) | 光線的反射(散射)向量 |
| $\omega_n$ | Macrosurface normal | 宏觀表面法向量 |
| $\omega_m$ | Microsurface normal | 微觀表面法向量 |
| $\omega_h$ | Half vector (between $\omega_i$ and $\omega_o$ ) | 半角向量 ($\omega_i$ 及 $\omega_o$間的中間向量) |
| $\omega_t$ | Tangent vector | 切線向量 |
| $\omega_b$ | Bitangent vector | 餘切線向量 |
| $\theta_a$ | Angle between $\omega_a$ and $\omega_n$ or $\omega_m$ | $\omega_a$ 與法向量間的角度 |
| $\phi_a$ | The azimuth angle of $\omega_a$ based on tangent | 基於切線的 $\omega_a$ 的方位角 |
| $\phi$ | The difference angle between $\phi_i$ and $\phi_o$ | $\phi_i$ 及 $\phi_o$ 的角度差 |
| $\phi_a^\prime$ | The difference angle between $\omega_a$ and tangent $\omega_t$ | $\omega_a$ 與切線 $\omega_t$ 的角度差 |
| $F$ | Fresnel factor (reflectance) | 菲涅耳參數 (反射率) |
| $D$ | Microfacet distribution function | 微表面反射分布函數 |
| $G$ | Shadowing-masking function | 表面陰影-遮蔽函數 |
| $G_1$ | Monodirectional shadowing-masking function | 單向性微表面陰影-遮蔽函數 |
| $G_2$ | Bidirectional shadowing-masking function | 雙向性微表面陰影-遮蔽函數 |
| $E(\omega_o)$ | Total reflectance of a lobe or component based on the $\omega_o$ direction | 基於$\omega_o$方向的一個 Lobe 或 Component 的總反射率 |
| $T(\omega_o)$ | Total transmittance of a lobe or component based on the $\omega_o$ direction | 基於$\omega_o$方向的一個 Lobe 或 Component 的總透射率 |
| $R$ | Reflectance (Fresnel equations) | 反射率 (菲涅耳方程式) |
| $T$ | Transmittance (Fresnel equations) | 透射率 (菲涅耳方程式) |
| $\chi^{+}(a)$ | $\chi^{+}(a) = 1$ when $a > 0$, $\chi^{+}(a) = 0$ when $a \le 0$ | 當 $a > 0$ 時 $\chi^{+}(a) = 1$ ； 當 $a \le 0$ 時 $\chi^{+}(a) = 0$ |
| $\alpha$ | specular `roughness` parameter | 參數粗糙度`roughness` |
| $\alpha_x$, $\alpha_y$ | specular roughnesses of x, y direction (on surface's local coordinates system) | x, y 方向的粗糙度(基於表面的local座標系) |
| $\xi_1, \xi_2$ | Independent random numbers, range \[0,1\) | 獨立的隨機數，範圍\[0,1\) |
| $\rho$ | diffuse color (`base_color` parameter) | 固有色 (參數 `base_color`) |
| $\sigma$ | Roughness of Oren-Nayer model (`diffuse_roughness` parameter) | Oren-Nayer model的粗糙度 (參數`diffuse_roughness`) |
| $\xi_s$ | Parameter `specular_weight` | 參數 `specular_weight` |
| $\Lambda(\omega_o)$ | A factor for Smith shadow-masking function | Smith 陰影-遮蔽函數當中的一個函數 |
| $\lambda$ | Acts as the denominator in the scattering and absorption coefficient of interior medium (`transmission_depth` parameter) | 計算內部介質的散射與吸收係數時的分母 (參數 `transmission_depth`) |
| $\lambda_{wave}$ | The wavelength of light in vacuum | 光線在真空的波長 |
| $d$ | The thickness of thin-film | thin-film 的厚度 |

## Sample A Point On A Microfacet Surface

當我們觀察一個「點」時，它是否可以同時是透明液體，又是金屬？
在計算一個表面點反射到觀察點的光線時，我們實際上是在積分所有與該點發生交互作用(並反射到觀察點)的光線，同時考慮其物理量的變化。直覺上，一個「點」應該只有一種確定的物理性質，例如，如果該點為透明液體，那麼它不應同時是金屬。

然而，不論是透過肉眼觀察、相機拍攝，或是電腦渲染，實際捕捉的並非一個真正的「點」，而是與視錐細胞、感光元件、螢幕上的pixel，所對應的表面上一個小區域內的能量積分。此外，可見光的波長範圍約落在 380-760nm，要探討光線與比這更小的表面結構如何交互作用是沒有意義的。也就是說，過於細緻的表面描述對於計算可見光的反射性質來說無實際價值。

現代電腦圖學的表面光學特性，主要是基於 Microfacet Theory 進行研究。這套理論源自物理學，最初用於研究電磁波與材質表面的交互作用，後來被電腦圖學界引用，成為 Physically Based Rendering (PBR) 的重要基礎。Microfacet Theory 透過數學解析的方式，研究微觀幾何（Microgeometry）對反射率的影響，並統計出電磁波在微表面（Microfacet）上的反射機率分布。
圖(一) 說明取樣點與微表面之間的關係

回到一開始的問題，我們觀察到的「點」是否可以同時是透明液體，又是金屬？答案是肯定的。因為在 Microfacet 理論中，我們關注的不是單一點的確定性質，而是該點所代表的微觀表面的物理性質。因此，一個「點」所對應的表面材質，可能是一部分液體表面，一部分金屬表面的統計結果。

這個概念衍伸出現代 PBR Material Model 的核心特色之一 Layered Model。 Component 描述單一種材質(例如金屬)的反射特性，再藉由Layered Model方法將結果堆疊組合，成為一個能夠描述絕大多數材質的 Material 定義。

## Layered Model
光線與各種基礎材質表面交互的散射現象，例如金屬、塑膠、紙，經分析可以用簡單的模型來做表示，也就是可以用單一BRDF來做表示。有些半透明的材質如牛奶，則需要考慮到光線進入介質後的運動及散射情形，可以透過單一BSDF來表示。而複雜、不均勻的材質表面，例如生鏽的金屬，則可能需要藉由結合金屬與非金屬、光滑與粗糙的組合，不容易使用單一BRDF或BSDF來做表示。

CrossPBR 與現在常見的材質模型一樣，採用分層模型(Layered model)來定義材質表面。由許多組件(Components)來組成整個材質表面。藉由不同組件的堆疊、融合來形成整個表面的描述。
CrossPBR描述如下圖
圖(二) CrossPBR組成圖

### Lobes Combination

在分層模型的概念下，每個部分可以由垂直或水平關係構成。
當光子從環境進入材質表面時，最先接觸的是最上層的部分。在垂直關係中，光子在與最上層相互作用時，可能會被反射，或者穿透進入下一層（視為被吸收）。這個過程會持續進行，直到光子到達最底層。例如，在圖（一）所示的 Sheen 與 Coat 關係中，光子可能在 Sheen 層被反射，或是進一步進入 Coat 層。
在這種情況下，底下的Lobe的權重為上層的 reflectance funciton $E(\omega_o)$, `weight`參數的乘積。reflectance $E(\omega_o)$ 則定義為：$$
E\left(\omega_o\right) \equiv \int_{\mathcal{H}_{+}} f\left(\omega_i, \omega_o\right) \mathrm{d} \omega_i^{\perp}
$$也就是在$\omega_o$方向，同側的半球接收的所有$\omega_i$方向能量的反射量的積分。
除了Emission外，任何 Lobe 的 Reflectance 與 Transmission 總和必須小於等於1：$E(\omega_o)+T(\omega_o)\le1$。

除了層與層之間的垂直關係外，還存在水平關係。以圖（一）為例，當光子通過 Coat 層後，它可能進入 Metal 層或 Specular Reflection 層，但不會同時進入兩者，而是根據特定的機率決定其去向。

這種層級結構類似於肺葉的分支結構，在許多文獻中，每個分支或組件被稱為「葉」（Lobe）。
透過這樣的設計，只要每個 BSDF 的反射能量不超過入射能量，便可確保整個材質的總反射能量不會超過入射光能量（在不考慮自發光 Emission 的情況下），從而滿足物理上的能量守恆定律。

備註：Emission Lobe 不與外來光子交互作用，而是會主動發射光子，發光分布(Emission Distribution Function, EDF)通常為均勻分布。

下圖為 CrossPBR Lobes Combination 結構圖，樹狀結構中的圓圈加號表示將下方連線的Lobe數值相加，而連線旁標示的數值則代表該成分的權重：
圖(三) CrossPBR Lobes Combination 結構圖，線旁的參數為權重

