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/* basic design */
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</style>
# 微分方程式 ざっくりまとめ
<br>
<br>
#### 2020.04.16
#### Ver. 0.4
### Author: 17 Phi-Arrow [@vc_phi](https://twitter.com/vc_phi)
---
## 微分方程式の解法
~~(解析学で扱う)~~
### 微分方程式の解法は全部で6〜7パターン
- **変数分離形** :thinking_face:
- **同次形** :raised_hands:
- **完全微分形** :cat:
- **積分因子** :shower:
- **n階線形微分方程式**(斉次)
- **定数変化法**
- (演算子法)
---
## 変数分離形
:::info
**[変数分離形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y) \\]
:::
<br>
- ざっくりいうと, \\(y'\\)が(**\\(x\\)のみの式**)と(**\\(y\\)のみの式**)**の積で表せる**微分方程式
---
## 変数分離形: 解法
:::info
**[変数分離形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y) \\]
:::
<br>
- **一方の辺が\\(x\\)のみの式, 他方の辺が\\(y\\)のみの式になるように変形**
<font color="red">\\[ \dfrac{dy}{g(y)} = f(x)dx \\]</font>
- 両辺を積分して整理すると解ける!
---
## 変数分離形: 解法
- 一方の辺が\\(x\\)のみの式, 他方の辺が\\(y\\)のみの式になるように変形
\\[ \dfrac{dy}{g(y)} = f(x)dx \\]
- **両辺を積分して整理すると解ける!**
<font color="red">\\[ \int dy \dfrac{1}{g(y)} = \int dx f(x) \\]</font>
---
## 変数分離形: 例題
:::success
\\[ y' + 2xy = 0 \\]
:::
---
## 変数分離形: 例題
:::success
\\[ y' + 2xy = 0 \\]
:::
#### [解]
\\[ \dfrac{dy}{dx} = -2xy \\]
\\(y = 0\\)のとき:
- \\(y = 0\\)を微分すると\\(y' = 0\\)に
- **\\(y = 0\\)は与えられた微分方程式の解である**ことが確かめられる(代入してみよう).
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\[ \dfrac{dy}{dx} = -2xy \\]
\\(y = 0\\)のとき:
- \\(y = 0\\)を微分すると\\(y' = 0\\)であるから, \\(y = 0\\)は与えられた微分方程式の解である.
\\(y \neq 0\\)のとき:
(式変形)
<font color="red">\\[ \dfrac{dy}{y} = -2xdx \\]</font>
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\(y \neq 0\\)のとき:
\\[ \dfrac{dy}{y} = -2xdx \\]
**両辺を不定積分**すると
<font color="red">\\[ \int \dfrac{dy}{y} = -2 \int xdx \\]</font>
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\[ \int \dfrac{dy}{y} = -2 \int xdx \\]
\\( \log |y| + \\) <font color="red">\\(C_1\\)</font> \\( = - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + \\) <font color="red">\\(C_2\\)</font>
- \\(C_1\\)と\\(C_2\\)は任意定数
-
-
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\[ \int \dfrac{dy}{y} = -2 \int xdx \\]
\\( \log |y| + \\) <font color="red">\\(C_1\\)</font> \\( = - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + \\) <font color="red">\\(C_2\\)</font>
- \\(C_1\\)と\\(C_2\\)は任意定数
- **\\(C_2 - C_1\\)も任意定数**
- <font color="red">\\(C_2 - C_1\\)を1つの任意定数で表せる</font>
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\[ \int \dfrac{dy}{y} = -2 \int xdx \\]
