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title: 200402 - Q1
tags: [村松研課題]

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title: 200402 - Q1
tags: 村松研課題
description: Solution of Q1
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# Q1

自然数$m$に対して$n = 4m + 3$と定義される自然数$n$は２つの自然数の自乗の和では表せないことを証明せよ。

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## 用語: 自然数の商と剰余

自然数$n, m$に対して, ある整数$q, r(0 \leq r < m)$が存在して
\\[ n = qm + r \\]
が成り立つとき,

$q$: $n$を$m$で割った商
$r$: $n$を$m$で割った剰余

という.

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任意の2つの自然数に関して, それらの自乗和を4で割った剰余が3になり得ないことを示す.

$p$を自然数とし, $p$を4で割った剰余を\\( p \bmod 4 \\)と表すこととすると,
\\[ 0 \leq p \bmod 4 \leq 3 \\]

が成り立つ.

以下, \\( \bmod 4 \\)とする.

\\( p \equiv 0 \\)のとき, \\( p^{2} \equiv 0 \\)
\\( p \equiv 1 \\)のとき, \\( p^{2} \equiv 1^{2} \equiv 1 \\)
\\( p \equiv 2 \\)のとき, \\( p^{2} \equiv 2^{2} \equiv 0 \\)
\\( p \equiv 3 \\)のとき, \\( p^{2} \equiv 3^{2} \equiv 1 \\)

したがって, 任意の自然数$p$に関して, $p^{2}$を4で割った剰余は0ないし1である. すなわち, 任意の2つの自然数$p, q$に関して, \\( p^{2} \bmod 4 + q^{2} \bmod 4\\)を4で割った剰余は0ないし1ないし2であり, 3にはなり得ない.

以上より, 自然数$m$を用いて$n = 4m + 3$と表せる整数$n$は2つの自然数の2乗の和で表せないことが示された.