每個Component都有其對應的BSDF、BRDF、BTDF或是EDF，對應表如下：
#### Lobes List
| Lobe | Description | Function | Model |
|:--------------------- |:------------------------------------ |:------------------:|:----------------------------- |
| Diffuse | diffuse BRDF | $f_{diffuse}$ | Oren-Nayar Diffuse BRDF |
| Subsurface | subsurface BSSRDF | $f_{subsurface}$ | - |
| Specular transmission | specular BTDF /BSSBRF | $f_{specular}^{T}$ | Trowbridge-Reitz (GGX) BTDF |
| Specular reflection | dielectic specular BRDF | $f_{specular}^{R}$ | |
| Metal | metal BRDF | $f_{metal}$ | F82-Tint(Adobe F82) |
| Thin-film | iridescence effects (inside Metal) | | Belcour and Barla's Model |
| Emission | emission EDF | $f_{emission}$ | Lambertian emission |
| Coat | coat BRDF (secondary specular lobe) | $f_{specular}^{R}$ | Trowbridge-Reitz (GGX) BRDF |
| Sheen | sheen BRDF | $f_{sheen}$ | Zeltner's model [Zeltner2022] |
| Translucent | pass-through | | - |

## Microfacet Reflection BRDF

在說明各 Lobe 對應的 BSDF 之前，必須先了解基於微表面（Microfacet）理論的反射模型，也就是光線與微表面模型（Microfacet Model）相互作用時的反射現象。

這是一種數學解析方法，旨在研究微觀幾何（Microgeometry）對反射率的影響，並考慮電磁波在微表面（Microfacet）上的反射機率分布。Microfacet Reflection BRDF的研究始於電磁波在表面散射的物理學研究[Beckmann and Spizzichino 1963]。此後，該理論逐步應用於電腦圖學領域，用於統計光線在微表面上的散射分布，並推導基於物理的 BRDF。

圖(四) 宏觀表面(Macrosurface)與微觀表面(Microsurface)之比較。藍線為宏觀表面，黑線為微觀表面，$n$為宏觀表面法向量，$m$為微觀表面法向量。

如上圖，在設計微表面模型時需要考慮到兩個表面間法向量的差異，以及位置差異。

目前，大多數渲染器（Renderer）及 Microfacet BRDF 模型的定義皆參考 [Walter2007] 的研究，而該模型則是基於 [Beckmann and Spizzichino 1963] 以及 [Cook and Torrance 1982] 的經典理論進一步發展而來。

在[Walter2007] 當中，Microfacet Reflection BRDF被設計為：
$$
f(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \mathbf{\omega_\mathrm{o}}, \omega_\mathbf{n})= \frac{F(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \omega_\mathbf{h})D(\omega_\mathbf{h}) G(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \mathbf{\omega_\mathrm{o}}, \omega_\mathbf{h})}{4(\mathbf{\omega_\mathrm{i}} \cdot \omega_\mathbf{n})(\omega_\mathbf{n} \cdot \mathbf{\omega_\mathrm{o}})}
$$
當中$\omega_i$代表入射(incident)向量，$\omega_o$代表出射(outgoing)向量，$h$代表半角向量($\omega_i$, $\omega_o$的中間向量)，$n$代表宏觀表面上的法向量。這些向量都是經過歸一化(Normalized)後的值。

此外，三個Fuction分別對應
* $F$ : Fresnel factor (光線發生反射的機率，即不被介質吸收或進入介質的機率)
* $D$ : Distribution function (光線散射的機率分布函數，也就是光線散射到向量$o$的機率)
* $G$ : Masking-shadowing function (光線從入射到散射過程中，沒有被微表面的凹凸幾何遮蔽的機率)

圖（五）在微表面模型中，相同入射角度與散射角度的多條光線，在微表面的不同位置，可能會發生入射或出射方向被遮擋情形。被遮擋的機率由 Masking-shadowing function 來描述。

[Walter2007] 模型的核心概念－三個function的積，被現在大多數 Renderer 或PBR定義用於 Dielectric Specular Reflection, Metal Reflection的模型上。

在CrossPBR以及這些定義中，描述Dielectric, Metal Reflection兩種BRDF Model 在Fresnel Factor的上使用不同的Model，但在使用相同的 GGX 相關模型作為Distribution fuction，並搭配對應的 GGX smith model作為 Masking-shadowing function。

### Distribution fuction

#### Trowbridge-Reitz (GGX) Normal Distribution Model

此模型為 Trowbridge, S., and K. P. Reitz 兩位作者在 1975所提出的模型。
Trowbridge-Reitz Anisotropic 版本的 NDF (normal distribution function)式子如下：

$$
D_{GGX(TR)}\left(\omega_h\right)=\frac{1}{\pi \alpha_x \alpha_y \cos ^4 \theta_{\mathrm{h}}\left(1+\tan ^2 \theta_{\mathrm{h}}\left(\cos ^2 \phi_{\mathrm{h}}^\prime / \alpha_x^2+\sin ^2 \phi_{\mathrm{h}}^\prime / \alpha_y^2\right)\right)^2}
$$

其中$\theta_h$為半角向量$\omega_h$與宏觀表面法向量$\omega_n$之夾角，$\phi_h^\prime$為半角向量$\omega_h$與切線$\omega_t$之間的夾角。$\alpha_x,\alpha_y$分別代表兩個方向(切線$t_x$與副切線$t_y$)之粗糙度。
所以這個公式也可以轉成以點乘(dot product)的方式來呈現，式子整理後如下：
$$
D_{GGX(TR)}\left(\omega_h\right)=\frac{1}{\pi \alpha_x \alpha_y\left(\frac{(\omega_t \cdot \omega_h)^2}{\alpha_x^2}+\frac{(\omega_b \cdot \omega_h)^2}{\alpha_y^2}+(\omega_n \cdot \omega_h)^2\right)^2}
$$
當中 $\omega_t$ 為切線(tangent)向量，$\omega_b$ 為副切線(bitangent)向量。
在CrossPBR以及其他多數定義中，多數會使用`anisotropy`, `rotation`兩個參數來設定Anisotropic NDF 高光的方向以及高光形狀。所以要套入Trowbridge-Reitz 的公式需要將`anisotropy`, `roughness`兩個參數轉換成公式需要的$\alpha_x$, $\alpha_y$，而`rotation`參數則是直接旋轉切線`t`副切線`b`之向量。
以下為將`anisotropy`, `roughness`轉換為$\alpha_x$, $\alpha_y$的方式(來源為Omniverse Kit 內部程式碼)：
$$
\begin{aligned}
\alpha' &= \sqrt{1 - \min(\max(a, 0), 0.98)} \\
\alpha_x &= \min\left(\frac{\alpha}{\alpha'}, 1\right) \\
\alpha_y &= \alpha \cdot \alpha'
\end{aligned}
$$
當中英文字母$a$代表`anisotropy`參數，希臘字母$\alpha$為`roughness`。

#### 各向同性(isotropy)版本
Trowbridge-Reitz 的通常各向同性版本公式如下，如`anisotropy`參數為0時可以用此算是減少計算量：
$$
D_{GGX(TR)}\left(\omega_h\right) = \frac{\alpha^2}{\pi \left( (\omega_n \cdot \omega_h)^2(\alpha^2 - 1) + 1 \right)^2}
$$

不過依照迪士尼2012的模型 [Burley2012]，這裡的$\alpha$為`roughness`參數的平方$r^2$，而非`roughness`。

#### GGX (Walter2007) Normal Distribution Fuction
GGX Distribution Function 由 Walter等人在2007年提出[Walter2007]，是一種演變自 Trowbridge-Reitz Distribution Model 的反射/穿透分布模型。
GGX不只可以用在反射上(BRDF)，也可以用來描述光線穿透材質表面時的分布情形(BTDF)。
此篇論文有用實際觀測資料證實 GGX 在 BTDF 上有良好的近似準確度。

GGX Distribution fuction 以數學式表示如下，是一種考慮到為表面法向量$m$的改良版Trowbridge-Reitz模型：
$$
D_{GGX}(\mathbf{\omega_m}) =\frac{\alpha^2 \chi^{+}(\omega_\mathbf{m} \cdot \omega_\mathbf{n})}{\pi \cos ^4 \theta_m\left(\alpha^2+\tan ^2 \theta_m\right)^2}
$$
當中$m$代表微表面法向量，$n$代表宏觀表面法向量，$\alpha$ 為 `roughness` 參數，$\chi^{+}(a)$代表 `1 : 0 ? a >= 0` (求$\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}$是否大於0，及夾角不超過90度)。
另外$\theta_m$可用以下式子求得：
$$
\theta_m =\arctan \left(\frac{\alpha \sqrt{\xi_1}}{\sqrt{1-\xi_1}}\right)
$$
半角向量的方位角可用以下式子求得，可以用來計算$(\omega_\mathbf{m} \cdot \omega_\mathbf{n})$：
$$
\phi_m =2 \pi \xi_2
$$
$\xi_1, \xi_2$則代表範圍`[0,1)`的兩個獨立的隨機數。$\phi_m$指的是對於切線的方位角(azimuth)。