\\( \log |y| + \\) **\\(C_1\\)** \\( = - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + \\) **\\(C_2\\)**
- <font color="red">\\(C_2 - C_1\\)を1つの任意定数で表せる</font>
\\[ \log |y| = - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C \\]
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
<font color="green">\\[ \int \dfrac{dy}{y} = -2 \int xdx \\]</font>
\\( \log |y| + \\) **\\(C_1\\)** \\( = - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + \\) **\\(C_2\\)**
- <font color="green">この式変形は1ステップで行ってもOKだと思う.</font>
<font color="green">\\[ \log |y| = - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C \\]</font>
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\(
\begin{eqnarray*}
\log |y| & = & - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C \\
\end{eqnarray*}
\\)
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\(
\begin{eqnarray*}
\log |y| & = & - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C \\
& = & - x^2 + C
\end{eqnarray*}
\\)
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\(
\begin{eqnarray*}
\log |y| & = & - 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C \\
& = & - x^2 + C \\
\end{eqnarray*}
\\)
\\(
\begin{eqnarray*}
|y| & = & e^{-x^2 + C}\\
& = & e^C \cdot e^{-x^2}\\
\end{eqnarray*}
\\)
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\(
\begin{eqnarray*}
|y| & = & e^{-x^2 + C}\\
& = & e^C \cdot e^{-x^2}\\
\end{eqnarray*}
\\)
\\[ y = \pm e^C \cdot e^{-x^2} \\]
- \\(e^C\\)は正の実数全体をとる
---
## 変数分離形: 例題
#### [解]
\\(
\begin{eqnarray*}
|y| & = & e^{-x^2 + C}\\
& = & e^C \cdot e^{-x^2}\\
\end{eqnarray*}
\\)
\\[ y = C' e^{-x^2} \\]
- \\(e^C\\)は正の実数全体をとる
- <font color="red">\\( \pm e^C \\)は\\(C' \neq 0\\)なる任意定数に置き直せる</font>
- これで\\(y \neq 0\\)の場合の微分方程式の解が求められた
---
## 変数分離形: 例題
\\[ y' + 2xy = 0 \\]
#### [解]
:arrow_down: **ここに注目**
<font color="red">\\(y = 0\\)のとき: <br>\\[ y = 0 \\]</font>
\\(y \neq 0\\)のとき: <br>\\[ y = C' e^{-x^2} \\]
(ただし, \\(C'\\)は0でない任意定数)
---
## 変数分離形: 例題
\\[ y' + 2xy = 0 \\]
#### [解]
<font color="green">\\(y = 0\\)のとき: <br>\\[ y = 0 \\]</font>
- :arrow_up:の解は, :arrow_down:の解で\\(C' = 0\\)と置いた場合に相当
- <font color="red">\\(C' = 0\\)のときにも\\( y = C' e^{-x^2} \\)が成り立つと考えて差し支えない</font>
\\(y \neq 0\\)のとき: <br>\\( y = \\)<font color="red">\\( C'\\)</font>\\(e^{-x^2} \\)
(ただし, \\(C'\\)は0でない任意定数)
---
## 変数分離形: 例題
\\[ y' + 2xy = 0 \\]
#### [解]
以上より, 求める解は
:::success
\\[ y = C' e^{-x^2} \\]
ただし, \\(C'\\)は~~0でない~~任意定数.
