200402 - Q1 - HackMD

--- title: 200402 - Q1 tags: 村松研課題 description: Solution of Q1 --- --- # Q1 自然数$m$に対して$n = 4m + 3$と定義される自然数$n$は２つの自然数の自乗の和では表せないことを証明せよ。 --- ## 用語: 自然数の商と剰余自然数$n, m$に対して, ある整数$q, r(0 \leq r < m)$が存在して \\[ n = qm + r \\] が成り立つとき, $q$: $n$を$m$で割った商 $r$: $n$を$m$で割った剰余という. --- 任意の2つの自然数に関して, それらの自乗和を4で割った剰余が3になり得ないことを示す. $p$を自然数とし, $p$を4で割った剰余を\$ p \bmod 4 \$と表すこととすると, \\[ 0 \leq p \bmod 4 \leq 3 \\] が成り立つ. 以下, \$ \bmod 4 \$とする. \$ p \equiv 0 \$のとき, \$ p^{2} \equiv 0 \$ \$ p \equiv 1 \$のとき, \$ p^{2} \equiv 1^{2} \equiv 1 \$ \$ p \equiv 2 \$のとき, \$ p^{2} \equiv 2^{2} \equiv 0 \$ \$ p \equiv 3 \$のとき, \$ p^{2} \equiv 3^{2} \equiv 1 \$ したがって, 任意の自然数$p$に関して, $p^{2}$を4で割った剰余は0ないし1である. すなわち, 任意の2つの自然数$p, q$に関して, \$ p^{2} \bmod 4 + q^{2} \bmod 4\$を4で割った剰余は0ないし1ないし2であり, 3にはなり得ない. 以上より, 自然数$m$を用いて$n = 4m + 3$と表せる整数$n$は2つの自然数の2乗の和で表せないことが示された.