#### GGX vs Trowbridge-Reitz

目前，幾乎所有的渲染引擎與材質定義 (如 Blender Cycles、Unreal Engine 5、OpenPBR、Disney Principled BRDF, MDL SDK 等) 都選擇 "GGX" 作為 Normal Distribution Function (NDF)。
然而，這裡所指的 GGX NDF，實際上是 1975 年 Trowbridge-Reitz 模型，而非 Walter 等人 2007 年 提出的 帶有兩個隨機數的 GGX NDF。值得注意的是，"GGX" 這一名稱是 Walter 2007 首次使用的(作為他們新模型的名稱)，而 Trowbridge & Reitz 在 1975 年的研究中並未為其模型命名。

雖然 Walter 2007 的論文參考文獻 (References) 並未包含 Trowbridge & Reitz 1975，但從其公式可明顯看出 Walter 2007 的模型基於 Trowbridge-Reitz NDF，並進一步針對微表面法向量$m$ 進行改良。以下為 GGX NDF 以及 Trowbridge-Reitz NDF 的標準形式：
$$
D_{GGX}(\mathbf{\omega_m}) =\frac{\alpha_g^2 \chi^{+}(\omega_\mathbf{m} \cdot \omega_\mathbf{n})}{\pi \cos ^4 \theta_m\left(\alpha_g^2+\tan ^2 \theta_m\right)^2}
$$
$$
D_{GGX(TR)}\left(\omega_h\right) = \frac{\alpha^2}{\pi (\omega_n \cdot \omega_h)^4 \left( (\alpha^2 - 1)(\omega_n \cdot \omega_h)^2 + 1 \right)^2}
$$

Trowbridge-Reitz 模型為何最終被稱為 GGX 仍無明確答案。但可以確定的是，如今在電腦圖學社群、相關文檔與程式碼中，提到 GGX NDF 幾乎都是指 Trowbridge-Reitz 模型。(可能是因為GGX在寫Code時簡潔好辨識)
在 Blender (撰寫時版本 4.3), Unreal Engine (撰寫時版本 5.5)和MDL SDK的原始碼中，NDF 的實作內容實際上就是 Trowbridge-Reitz 模型，但變數名稱與註解仍標記為 GGX，且引用的是 Walter 2007 而非 Trowbridge & Reitz 1975。(MDL SDK原始碼註解中沒有寫任何引用論文)

為了正確致敬 Trowbridge & Reitz 1975 在電腦圖學中的重要貢獻，並避免命名上的混淆，未來或許應該更正式地稱其為：
- Trowbridge-Reitz Model
- Trowbridge-Reitz (GGX) Model

同時，也應確保在相關論文與實作中適當引用 (Citation) Trowbridge & Reitz 1975，以正視其對現代渲染技術的影響。

### Masking-shadowing function

依據 [Heitz2014] 《Understanding the Masking-Shadowing Function in Microfacet-Based BRDFs》所整理與驗證的內容，Smith model 與 V-cavity Model 兩種 Shadow-masking Function 為基於物理且優良的方式。以下會簡單介紹這兩種Shadow-masking 的概念與方法。

在介紹之前，首先要提到$G_1$以及$G_2$ function代表的意義。
$G_1$ Function代表其中一個方向的光線在此微表面法向量$\omega_m$被遮擋的機率，包含$G_1(\omega_o, \omega_m)$, $G_1(\omega_i, \omega_m)$兩個方向的遮擋機率。而$G_2(\omega_o, \omega_i, \omega_m)$則是描述光線入射及散射被遮擋的機率。

目前蒐集到開源的軟體分別使用的Shadow-masking 如下：
- Blender (4.3 branch)
Smith model 搭配 Height-Correlated Masking and Shadowing
- MDL SDK (2024.1)
Smith 或 V-cavity model (供使用者選擇) 搭配 Separable Masking and Shadowing

依據[Heitz2014] 的建議，考量物理嚴謹度與實作性，CrossPBR 採用 Smith model 搭配 Height-Correlated Masking and Shadowing 來實現 Shadow-masking 。

#### Smith Model
Smith Model 假設 Microsurface上各個點上是不相關且不連續的(下圖右)。
圖(六) 節自[Heitz2014]

光線的散射方向 $o$ 在微表面法向量 $m$ 之下不被阻擋的機率可表示為 $G_1(o, m)$。由於表面是不連續的，因此可拆解為以下形式：
$$
G_1(\omega_o, \omega_m) = G_1^{\text{local}}(\omega_o, \omega_m) G_1^{\text{dist}}(\omega_o)
$$

其中，**local** 參數為二元函數（$\chi^{+}(a)$ 代表 `a >= 0 ? 1 : 0`）：
$$
G_1^{\text{local}}(\omega_o, \omega_m) = \chi^{+}(\omega_o \cdot \omega_m)
$$

經過推導後，得出：
$$
G_1^{\text{dist}}(\omega_o) = \frac{\cos \theta_o}{\int_{\Omega} \langle \omega_o, \omega_m \rangle D(\omega_m) \, d \omega_m}
$$

因此，完整的 $G_1(o, m)$ 可寫為：
$$
G_1(\omega_o, \omega_m) = \chi^{+}(\omega_o \cdot \omega_m) \frac{\cos \theta_o}{\int_{\Omega} \langle \omega_o, \omega_m \rangle D(\omega_m) \, d \omega_m}
$$

在 [Heitz 2014] 中，作者將 distance 形式的方程式重新寫為：
$$
G_1^{\text{dist}}(\omega_o) = \frac{1}{1+\Lambda(\omega_o)}
$$
最終，完整的方程式可簡化為：
$$
G_1(\omega_o, \omega_m) = \frac{\chi^{+}(\omega_o \cdot \omega_m)}{1+\Lambda(\omega_o)}
$$

#### GGX Smith Masking-Shadowing Model
根據 [Heitz 2014] 的方程式72：
$$
\Lambda\left(\omega_o\right)=\frac{-1+\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}{2}
$$
在isotropy 版本中
$$
a=\frac{1}{\alpha\tan\theta_o}
$$
可以進一步推導出以下式子方便計算
$$
\frac{1}{a^2} = \alpha^2\tan^2\theta_o = \frac{1 - \cos^2\theta_o}{\cos^2\theta_o}
$$
以上是 isotropy 版本的GGX Smith Masking-Shadowing funtion。
在 anisotropy版本，$a$要改為$a_{aniso}$：
$$
a_{aniso}=\sqrt{\cos ^2 \phi_o \alpha_x^2+\sin ^2 \phi_o \alpha_y^2}
$$
當中$\phi_o$代表$o$方向在切線平面(local切線座標系)的方位角，經過轉換後可以以下列方式計算(參考自Blender)：
$$
\frac{1}{a^2} = \frac{\alpha_x^2 V_x^2 + \alpha_y^2 V_y^2}{V_z^2}
$$
當中$V$代表$o$向量在切線座標系的座標 $(V_x, V_y, V_z)$。

以上式子用$o$呈現，再帶入$i$向量計算就可以得到${G1}_o$, ${G1}_i$進行結合。

#### The Smith Joint Masking-Shadowing Function
得到$G_1(\omega_o, \omega_m)$, $G_1(\omega_i, \omega_m)$分別的質以後，就可以來求$G_2(\omega_o, \omega_i, \omega_m)$。
在 [Heitz 2014] 中，作者整理出以下4種方法來進行討論。

##### 1. Separable Masking and Shadowing

[Heitz 2014] 介紹中的最簡單、最容易計算的方法，就是將兩個$G_1$相乘：
$$
G_2\left(\omega_o, \omega_i, \omega_m\right)=G_1\left(\omega_o, \omega_m\right) G_1\left(\omega_i, \omega_m\right)= \frac{\chi^{+}\left(\omega_o \cdot \omega_m\right)}{1+\Lambda\left(\omega_o\right)} \frac{\chi^{+}\left(\omega_i \cdot \omega_m\right)}{1+\Lambda\left(\omega_i\right)}
$$ 這個方式不會考慮 Masking、Shadowing 兩者間的關係，所以總是會有對陰影高估的現象(存在bias)。

##### 2. Height-Correlated Masking and Shadowing

[Ross et al. 2005] 考慮到入射方向、出射方向的關聯性。直觀上來說，其中一邊被遮擋的機率便高時，另一邊也會升高。方程式如下：
$$
G_2\left(\omega_o, \omega_i, \omega_m\right)= \frac{\chi^{+}\left(\omega_o \cdot \omega_m\right) \chi^{+}\left(\omega_i \cdot \omega_m\right)}{1+\Lambda\left(\omega_o\right)+\Lambda\left(\omega_i\right)}
$$不過此方式在入射出射角相近時，會高估陰影值(存在bias)。
[Heitz 2014] 推薦使用此方式來進行實作，精準度比Separable Masking and Shadowing高，但計算複雜度一樣。