:::
---
## 同次形
:::info
**[同次形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = f \left( \dfrac{y}{x} \right) \\]
:::
<br>
- ざっくりいうと, \\(y'\\)が\\( \dfrac{y}{x} \\)の関数になっている微分方程式
---
## 同次形: 解法
:::info
**[同次形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = f \left( \dfrac{y}{x} \right) \\]
:::
<br>
- **\\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形**
- \\(zとx\\)に関する変数分離形に帰着
---
## 同次形: 解法
- **\\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形**
<font color="red">\\( xz = y \\)</font>
両辺を\\(x\\)で微分すると,
---
## 同次形: 解法
- **\\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形**
\\( xz = y \\)
両辺を\\(x\\)で微分すると
<font color="red">\\( z + x \cdot \dfrac{d}{dz} \dfrac{dz}{dx} z = \dfrac{dy}{dx} \\)</font>
---
## 同次形: 解法
- **\\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形**
\\( xz = y \\)
両辺を\\(x\\)で微分すると
\\( z + x \cdot \\) <font color="green">\\(\dfrac{d}{dz}\\)</font> \\( \dfrac{dz}{dx} \\) <font color="green">\\(z\\)</font> \\( = \dfrac{dy}{dx} \\)
<font color="red">\\( z + x \cdot \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{dy}{dx} \\)</font>
---
## 同次形: 解法
- **\\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形**
\\( xz = y \\)
両辺を\\(x\\)で微分すると
\\( z + x \cdot \dfrac{d}{dz} \dfrac{dz}{dx} z = \dfrac{dy}{dx} \\)
<font color="red">\\( \dfrac{dy}{dx} = z + x \dfrac{dz}{dx} \\)</font>
- **\\(y'\\)を\\(zとx\\)のみを用いて表せる**
---
## 同次形: 解法
:::info
**[同次形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = f \left( \dfrac{y}{x} \right) \\]
:::
<br>
- \\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形: <font color="red">\\( \dfrac{dy}{dx} = z + x \dfrac{dz}{dx} \\)</font>
- **\\(zとx\\)に関する変数分離形に帰着**
:arrow_up: の式を用いると, 与えられた微分方程式は
<font color="green">\\[ z + x \dfrac{dz}{dx} = f(z) \\]</font>
というように, \\(zとx\\)に関する変数分離形の微分方程式に帰着できる.
---
## 同次形: 解法
:::info
**[同次形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = f \left( \dfrac{y}{x} \right) \\]
:::
<br>
- \\( z = \dfrac{y}{x} \\)と置換して変形: <font color="red">\\( \dfrac{dy}{dx} = z + x \dfrac{dz}{dx} \\)</font>
- **\\(zとx\\)に関する変数分離形に帰着**
<font color="green">暗記することは**置換の仕方**と\\(y'\\)**の導出の仕方**だけ.</font>
---
## 同次形: 例題
:::success
\\[ y' = \dfrac{x - y}{x + y} \\]
:::
---
## 同次形: 例題
:::success
\\[ y' = \dfrac{x - y}{x + y} \\]
:::
#### [解]
微分方程式の両辺を\\(x\\)で割ると
<font color="red">\\[ y' = \dfrac{1 - \dfrac{y}{x}}{1 + \dfrac{y}{x}} \\]</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ y' = \dfrac{1 - \dfrac{y}{x}}{1 + \dfrac{y}{x}} \\]
ここで, **\\(z = \dfrac{y}{x}\\) :one: と置換**すると
<font color="red">\\( xz = y \\)</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ y' = \dfrac{1 - \dfrac{y}{x}}{1 + \dfrac{y}{x}} \\]
ここで, **\\(z = \dfrac{y}{x}\\) :one: と置換**すると
\\( xz = y \\)
この式の両辺を\\(x\\)で微分すると
\\( z + x \cdot \dfrac{d}{dz} \dfrac{dz}{dx} z = \dfrac{dy}{dx} \\)
<font color="red">\\( \dfrac{dy}{dx} = z + x \dfrac{dz}{dx} \\) :two: </font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ y' = \dfrac{1 - \dfrac{y}{x}}{1 + \dfrac{y}{x}} \\]
<font color="green">\\(z = \dfrac{y}{x}\\)</font> :one:
<font color="green">\\( \dfrac{dy}{dx} = z + x \dfrac{dz}{dx} \\)</font> :two:
<br>
:one: :two: を用いて\\(y\\)を消去すると
<font color="red">\\[ z + x \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{1 - z}{1 + z} \\]</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ z + x \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{1 - z}{1 + z} \\]
