On note $x=(x_1,x_2,x_3)^T$ la position du récepteur R et $x^{S_i}=(x^{S_i}_1,x^{S_i}_2,x^{S_i}_3)$ les coordonnées du sattelite $S_i$.

On veut résoudre
$$
f(x)=0
$$
avec
$$
f=(f_1,f_2,f_3)^T: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3
$$
et
$$
f_i(x)=\|x-x^{S_i}\|_2^2-d_i^2, \; i=1,2,3
$$
Pour utiliser la méthode de Newton, on doit calculer la jacobienne de f: $Jf(x)$.
$$
Jf(x)=\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_3}\\
\frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_3}\\
\frac{\partial f_3(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3(x)}{\partial x_3}\\
\end{array}
\right)
$$
c'est à dire
$$
Jf(x)=\left(
\begin{array}{ccc}
2(x_0-x^{S_1}_0) & 2(x_1-x^{S_1}_1) & 2(x_2-x^{S_1}_2)\\
2(x_0-x^{S_2}_0) & 2(x_1-x^{S_2}_1) & 2(x_2-x^{S_2}_2)\\
2(x_0-x^{S_3}_0) & 2(x_1-x^{S_3}_1) & 2(x_2-x^{S_3}_2)\\
\end{array}
\right)
$$
La méthode de Newton s'écrit
$$
x_{n+1}=x_n - [Jf(x_n)]^{-1}f(x_n)
$$