##### 3. Direction-Correlated Masking and Shadowing
根據[ASHIKMIN 2000]的研究，遮蔽（masking）與陰影（shadowing）在出射方向與入射方向接近時具有高度相關性。
當$o$與$i$擁有相同的方位角時，達到完全相關性，此時遮蔽-陰影函數可由遮蔽與陰影的最小值取代。Ashikhmin 等人提出了一種方法，通過混合可分離形式和完全相關形式，來表達方向相關性：
$$
\begin{aligned}
& G_2\left(\omega_o, \omega_i, \omega_m\right) \\
& =\lambda(\phi) G_1\left(\omega_o, \omega_m\right) G_1\left(\omega_i, \omega_m\right)+(1-\lambda(\phi)) \min \left(G_1\left(\omega_o, \omega_m\right), G_1\left(\omega_i, \omega_m\right)\right) .
\end{aligned}
$$

##### 4. Height-Direction-Correlated Masking and Shadowing

根據[VAN GINNEKEN 1998] [HEITZ 2013]等研究，Masking與Shadowing的方向相關性可以通過將方向相關參數 $λ$ 引入高度相關的形式來構成Model：
$$
G_2\left(\omega_o, \omega_i, \omega_m\right)=\frac{\chi^{+}\left(\omega_o \cdot \omega_m\right) \chi^{+}\left(\omega_i \cdot \omega_m\right)}{1+\max \left(\Lambda\left(\omega_o\right), \Lambda\left(\omega_i\right)+\lambda\left(\omega_o, \omega_i\right) \min \left(\Lambda\left(\omega_o\right), \Lambda\left(\omega_i\right)\right)\right.}
$$
當出射方向 $\omega_o$ 與入射方向 $\omega_i$ 平行時（即 $\lambda = 0$），遮蔽與陰影完全相關；隨著方向角度差增加，$\lambda$ 增加至 1，遮蔽與陰影的方向相關性消失，公式回到高度相關形式。
Ginneken 等人（1998）提出經驗公式 $\lambda = \frac{4.41\phi}{4.41\phi + 1}$ ，依賴於 $\phi$ （即 $\omega_o$ 和 $\omega_i$ 之間的方位角差）且與表面粗糙度無關。Heitz 等人（2013）(此篇作者前一年)進一步研究，針對 Beckmann 分佈提出解析近似，將粗糙度納入計算，並可通過拉伸不變性推廣至各向異性 Beckmann 分佈。

[Heitz 2013] 的形式能準確建模遮蔽與陰影的方向相關性，比上述其他Smith Joint Masking-Shadowing Function更精確。然而，對於 $λ$ 的實用形式推導及非高斯分佈的推廣仍然是開放問題。

#### 補充: V-cavity model
有別於Smith mode，V-Cavity 假設為表面是由多種相同的V型重複結構組成，一個微表面可以由多種V型結構依權重組成。如下圖：
圖(七) 節自[Heitz2014] V-cavity 理論的說明，藉由統計單一種的V-cavity模型的陰影-遮擋機率，並照比例加總不同V-cavity模型而成

在這個假設下，一種V型微表面只會有兩個Normal向量：$m(x_m,y_m,z_m)$, $m ^\prime(-x_m,-y_m,z_m)$，在最後可以推導出一行由Cook and Torrance [1982]提出的著名的公式：
$$
G_1\left(\omega_o, \omega_m\right)=\min \left(1,2 \frac{\left(\omega_m \cdot \omega_n\right)\left(\omega_o \cdot \omega_n\right)}{\left\langle \omega_o, \omega_m\right\rangle}\right)
$$

## Diffuse Reflection

傳統上最常見的 Diffuse Model 是 Lambertian model，$D(\omega_i,\omega_o)=\frac{\cos\theta_i}{\pi}$，這是最直觀，也是最容易計算的方式之一。不過現在有越來越多 Renderer 使用的 Diffuse model 已經改為基於微表面理論的 Oren-Nayar model。

### Oren-Nayar model
OREN, M. 和 NAYAR, S. K. 在1994發表了一組新的 Diffuse Reflection Model [Oren 1994]。他們的模型是透過V-Cavity來模擬粗糙表面，並考量到V-Cavity間的英shadow-masking、互相反射關係，推導出後續BRDF。後人稱之為 Oren-Nayar Reflection Model，比起 Lambertian 更符合現實世界的漫反射表面。
圖(八) 取自 wikipedia: Oren–Nayar reflectance model，比較真實照片、Lambertian model 及 Oren-Nayar model
圖(九) 取自 wikipedia: Oren–Nayar reflectance model，說明 `diffuse_roughness`數值調整時帶來的變化

圖(十) 取自 wikipedia: Oren–Nayar reflectance model，Oren-Nayar model與真實白色花瓶的測量數據比較

Oren-Nayar 提出幾種模型，包含Full Model (論文中的 Model for Gaussian Slope-Area Distribution) 以及簡化版本的 Qualitative Model (簡稱QON model)。

Full Model式子為：
$$
\begin{aligned}
& F_{ON}\left(\omega_i, \omega_o\right)=L_1+L_2, \\
& L_1=\frac{\rho}{\pi} \cos \theta_i\left(A+B \cos \left(\phi_i-\phi_o\right) \tan \beta+C\left(1-\left|\cos \left(\phi_i-\phi_o\right)\right|\right) \tan \frac{\alpha+\beta}{2}\right), \\
& L_2=0.17 \frac{\rho^2}{\pi} \cos \theta_i \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.13}\left[1-\cos \left(\phi_i-\phi_o\right)\left(\frac{2 \beta}{\pi}\right)^2\right] \\
& A=1-0.5 \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.33}, \\
& B = \begin{cases}0.45 \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.09} \sin \alpha & \text { if } \cos \left(\phi_i-\phi_o\right) \geq 0, \\
0.45 \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.09}\left(\sin \alpha-\left(\frac{2 \beta}{\pi}\right)^3\right) & \text { otherwise, }\end{cases} \\
& C=0.125 \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.09}\left(\frac{4 \alpha \beta}{\pi^2}\right)^2, \\
& \alpha=\max \left(\theta_i, \theta_r\right), \\
& \beta=\min \left(\theta_i, \theta_r\right)
\end{aligned}
$$

簡化的 QON model 犧牲了些許準確度以換取更好的計算效能。以下是 QON model 式子：

$$
\begin{aligned}
&F_{QON}\left(\omega_i, \omega_o\right)=\frac{\rho}{\pi}\left(A+B \cdot \max \left(0, \cos \left(\phi_i-\phi_o\right)\right) \sin \alpha \tan \beta\right)\\
&\begin{gathered}
\mathrm{A}=1-\frac{\sigma^2}{2\left(\sigma^2+0.33\right)} \\
\mathrm{B}=\frac{0.45 \sigma^2}{\sigma^2+0.09} \\
\alpha=\max \left(\theta_{\mathrm{i}}, \theta_{\mathrm{o}}\right) \\
\beta=\min \left(\theta_{\mathrm{i}}, \theta_{\mathrm{o}}\right)
\end{gathered}
\end{aligned}
$$
當中$\phi_o$代表散射方向與材質表面的方位角，$\phi_i$代表光線入射方向與材質表面的方位角，$\rho$代表 `diffuse_color` 參數，$\sigma$代表粗糙度 `diffuse_roughness` 參數，實際意義為角度，範圍$[0, \pi/2]$。當兩個方位角越接近時，$\cos(\phi_i-\phi_o)$越接近1，代表更強的直接反射，反之則減少。另外，當$\sigma = 0$時，Oren-Nayar 將與 Lambertian Model 一樣為$D(\omega_i,\omega_o)=\frac{\cos\theta_i}{\pi}$。

### Fujii Oren-Nayar model
Yasuhiro Fujii(藤井 康裕)提出了一個改良的 Fujii model [Fujii2012] (簡稱 FON model)，該模型優化Qualitative Model，維持良好的計算效能的同時減少了與標準模型的誤差值。FON model 式子如下：

$$
\begin{gathered}
F_{\mathrm{FON}}(\omega_n, \omega_i, \omega_o)=\rho\cdot(\omega_n \cdot \omega_i)\left(A+B \frac{s}{t}\right) \\
s=\omega_i \cdot \omega_o -(\omega_n \cdot \omega_i)(\omega_n \cdot \omega_o) \\
t= \begin{cases}1 & \text { if } s \leq 0 \\
\max (\omega_n \cdot \omega_i, \omega_n \cdot \omega_o) & \text { if } s>0\end{cases} \\
A=\frac{1}{\pi}\left(1-0.5 \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.33}+0.17 \rho \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.13}\right) \\
B=\frac{1}{\pi}\left(0.45 \frac{\sigma^2}{\sigma^2+0.09}\right) \\
\end{gathered}
$$
Fujii 提供一個更好的表示法，將$\sigma$替換成$\sigma^\prime$，代表非漫反射/漫法射之比值，範圍介於$0\leq\sigma^{\prime}\leq1$，並替換掉$A$ , $B$算法，最終式子如下 ($s$, $t$不變)：
$$
\begin{gathered}
0\leq\sigma^{\prime}\leq1 \\
A=\frac{1}{\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right) \sigma^{\prime}} \\
B=\frac{\sigma^{\prime}}{\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\right) \sigma^{\prime}}
\end{gathered}
$$