<font color="red">\\[ x \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{1 - z - z (1 + z)}{1 + z} \\]</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ z + x \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{1 - z}{1 + z} \\]
\\[ x \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{1 - z - z (1 + z)}{1 + z} \\]
<font color="red">\\[ \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{1 - 2z - z^2}{1 + z} \dfrac{1}{x}\\]</font>
<font color="red">\\[ dz \dfrac{1 + z}{1 - 2z - z^2} = dx \dfrac{1}{x} \\]</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ dz \dfrac{1 + z}{1 - 2z - z^2} = dx \dfrac{1}{x} \\]
両辺を積分して
<font color="red">\\[ \int dz \dfrac{1 + z}{1 - 2z - z^2} = \int dx \dfrac{1}{x} \\]</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ dz \dfrac{1 + z}{1 - 2z - z^2} = dx \dfrac{1}{x} \\]
両辺を積分して
\\[ \int dz \dfrac{1 + z}{1 - 2z - z^2} = \int dx \dfrac{1}{x} \\]
<font color="red">\\[ - \dfrac{1}{2} \int dz \dfrac{(1 - 2z - z^2)'}{1 - 2z - z^2} = \int dx \dfrac{1}{x} \\]</font>
<font color="red">\\[ - \dfrac{1}{2} \log |1 - 2z - z^2| = \log |x| + C \\]</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ - \dfrac{1}{2} \log |1 - 2z - z^2| = \log |x| + C \\]
<font color="red">\\(
\begin{eqnarray*}
\log |1 - 2z - z^2| & = & -2 \log |x| - 2C \\
& = & \log \dfrac{1}{|x|^2} + \log e^{-2C} \\
& = & \log \dfrac{e^{-2C}}{|x|^2}
\end{eqnarray*}
\\)</font>
---
## 同次形: 例題
#### [解]
\\[ \log |1 - 2z - z^2| = \log \dfrac{e^{-2C}}{|x|^{2}} \\]
<font color="red">\\(
\begin{eqnarray*}
1 - 2z - z^2 & = & \dfrac{C'}{|x|^2} \\
1 - 2 \dfrac{y}{x} - \left( \dfrac{y}{x} \right)^{2} & = & \dfrac{C'}{|x|^2} \\
x^2 - 2xy - y^2 & = & C' \\
\end{eqnarray*}
\\)</font>
<br>
(\\(C'はC' \neq 0\\)なる任意定数)
---
## 同次形: 例題
:::success
\\[ y' = \dfrac{x - y}{x + y} \\]
:::
#### [解]
以上より, 求める解は
:::success
\\[ x^2 - 2xy - y^2 = C' \\]
ただし, \\(C'\\)は0でない任意定数.
:::
---
## 完全微分形
:::info
**[完全微分形]**
\\[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)} \\]
:::
---
### 補足: 偏微分について
- ここでは厳密な定義を述べない
- 解析学の講義を受けるまでは, ざっくりとした理解でOK
---
### 補足: 偏微分について
- 二変数関数\\( z = f(x, y) \\)について,
- <font color="blue">\\(x\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="red">\\(y\\)</font>を定数とみて, <font color="blue">\\(x\\)</font>で微分すること
---
### 補足: 偏微分について
- 二変数関数\\( z = f(x, y) \\)について,
- <font color="blue">\\(x\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="red">\\(y\\)</font>を定数とみて, <font color="blue">\\(x\\)</font>で微分すること
- <font color="green">\\(\partial\\)</font>を用いて,  ( :arrow_left: ラウンド, パーシャル, デル, などと呼称する)<br><font color="blue">\\( \dfrac{\partial f}{\partial x} \\)</font> とかく
- <font color="blue">\\( f_x(x, y), f_x \\)</font> ともかく
---
### 補足: 偏微分について
:::info
- 二変数関数\\( z = f(x, y) \\)について,
- <font color="blue">\\(x\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="red">\\(y\\)</font>を定数とみて, <font color="blue">\\(x\\)</font>で微分すること
- <font color="green">\\(\partial\\)</font>を用いて, \\( \ \ \ \\) ( :arrow_left: ラウンド, パーシャル, デル, などと呼称する)<br><font color="blue">\\( \dfrac{\partial f}{\partial x} \\)</font> とかく
- <font color="blue">\\( f_x(x, y), f_x \\)</font> ともかく