當$\rho > 0.97$時，FON model 的總反射能量小於1，違反能量守恆的問題，不過這個問題在Full Oren-Nayar Model 也同樣存在。Fujii並沒有進一步處理違法能量守恆的問題。

圖(十一) 取自[Fujii2012]，Full model(藍色), Qualitative Model(綠色), Proposed Model(紅色) 之比較

### Energy-preserving Oren–Nayar model

Jamie Portsmouth, Peter Kutz, Stephen Hill 於2024年提出新的優化版本 Energy-preserving Oren–Nayar model (簡稱 EON) [Portsmouth2024]。該模型基於Fujii 的 FON model，加上多次反射的能量結果之和，以解決能量不守恆的問題。

(圖十二) 擷取自[Portsmouth2024]，當diffuse color 全白時，QON在不同角度、Roughness值時的能量損失。理論上，在diffuse color = 1 的情況下，反射能量總和應該是1，僅分布不同。 Roughness = 0 時等同於Lambertian model，無能量損失。

(圖十三) 擷取自[Portsmouth2024] FON能量損失比起QON要來的少，但仍然有此問題。

EON 可以以以下式子形容：
$$
\mathbf{f}_{\mathrm{EON}}\left(\omega_i, \omega_o\right)=\mathbf{f}_{\mathrm{F}}\left(\omega_i, \omega_o\right)+\mathbf{f}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}\left(\omega_i, \omega_o\right)
$$

$\mathbf{f}_{\mathrm{F}}$為 FON (Fujii) model, $\mathbf{f}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}$為 FON model衍伸出的多重反射(multiple-scattering)的部分，如下面式子所示：
$$
\mathbf{f}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}\left(\omega_i, \omega_o\right)=\frac{\mathcal{F}}{\pi}\left(\frac{1-\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_i\right)}{1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}\right)\left(\frac{1-\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)}{1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}\right)
$$

當中$\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_i\right)$, $\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)$代表的是FON model在均匀光照(uniform illumination)下的特定角度下的總反射能量(反射率)。$\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle$代表所有角度下的平均反射率。$\hat{E}$上面的hat代表這些數值是基於$\rho = 1$ 時的數值。
$\mathcal{F}$所代表的意義為FON model的能量損失，也就是多次反射的總反射能量。當$\rho = 1$ 時 $\mathcal{F} = 1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle$，以達到總能量為$1$，$\mathcal{F}$如下可以整理成以下式子:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{F} & =\underbrace{\require{enclose}\enclose{horizontalstrike}{\boldsymbol{\rho}\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}}_{1 \text {-bounce }}+\underbrace{\boldsymbol{\rho}\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right) \boldsymbol{\rho}\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}_{2 \text {-bounces }}+\underbrace{\boldsymbol{\rho}^2\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right)^2 \boldsymbol{\rho}\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}_{3 \text {-bounces }}+\cdots \\
& =\boldsymbol{\rho}^2\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right) \sum_{n=0}^{\infty} \boldsymbol{\rho}^n\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right)^n \\
& =\frac{\boldsymbol{\rho}^2\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right)}{1-\boldsymbol{\rho}\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right)}
\end{aligned}
$$
所以，最後$\mathbf{f}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}$可以整理成：
$$
\mathbf{f}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}\left(\omega_i, \omega_o\right)=\frac{\boldsymbol{\rho}^2}{\pi} \frac{\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}{1-\boldsymbol{\rho}\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right)} \frac{\left(1-\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_i\right)\right)\left(1-\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)\right)}{\left(1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle\right)}
$$
平均反射率如下：
$$
\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle=A_{\mathrm{F}}+\left(\frac{2}{3}-\frac{28}{15 \pi}\right) B_{\mathrm{F}}
$$
單向反射率$\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)$如以下所示：
$$ \hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)=\frac{\mathbf{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)}{\boldsymbol{\rho}}=A_{\mathrm{F}}+\frac{B_{\mathrm{F}}}{\pi} G_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)
$$
當中$G_{\mathrm{F}}\left(\theta_o\right)$分為完整算法：
$$
\begin{gathered}
G_{\mathrm{F}}\left(\theta_o\right)=G_{\mathrm{q}}\left(\theta_o\right)-\frac{2}{3} \sin \theta_o \\
G_{\mathrm{q}}\left(\theta_o\right)=\sin \theta_o\left(\theta_o-\sin \theta_o \cos \theta_o\right)+\frac{2}{3} \tan \theta_o\left(1-\sin ^3 \theta_o\right)
\end{gathered}
$$
以及近似方法：
$$
G_{\mathrm{F}}\left(\theta_o\right) \approx \pi \sum_{k=1}^4 g_k\left(1-\cos \theta_o\right)^k
$$

| $g_1$ | $g_2$ | $g_3$ | $g_4$ |
|:------------:|:-----------:|:------------:|:------------:|
| 0.0571085289 | 0.491881867 | -0.332181442 | 0.0714429953 |

最後得到$\mathbf{f}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}$的反射率為：
$$
\mathbf{E}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{ms}}\left(\omega_o\right)=\mathcal{F} \frac{\left(1-\hat{E}_{\mathrm{F}}\left(\omega_o\right)\right)}{1-\left\langle\hat{E}_{\mathrm{F}}\right\rangle}
$$

[Portsmouth2024]也有提供 EON 對應的 Importance Sampling 的方法，詳情請見該Paper。
EON增加了計算複雜度，以下是作者統計的耗時表格:

(圖十四) 擷取自[Portsmouth2024]，各項 Diffuse model 的計算耗時。

(圖十五) 擷取自[Portsmouth2024]，EON與QON算圖結果比較。

### Parameters

| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:----------------- |:--------:|:---------:|:-------:|:------------------------------------------------- |
| base_weight | `float` | $[0,1]$ | 1 | Scalar multiplier of diffuse reflection component |
| base_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Base reflection albedo color |
| diffuse_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0 | Diffuse roughness $\rho$ for Oren-Nayar model |

## Specular Reflection

Dielectric Specular Reflection 的反射基於微表面反射：
$$
f(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \mathbf{\omega_\mathrm{o}}, \omega_\mathbf{n})= \frac{F(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \omega_\mathbf{h})D(\omega_\mathbf{h}) G(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \mathbf{\omega_\mathrm{o}}, \omega_\mathbf{h})}{4(\mathbf{\omega_\mathrm{i}} \cdot \omega_\mathbf{n})(\omega_\mathbf{n} \cdot \mathbf{\omega_\mathrm{o}})}
$$
當中 Distribution Function 採用 Trowbridge-Reitz (GGX) model $D_{GGX(TR)}$，Shadow-masking 採用 GGX Smith Masking-Shadowing Model。

Dielectric Fresnel Factor ，在90度時為 Fresnel Equations 當中的 normal incidence reflectance：
$$
F=\left|\frac{1-\eta}{1+\eta}\right|^2
$$當中$\eta_s$代表介面 IOR 的比值。在Coat層存在時，必須考量到光線在Coat層與 Specular Reflection層介質交界面的IOR關係：
$$
\eta=\operatorname{lerp}\left(n_b / n_a, n_b / n_c, \mathrm{C}\right)
$$ 當中$n_a$是環境IOR，$n_b$是材質IOR，$n_c$是Coat層IOR，$C$為參數 `coat_weight`。
接著必須考量到 $\xi_s$ (參數`specular_weight`)，要把上述Dielectric Fresnel Factor 中的$\eta$ 替換成以下$\eta^{\prime}$：
$$
\eta^{\prime}=\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon} \quad \text { with } \quad \epsilon=\operatorname{sgn}\left(\eta-1\right) \sqrt{\xi_s F}
$$
Specular reflection, Specular Transmission 都使用$\eta^{\prime}$ 來計算 Fresnel Factor。
不同角度的Fresnel Factor值要用其他公式取的或是近似(e.g. Schick approximation)

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:------------------- |:--------:|:---------:|:-------:|:-------------------------------------------------- |
| specular_weight | `float` | $[0,∞)$ | 1 | Scalar multiplier of specular reflection component |
| specular_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Tints the dielectric Fresnel factor |
| specular_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | Roughness of NDF of specular reflection |
| specular_anisotropy | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy of NDF of specular reflection |
| specular_rotation | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy rotation of NDF of specular reflection |
| specular_ior | `float` | $[0,∞]$ | 1.5 | Refractive index for Fresnel factor of specular reflection |

## Metal

Metal Reflection BRDF也同樣是基於微表面反射：
$$
f(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \mathbf{\omega_\mathrm{o}}, \omega_\mathbf{n})= \frac{F(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \omega_\mathbf{h})D(\omega_\mathbf{h}) G(\mathbf{\omega_\mathrm{i}}, \mathbf{\omega_\mathrm{o}}, \omega_\mathbf{h})}{4(\mathbf{\omega_\mathrm{i}} \cdot \omega_\mathbf{n})(\omega_\mathbf{n} \cdot \mathbf{\omega_\mathrm{o}})}
$$
當中 Distribution Function 採用 Trowbridge-Reitz (GGX) model $D_{GGX(TR)}$，Shadow-masking 採用 GGX Smith Masking-Shadowing Model。

不過與Specular Reflection不一樣的部分是，Metal Reflection採用不一樣的Frenel Factor Model。主流PBR renderer常用的Frenel Factor Model包含：
* **Schlick Approximation (Schlick's model or F90 model)**
Unreal Engine
* **Hoffman's model (F82 model)**
* **F82-Tint model (Adobe F82 model)**
Blender, MDL SDK, Adobe, OpenPBR, Unreal Engine(future work)

上述三者有演變關係，CrossPBR採用三者中由Adobe 提出，最新的F82-Tint model。

### Schlick Approximation

Schlick Model 分成 Single & Double Expressions 兩種表現方式。分別透過簡單的Function來近似Fresnel Relectance。
Single Expression 公式為：
$$
F(\theta_h) \approx {F0}+(1-F0)(1-\cos \theta_h)^5
$$
當中 ${F0}$ 代表光線在0°時的值，也就是$\theta = 0$時的反射率$R_0$。而這個數值為：
$$
R_0=\left(\frac{n_b-n_a}{n_b+n_a}\right)^2
$$
當中$n_b$為材質介質的IOR, $n_a$為環境介質的IOR。這個值依材質本身顏色而定，也就是Material Parameters中的`base_color`。

Double Expression 公式為:
$$
F(\theta_h) \approx {F0}+(1-{F0})(1-\cos \theta_h)^5 + {F90}(1-({F0}+(1-{F0})(1-\cos \theta_h)^5))
$$

其中${F90}$為邊緣(法向量與視角垂直)的顏色，依材質本身特性而定，為Material parameter之一的`specular_color`。

### Hoffman's model (F82)

為來要達到更高精確度，並提供藝術家可以調整邊緣衰減顏色，Hoffman 基於 Schlick approximation並重整Lazanyi’s model的參數以後得到:
$$
F_{F82}(\theta_h) \approx F0+(1-F0)(1-\cos \theta_h)^5-a \cos \theta_h(1-\cos \theta_h)^\alpha
$$
其中$a$為:
$$
a=\frac{F0+(1-F0)\left(1-\cos \theta_{\max }\right)^5-h}{\cos \theta_{\max }\left(1-\cos \theta_{\max }\right)^6}
$$
套入$cos \theta_{\max } = \frac{1}{7}$，也就是約為$cos(82°)$得到:
$$
a=\frac{823543}{46656}(F0-F82)+\frac{49}{6}(1-F0)
$$
其中$F82$為光線在$cos \theta_{\max }$的反射顏色 $F(cos \theta_{\max })$，也就是82°左右的反射顏色，這個顏色直接定義為Material parameter `specular_color` ，供藝術家直接調整邊緣色。

比起schlick model, F82 model有與 ground truth 更小的誤差。

圖(十六) 取自[Hoffman2019]的Slides，F82 model(左圖)、Schlick model(右圖)對於Ground truth 誤差值得比較。明顯可看出F82 model有更小的誤差。

### F82-Tint model (Adobe F82)
[Kutz2021] (Adobe 所屬)提出一個修改版本的Naty Hoffman's model (F82 model)，稱為 `F82-Tint`，有時被其他人稱為Adobe F82。
F82-Tint 的公式如下：
$$
F_{\text {F82-T}}(\theta_h)=F0+(1-F0)(1-\cos \theta_h)^5-b \cos_h \theta(1-\cos \theta_h)^6
$$
其中參數 $b$ 為：
$$
b=\frac{\left(F0+(1-F0)\left(1-\cos \theta_{\max }\right)^5\right)(1-t)}{\cos \theta_{\max }\left(1-\cos \theta_{\max }\right)^6}
$$
參數$t$為：
$$
t=\frac{F82}{F0+(1-F0)\left(1-\cos \theta_{\max }\right)^5}
$$
此Model當中，$cos \theta_{\max }$與Naty Hoddman's model一樣為$cos \theta_{\max } = \frac{1}{7}$，也就是直接透過Parameter定義82°時的顏色`specular_color`。

#### F82-Tint 與 F82 差異
下圖為兩種Model比較，左圖為F82，右圖為F82-Tint，邊緣色為白色`(1.0, 1.0, 1.0)`:
圖(十七) 擷取自[Kutz2021]

* 相比於F82，F82-Tint有更為柔和的邊緣色，並且更貼近於原本的Schlick approximation。
* 在F82-Tint Model中，如果邊緣色為白色，會降低Schlick反射，所以對於F82-Tint來說可以用白色作為預設邊緣色。

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:------------------- |:--------:|:---------:|:-------:|:----------------------------------------------------------- |
| metalness | `float` | $[0,1]$ | 0 | The ratio of metal component |
| base_weight | `float` | $[0,1]$ | 1 | Scalar multiplier of `base_color` |
| base_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Color of Fresnel reflection at normal incidence (F0) |
| specular_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Color of Fresnel reflection at near-grazing incidence (F82) |
| specular_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | Roughness of NDF of metal reflection |
| specular_anisotropy | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy of NDF of metal reflection |
| specular_rotation | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy rotation of NDF of metal reflection |

## Coat

Coat 是位於 Base Substrate 上方的半透明、均質且等厚度的塗層，並與下層 Base Substrate 的表面平行。在現實世界中，例如打蠟過的地板等材質，可以使用 Coat 層來描述其光學特性。

Coat 半透明塗層的反射分佈模型與 Specular Reflection 一致，並採用 GGX 反射分佈進行設計。其 Fresnel 因子與 Specular Reflection 相同：
$$
F = \left|\frac{1 - \eta_s}{1 + \eta_s}\right|^2
$$

其中的 IOR 係數 $\eta_s$直接由參數 `coat_ior` 與環境介質的 IOR 進行計算。

參數 `coat_color` 定義為光線沿法線方向穿透半透明介質時，該介質的吸收率平方（即光線進入 Coat 層並反射出來後的總吸收率為 `coat_color`）。當光線穿透 Coat 層時，會根據 `coat_color` 參數進行衰減，從而產生藝術家可控的顏色效果。

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:--------------- |:--------:|:---------:|:-------:|:------------------------------------------------------ |
| coat_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | The weight/coverage of coat component |
| coat_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Square of normal-incidence transmittance |
| coat_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | Roughness of NDF of caot reflection |
| coat_anisotropy | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy of NDF of caot reflection |
| coat_rotation | `float` | $[0,1]$ | 0 | Animsotropy rotation of NDF of caot reflection |
| coat_ior | `float` | $[0,∞)$ | 1.5 | Refractive index for fresnel factor of caot reflection |

## Sheen

OpenPBR 與 Blender 採用 [Zeltner2022] 模型，該模型以[Heitz2015]為基礎為設計。
[Zeltner2022] 模型方程式表示如下：
$$
f_r\left(\omega_{\mathrm{i}}, \omega_{\mathrm{o}}\right)=C_{\text {sheen }} R_{\mathrm{i}} D_{\mathrm{o}}\left(\frac{\mathbf{M}_{\mathrm{i}}^{-1} \omega_{\mathrm{o}}}{\left\|\mathbf{M}_{\mathrm{i}}^{-1} \omega_{\mathrm{o}}\right\|}\right) \frac{\left|\mathbf{M}_{\mathrm{i}}^{-1}\right|}{\left\|\mathbf{M}_{\mathrm{i}}^{-1} \omega_{\mathrm{o}}\right\|^3}
$$
當中$C_{\text {sheen}}$為藝術家自訂(Artist defined)的color參數，$R_i$為方向性半球反射率，取決於入射角 $\theta_i$，表示特定方向的反射光量。$D_o$為正規化的餘弦分佈(cosine distribution)函數，根據出射方向$\theta_o$塑造反射分佈。
$\mathbf{M}_{\mathrm{i}}^{-1}$ 為3×3的線性變換(linear transform)矩陣，與入射角和藝術家設定的sheen roughness參數相關。
圖(十八) 取自[Zeltner2022]，該模型效果展示

該篇論文沒有解釋$\mathbf{M}_{\mathrm{i}}^{-1}$, $R_i$, $D_o$之算法。詳細內容請見該Paper的 github: [ltc-sheen](https://github.com/tizian/ltc-sheen)

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:--------------- |:--------:|:---------:|:-------:|:------------------------------------------------------- |
| sheen_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | The weight/coverage of sheen component |
| sheen_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Reflection color $C_{\text {sheen}}$ of sheen component |
| sheen_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | Roughness of sheen reflection |

## thin-film

thin-film 的定義為 Base substrate 上，一層平行於基礎表面的半透明Dielectric 薄膜，當中介質均勻，且厚度相等，完全透明不吸收光線。通常介於幾奈米到1、2微米之間。
當光線從環境進入到 thin-film層時，會發生反射與透射，透射的光線進入到thin-film與主材質間時，也會發生反射與透射。當thin-film與主材質間的反射光回到環境時，就會與第一次反射的光產生干涉。