- <font color="red">\\(y\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="blue">\\(x\\)</font>を定数とみて, <font color="red">\\(y\\)</font>で微分すること
- <font color="red">\\( \dfrac{\partial f}{\partial y} \\)</font> とかく
- <font color="red">\\( f_y(x, y), f_y \\)</font> ともかく
:::
---
### 補足: 偏微分について
:::info
- 二変数関数\\( z = f(x, y) \\)について,
- <font color="blue">\\(x\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="red">\\(y\\)</font>を定数とみて, <font color="blue">\\(x\\)</font>で微分すること [<font color="blue">\\( f_x \\)</font>]
- <font color="red">\\(y\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="blue">\\(x\\)</font>を定数とみて, <font color="red">\\(y\\)</font>で微分すること [<font color="red">\\( f_y \\)</font>]
:::
<br>
#### 例:
- \\( f(x, y) = x^2 + 2xy + 2y^3 - 1 \\)のとき,
- \\( f_x = \\)
- \\( f_y = \\)
---
### 補足: 偏微分について
:::info
- 二変数関数\\( z = f(x, y) \\)について,
- <font color="blue">\\(x\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="red">\\(y\\)</font>を定数とみて, <font color="blue">\\(x\\)</font>で微分すること [<font color="blue">\\( f_x \\)</font>]
- <font color="red">\\(y\\)</font>**に関する偏微分** :  <font color="blue">\\(x\\)</font>を定数とみて, <font color="red">\\(y\\)</font>で微分すること [<font color="red">\\( f_y \\)</font>]
:::
<br>
#### 例:
- \\( f(x, y) = x^2 + 2xy + 2y^3 - 1 \\)のとき,
- \\( f_x = \\) <font color="green"> \\( 2x + 2y \\) </font>
- \\( f_y = \\) <font color="green"> \\( 2y + 6y^2 \\) </font>
---
## 完全微分形
:::info
**[完全微分形]**
\\[
\begin{eqnarray*}
\hfil & \hfil & \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)} & \\
\hfil & \Leftrightarrow & P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 &
\end{eqnarray*}
\\]
:::
<br>
- :arrow_up:が完全微分形の微分方程式であることの必要十分条件は
<font color="red">\\( P_y = Q_x \\)</font>
が成立することである.
完全微分形の微分方程式は<font color="red">解析的に解ける</font>.
---
## 完全微分形: 解法
<font color="red">\\( P(x, y) \\)</font><font color="blue">\\(dx\\)</font> \\(+\\) <font color="blue">\\(Q(x, y)\\)</font><font color="red">\\(dy\\)</font> \\( = 0 \\)
<br>
- **完全微分形であること( <font color="green">\\( P_y = Q_x \\)</font> )を確認**
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
- **求める方程式の解は <font color="green">\\( U(x, y) = Const. \\)</font>**
---
## 完全微分形: 解法
<font color="red">\\( P(x, y) \\)</font><font color="blue">\\(dx\\)</font> \\(+\\) <font color="blue">\\(Q(x, y)\\)</font><font color="red">\\(dy\\)</font> \\( = 0 \\)
<br>
- **完全微分形であること( <font color="green">\\( P_y = Q_x \\)</font> )を確認**
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
- **求める方程式の解は <font color="green">\\( U(x, y) = Const. \\)</font>**
<br>
この形式の問題は, いくつも解いてみて,
**<font color="green">緑色</font>で示した箇所が自然に思い出せる**ようになるのが肝要だと思われ
---
## 完全微分形: 例題
:::success
\\[ (y^2 + e^x \sin y) dx + (2xy + e^x \cos y) dy = 0 \\]
:::
---
## 完全微分形: 例題
\\( (y^2 + e^x \sin y) dx + (2xy + e^x \cos y) dy = 0 \\)   \\( \cdots \\) :star:
<br>
- **完全微分形であること( <font color="green">\\( P_y = Q_x \\)</font> )を確認**
#### [解]
<font color="red">\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y\\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)とおく.</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( (y^2 + e^x \sin y) dx + (2xy + e^x \cos y) dy = 0 \\)   \\( \cdots \\) :star:
<br>
- **完全微分形であること( <font color="green">\\( P_y = Q_x \\)</font> )を確認**
#### [解]
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)とおく.