由於可見光的波長大約落在 380-780nm間，不同波長的電磁波所產生的相位移(Phase shift)不一，這也導致不同波長的電磁波的干涉結果會不一樣。觀察者最後會看到虹彩色(Iridescence)的效果，泡泡上的虹彩、地面油汙的虹彩就是屬於 thin-film。推薦一部簡單易懂的 [thin-film動態解說影片(youtube)](https://www.youtube.com/watch?v=xjMjWtntm9k)。

圖（十五） 說明單一波長的光線進入含 thin-film 的材質表面時，反射方向產生干涉之成因。

在計算thin-film時，僅考慮干涉產生的虹彩色效果，不考慮透明介質造成的其他物理性質(例如Coat層的顏色、吸收係數)。影響的會是下一層Component(例如metal層)的Frsnel factor。

想要精準計算干涉後的thin-film反射率，可以將可見光的不同波段轉到XYZ色域，再透過 Airy summation 公式來求干涉結果，最後轉回RGB色域。或是透過 Belcour and Barla thin-film model [Belcour2017] 等模型來近似。

### Airy Summation (in XYZ Color Space)

NVIDIA [ MDL SDK Thin-film Implementation Source Code](https://github.com/NVIDIA/MDL-SDK/blob/b92761697ffb5d3b00dfbe3605d786743492bca4/src/mdl/jit/libbsdf/libbsdf_utilities.h#L1215-L1373).
此段落將介紹 MDL SDK實作 Thin-film 反射率的方法，方法取自 Born/Wolf - "Principles of Optics", section 13.4.2, equation 30。[24][25]

當一個波長的光進入到單層、不吸收光的 thin-film 後，總反射係數可以用Airy Summation求和：
$$
r = \frac{r_{01} + r_{12} e^{i 2\beta}}{1 + r_{01} r_{12} e^{i 2\beta}}
$$當中$r_{01}$為從環境到thin-film的反射係數，$r_{12}$為thin-film到基底材質的反射係數。$\beta$為通過thin-film的相位差，$e^{i 2\beta}$為來回反射一次的相位變化。
相位差$\beta$為：$$\beta = \frac{2\pi n_1 d \cos\theta_1}{\lambda_{wave}}$$當中$n_1$為 thin-film 的IOR，$\lambda_{wave}$為光線在真空中的波長，$d$為 thin-film 厚度，$\theta_1$為thin-film 內光線的折射角。反射係數$r_{01}$, $r_{12}$要考慮到dielectric(環境到thin-film)與conductor(thin-film到base)的差別，且S、P偏振的係數不一樣。
而反射率 $R$ 為：
$$R = |r|^2 = \frac{|r_{01} + r_{12} e^{i 2\beta}|^2}{|1 + r_{01} r_{12} e^{i 2\beta}|^2}$$展開後可以寫成：$$R = \frac{R_{01} + R_{12} + 2 \sqrt{R_{01} R_{12}} \cos(2\beta + \phi_{12})}{1 + R_{01} R_{12} + 2 \sqrt{R_{01} R_{12}} \cos(2\beta + \phi_{12})}$$其中 $R_{01} = |r_{01}|^2$, $R_{12} = |r_{12}|^2$，$\phi_{12}$ 為 $r_{12}$ 的相位。
在分別計算S偏振及R偏振之後，得到總反射率：$$R = \frac{R_s + R_p}{2}$$

MDL SDK 對16個波長的可見光進行取樣求平均值，作為整個可見光(400nm-700nm)的積分(每18.75nm的波長差取樣一次，且為XYZ色域`float3`數值)。
由於這是在XYZ色域進行的計算，最後要再轉成RGB色域。

### Belcour and Barla thin-film model

- 想要求這個表面的反射係數，必須對這些折射反射的結果進行統計。Belcour and Barla的方式是轉到傅立葉域進行預積分。
圖(十九)擷取自[Belcour2017]
- 最後實作的方式，是預先把積分結果事先存到 N×2 的RGB貼圖中，N代表傅立葉維度。
圖(二十)擷取自[Belcour2017]
圖(二十一)擷取自[Belcour2017]
- $Dinc = 2\eta_2d$，所以thin-film在這個model之下可以使用兩個Parameters: thin_film_ior ($\eta_2$), thin_film_thickness ($d$)來描述。
- 以下是成果圖之一
圖(二十二) 擷取自[Belcour2017]
- 跟ground truth比較，已經看不出有太大差異，跟1992年的另個模型已經進步很多。
圖(二十三) 擷取自[Belcour2017]

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:------------------- |:-------:|:-------:|:-------:|:----------------------------- |
| thin_film_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | The weight of thin-film |
| thin_film_thickness | `float` | $[0,∞)$ | 0.5 | Thickness of the film in μm |
| thin_film_ior | `float` | $[0,∞)$ | 1.4 | Refractive index of thin-film |

## Subsurface

對於一個無塗層的電介質材質(例如人類皮膚)，我們可以將從 outgoing，$o$ 方向觀察到的總能量視為 $E_{specular}+E_{scattered}$ ，也就是在材質表面直接反射的光線，再加上進入材質介質後，經散射後再從表面發出的能量。這些散射的能量，通常來自多個不同位置的入射光線 $i$ 能量。目前有許多model可以近似此效果(例如Christensen-Burley, SeparableSSS 等)，或是使用Path tracing技術來達到真實 unbias 取樣(例如 Bledner Random Walk)。
圖(二十四) Subsurface材質為直接反射、次表面散射之和。

以下是Subsurface相關參數說明：
* **Mean Free Path**:
Mean free path(平均自由徑, MFP)為float3 (RGB)數值，是`subsurface_radius` * `subsurface_radius_scale` 兩數值相乘之結果。MFP 是指粒子（如光子、電子或氣體分子）在介質中，連續碰撞之間的平均行進距離。可藉由`subsurface_radius_scale`控制不同通道(RGB)之MFP。
密度較高的物質(例如人類皮膚)，通常有著較小的MPF，反之，密度較低的物質(例如霧氣)則有較高的MPF。
* `subsurface_color`: 控制 Multi-scatter 散射的顏色，最後觀察到的顏色為散射的能量積分與此數值的乘積。
* `subsurface_anisotropy`：決定光線行徑的機率分布，數值介於$[-1,1]$，數值越高代表光線越有可能向前行徑，數值為$0$時光線行徑方向為平均分布。

現在有許多方式可以求或近似Subsurface BSDF，包含適合Path tracing或Rasterization的渲染環境。舉例來說：
* Path tracing
* Blender Random Walk
* Rasterization (approximation)
* Christensen-Burley approximation
* Separable subsurface scattering (4S)

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:----------------------- |:--------:|:---------:|:-------------:|:----------------------------------------------------------------------------- |
| subsurface_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | The weight of subsurface component |
| subsurface_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (0.5,0.5,0.5) | Reflection color $C_{\text {sheen}}$ of sheen component |
| subsurface_radius | `float` | $[0,∞)$ | 1 | Length of Mean Free Path |
| subsurface_radius_scale | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | RGB multiplier to `subsurface_radius` |
| subsurface_anisotropy | `float` | $[-1,1]$ | 0 | Controls scattering direction; higher values bias light forward, 0 = uniform. |

## Transmission

### Specular Transmission
當光進入透明材質表面時，根據 Fresnel Equations，部分光線會反射，部分光線會進入介質。在接觸兩個介質的交界處時，根據其表面粗糙度，也會產生一個分布函數。
根據 Fresnel Equations，在理想平面且不考慮介質吸收或其他原因，為了符合能量守恆，進入介質的能量比率透射率 transmittance $T$ 為 $T= 1-R$。

Specular Transmission (Specular BTDF) 使用的模型為 Trowbridge-Reitz (GGX) Normal Distribution Model，也就是Specular Reflection NDF 在 Normal向量的鏡像，與 Specular BRDF 共用參數。

### Interior Medium
光通過介質時遵守比爾-朗伯定律（Beer–Lambert law），也就是光線在行經介質`transmission_depth`距離後，能量會依照一定的比例被介質吸收，恰好變為`transmission_color`倍。
可以將吸收係數(absorption coefficient)視為(省略莫爾濃度參數)：$$\mu_a = \frac{T_{color}}{\lambda}$$當中$T_{color}$為`transmission_color`，$\lambda$為`transmission_depth`參數。若$\lambda = 0$，則視為常數透明色(不被深度影響吸收率)。

散射係數(scattering coefficient) $\mu_s$ 則為：$$\mu_s = \frac{S}{\lambda}$$當中$S$為參數`transmission_scatter`。

衰減係數$\mu$則是吸收係數以及散射係數之和：$$\mu=\mu_a+\mu_s$$
`transmission_scatter_anisotropy` 的範圍為$[-1,1]$，用來描述光線散射時方向的分布，是Henyey—Greenstein phase function 中的 anisotropy 係數。當數值為$0$時，表示材質為各向同性；當數值$<0$時，則容易向後方散射；當數值$>0$時，則容易向前方散射。

除了衰減係數以外，阿貝數(Abbe number)用來描述光的色散(dispersion)程度，適用於玻璃、聚酯樹脂、聚碳酸酯等半透明物質。當阿貝數越低時，色散程度越大，阿貝數越高時，色散程度越小。
色散係數$V_d$為$$V_d = \frac{transmission\_dispersion\_abbe\_number }{transmission\_dispersion\_scale}$$參數`transmission_dispersion_scale`範圍$[0,1]$，若數值為0，則代表$V_d$無限大，完全沒有色散。

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:----------------------------------- |:--------:|:---------:|:-------:|:------------------------------------------------------- |
| specular_weight | `float` | $[0,∞)$ | 1 | Effects other specular parameters |
| specular_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Tints the dielectric Fresnel factor (reflectance) |
| specular_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | Roughness of NDF of specular BTDF |
| specular_anisotropy | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy of NDF of specular BTDF |
| specular_rotation | `float` | $[0,1]$ | 0 | Anisotropy rotation of NDF of specular BTDF |
| specular_ior | `float` | $[0,∞]$ | 1.5 | Refractive index for Fresnel factor of specular BSDF |
| transmission_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | The weight of transmission component |
| transmission_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | The transmission color $T$ |
| transmission_depth | `float` | $[0,∞)$ | 0 | Factor λ in the scattering and absorption coefficient. |
| transmission_scatter | `color3` | $[0,1]^3$ | (0,0,0) | Scattering coefficient of the interior medium |
| transmission_scatter_anisotropy | `float` | $[-1,1]$ | 0 | Anisotropy of the interior medium |
| transmission_dispersion_scale | `float` | $[0,1]$ | 0 | The denominator of Physical Abbe number |
| transmission_dispersion_abbe_number | `float` | $[0,∞)$ | 20 | Physical Abbe number of the interior medium |

## Emission

Emission 層描述 Base Substrate 自體發光的情形，會與Coat, Sheen層有所反映。

Emission 自發光材質有對應的 Emission Distribution Function (EDF)，用來描述能量發射的分布情形。
最單純的EDF為方向均勻 (directionally uniform) EDF，也就是任意方向的能量均等。

發光的能量必須大於等於0，計算上必須考慮`coat_color` 帶來的影響，最後的Emission能量為：
`emission_luminance` * `emission_color` * lerp(1, `coat_color`, `coat_weight`)

### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:------------------ |:--------:|:---------:|:-------:|:------------------------- |
| emission_luminance | `float` | $[0,∞)$ | 0 | Emission luminance |
| emission_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | Emission color multiplier |

## Geometry

### Geometry Normal

為了要更精確描述一個模型的細節，同時避免模型的三角面過高，可以透過 Normal Textures 來修飾宏觀幾何的法向量(例如木頭紋路上微小的表面起伏)。根據繪圖API或是Renderer的不同，計算修飾過後的Normal $\omega_n^\prime$ 的方式可能不同，常見的方式之一如下：
$$\omega_n^\prime = 2\omega_{t}(tex\_n_R-0.5)+2\omega_{b}(tex\_n_G-0.5)+\omega_{n}tex\_n_B$$當中$tex\_n_R$, $tex\_n_G$, $tex\_n_B$ 分別為取樣自Normal Texture的RGB數值。

Base substrate 的 Components (Specular Reflection, Metal, Diffuse Reflection, Subsurface, Transmission) 共用 `geometry_normal` 參數，代表宏觀法向量的偏移。Coat 層則是有獨立的`geometry_coat_normal`參數來描述法向量的偏移。
Transparency, Emission, Sheen 則無 Geometry Normal參數。

#### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:-------------------- |:---------:|:---------:|:-------:|:--------------------------------------- |
| geometry_normal | `vector3` | $[0,1]^3$ | (0,0,1) | Modifies base substrate's normal vector |
| geometry_coat_normal | `vector3` | $[0,1]^3$ | (0,0,1) | Modifies coat's normal vector |

### Tansparency

有別於 transmission 描述光線穿透材質的情形，Transparency主要在於描述該幾何的存在與否或是幾何上的不透明度。
幾何不透明度 $opacity$ 如果為0，代表該位置為缺口。通常會透過 `geometry_enable_cutoff` 來進一步設定幾何是否為缺口:

if(geometry_enable_cutoff){
    opacity = geometry_opacity > geometry_cutoff_threshold ? 1 : 0 ;
} 
else{
    opacity = geometry_opacity;
}

若$0<opacity<1$，在物理上並不是那麼合理 (代表該位置的微表面有部分缺口)。多數Renderer可能無法渲染此效果。

#### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:------------------------- |:---------:|:-------------:|:-------:|:------------------------------------------------------------- |
| geometry_opacity | `float` | $[0,1]$ | 1 | Opacity of the surface |
| geometry_enable_cutoff | `boolean` | {false, true} | false | Enables surface cutoff (binarizes the opacity value) |
| geometry_cutoff_threshold | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | Threshold value used when `geometry_enable_cutoff` is enabled |

### Thin-walled case

當`geometry_thin_walled` 為 true時，材質會變為thin-walled模式，也就是無限薄的薄膜，並且變成雙面結構，如下圖：
圖(十九) CrossPBR Thin-walled case 結構圖

在thin-walled模式下，部分Component可能會會改變其特性。
* Metal, Diffuse Reflection 一樣為完全不透明材質，不過變為雙面。
* 由於不再考慮厚度，Transmission 不再有散射及色散，不過`transmission_color`將直接作為恆定的吸收係數(absorption coefficient)。
* 同樣的，由於不再考慮厚度，Subsurface將依照比例拆解為 Diffuse Reflection, Diffuse Transmission: 根據`subsurface_anisotropy`的數值，$-1$代表完全為Diffuse Reflection，$1$代表完全為Diffuse Transmission，$0$代表各占一半。

圖(二十五) 玻璃材質 `geometry_thin_walled` 開啟、關閉之比較，使用 Omniverse kit 渲染。左邊的球為非 thin_walled，右邊的球為 thin_walled，其餘參數直接相同。左邊的球由於中間有介質，所以有很明顯的折射，後方物體成像上下顛倒；右邊的球中間無介質，代表這是無限薄的一層玻璃球。

#### Parameters
| **Parameter** | Type | Range | Default | Description |
|:-------------------- |:---------:|:-------------:|:-------:|:----------------------- |
| geometry_thin_walled | `boolean` | {false, true} | false | Enable thin-walled mode |

# CrossPBR Parameters List

| **Parameter** | Type | Range | Default | Unit |
|:----------------------------------- |:---------:|:-------------:|:-------------:|:----:|
| **Base** | | | | |
| base_weight | `float` | $[0,1]$ | 1 | |
| base_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | |
| **metalness** | | | | |
| metalness | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| **Diffuse Reflection** | | | | |
| diffuse_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| **Specular** | | | | |
| specular_weight | `float` | $[0,∞)$ | 1 | |
| specular_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | |
| specular_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | |
| specular_anisotropy | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| specular_rotation | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| specular_ior | `float` | $[0,1]$ | 1.5 | |
| **Transmission** | | | | |
| transmission_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| transmission_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | |
| transmission_depth | `float` | $[0,∞)$ | 0 | |
| transmission_scatter | `color3` | $[0,1]^3$ | (0,0,0) | |
| transmission_scatter_anisotropy | `float` | $[-1,1]$ | 0 | |
| transmission_dispersion_scale | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| transmission_dispersion_abbe_number | `float` | $(0,∞)$ | 20 | |
| **Subsurface** | | | | |
| subsurface_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| subsurface_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (0.5,0.5,0.5) | |
| subsurface_radius | `float` | $[0,∞)$ | 1 | |
| subsurface_radius_scale | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | |
| subsurface_anisotropy | `float` | $[-1,1]$ | 0 | |
| **Coat** | | | | |
| coat_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| coat_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | |
| coat_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | |
| coat_anisotropy | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| coat_rotation | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| coat_ior | `float` | $(0,∞)$ | 1.5 | |
| **Sheen** | | | | |
| sheen_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| sheen_color | `color3` | $[0,1]^3$ | (1,1,1) | |
| sheen_roughness | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | |
| **Emission** | | | | |
| emission_luminance | `float` | $[0,∞)$ | | |
| emission_color | `color3` | $[0,1]^3$ | | |
| **Thin-film** | | | | |
| thin_film_weight | `float` | $[0,1]$ | 0 | |
| thin_film_thickness | `float` | $[0,∞)$ | 0.5 | μm |
| thin_film_ior | `float` | $[0,∞)$ | 1.4 | |
| **Geometry** | | | | |
| geometry_normal | `vector3` | $[0,1]^3$ | (0,0,1) | |
| geometry_coat_normal | `vector3` | $[0,1]^3$ | (0,0,1) | |
| geometry_opacity | `float` | $[0,1]$ | 1 | |
| geometry_enable_cutoff | `boolean` | {false, true} | false | |
| geometry_cutoff_threshold | `float` | $[0,1]$ | 0.5 | |
| geometry_thin_walled | `boolean` | {false, true} | false | |

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