<font color="red">\\( P_y = 2y + e^x \cos y \\),   \\( Q_x = 2y + e^x \cos y \\)
\\( P_y = Q_x \\)となるから, :star: は**完全微分形**である.</font>
:arrow_down_small: (補足)
:::spoiler
\\( P_y \neq Q_x \\)となった場合:
**積分因子**を見つけることで解ける場合がある(次の章で詳述))
:::
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 \\)   \\( \cdots \\) :star:
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
\\( P_y = Q_x \\)となるから, :star: は**完全微分形**である.
<br>
<font color="red">よって\\( U_x = P, U_y = Q \\)なる\\( U(x, y) \\)が存在し,
:star: の解は \\( U(x, y) = C \\) (\\( C \\)は任意定数) と表せる.</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
<font color="red">**\\( U_x = P = y^2 + e^x \sin y \\)の両辺を\\(x\\)で不定積分すると,**</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
**\\( U_x = P = y^2 + e^x \sin y \\)の両辺を\\(x\\)で不定積分すると,**
<font color="red">\\( \begin{eqnarray*}
U & = & \int dx(y^2 + e^x \sin y) \\
& = & xy^2 + e^x \sin y + C(y)
\end{eqnarray*} \\)</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
**\\( U_x = P = y^2 + e^x \sin y \\)の両辺を\\(x\\)で不定積分すると,**
\\( \begin{eqnarray*}
U & = & \int dx(y^2 + e^x \sin y) \\
& = & xy^2 + e^x \sin y + {\color{red}C}(y)
\end{eqnarray*} \\)
(ただし, <font color="red">\\( C(y) \\)</font>は\\(y\\)のみからなる1変数関数)
<br>
- <font color="red">**2変数関数\\( f(x, y) \\)を\\(x\\)で不定積分すると, \\( F(x, y) + \\) (\\(y\\)のみの1変数関数) は \\(f(x, y)\\)の原子関数**</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
**<font color="red">\\( U \\)の両辺を\\(y\\)で偏微分すると,</font>**
<font color="red">\\( \begin{eqnarray*}
U_y & = & \dfrac{\partial}{\partial y}(xy^2 + e^x \sin y + C(y)) \\
& = & \cdots
\end{eqnarray*} \\)</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   <font color="blue">\\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)</font>
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P\\)</font>, <font color="blue">\\( U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
**\\( U \\)の両辺を\\(y\\)で偏微分すると,**
<font color="red">\\( \begin{eqnarray*}
U_y & = & \dfrac{\partial}{\partial y}(xy^2 + e^x \sin y + C(y)) \\
& = & 2xy + e^x \cos y + C'(y)
\end{eqnarray*} \\)</font>
<br>
- **この式は, \\(Q(x, y)\\)に他ならない**
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   <font color="blue">\\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)</font>
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
**\\( U \\)の両辺を\\(y\\)で偏微分すると,**
<font color="blue">\\( \begin{eqnarray*}
U_y & = & \dfrac{\partial}{\partial y}(xy^2 + e^x \sin y + C(y)) \\
& = & 2xy + e^x \cos y + C'(y)
\end{eqnarray*} \\)</font>
<br>
<font color="red">よって, \\( C'(y) = 0 \\),   \\( C(y) = C_1 \\)   (ただし, \\( C_1 \\)は任意定数) </font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( P(x, y) = y^2 + e^x \sin y \\),   \\( Q(x, y) = 2xy + e^x \cos y \\)
\\( U(x, y) = xy^2 + e^x \sin y + C(y) \\)
\\( C'(y) = 0 \\),   \\( C(y) = C_1 \\)   (ただし, \\( C_1 \\)は任意定数)
<br>
- <font color="green">\\( U_x = P, U_y = Q \\)</font> なる <font color="green">\\( U(x, y) \\)</font> **を求める**
#### [解]
<font color="red">ゆえに,   \\( U(x, y) = xy^2 + e^x \sin y + C_1 \\)</font>
---
## 完全微分形: 例題
\\( (y^2 + e^x \sin y) dx + (2xy + e^x \cos y) dy = 0 \\)   \\( \cdots \\) :star:
\\( U(x, y) = xy^2 + e^x \sin y + C_1 \\)   (ただし, \\( C_1 \\)は任意定数)
<br>
- **求める方程式の解は <font color="green">\\( U(x, y) = Const. \\)</font> となる**
#### [解]
以上より, 求める微分方程式:star:の解は
:::success
\\[ xy^2 + e^x \sin y = C \\]
<br>
ただし, \\( C \\)は任意定数.
:::
---
## 積分因子
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\) \\( \cdots \\) :one:
:::
<br>
一般的な関数\\( P(x, y) \\), \\( Q(x, y) \\)について,<br>*\\( Py = Qx \\)が成立するとは限らない*
- <font color="red">式 :one: の両辺にある関数\\( M(x, y) \\)を掛けることで,<br>完全微分形に帰着できることがある</font>
---
## 積分因子
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\) \\( \cdots \\) :one:
:::
<br>
一般的な関数\\( P(x, y) \\), \\( Q(x, y) \\)について,<br>*\\( Py = Qx \\)が成立するとは限らない*
- 式 :one: の両辺にある関数\\( M(x, y) \\)を掛けることで,<br>完全微分形に帰着できることがある
- <font color="red">このような\\( M(x, y) \\)を**積分因子**という</font>
---
## 積分因子
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\) \\( \cdots \\) :one:
:::
<br>
一般的な関数\\( P(x, y) \\), \\( Q(x, y) \\)について,<br>*\\( Py = Qx \\)が成立するとは限らない*
- 式 :one: の両辺にある関数\\( M(x, y) \\)を掛けることで,<br>完全微分形に帰着できることがある
- このような\\( M(x, y) \\)を**積分因子**という
- <font color="red">\\( M(x, y) \\)をうまく求めたい</font>
---
## 積分因子
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\) \\( \cdots \\) :one:
:::
<br>
一般的な関数\\( P(x, y) \\), \\( Q(x, y) \\)について,<br>*\\( Py = Qx \\)が成立するとは限らない*
- 式 :one: の両辺にある関数\\( M(x, y) \\)を掛けることで,<br>完全微分形に帰着できることがある
- このような\\( M(x, y) \\)を**積分因子**という
- <font color="red">\\( M(x, y) \\)をうまく求めたい</font>
---
## 積分因子
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\) \\( \cdots \\) :one:
:::
<br>
一般的な関数\\( P(x, y) \\), \\( Q(x, y) \\)について,<br>*\\( Py = Qx \\)が成立するとは限らない*
- 式 :one: の両辺にある関数\\( M(x, y) \\)を掛けることで,<br>完全微分形に帰着できることがある
- このような\\( M(x, y) \\)を**積分因子**という
- \\( M(x, y) \\)をうまく求めたい
- (以下では, 積分因子が簡単に求められる場合の微分方程式を扱う)
---
## 積分因子: 解法
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\)
:::
<br>
:::info
- <font color="red">**積分因子\\( M \\)が\\( x \\)のみの関数である必要十分条件**は,<br>「**\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} \\)が\\( x \\)のみの関数である**」こと</font>
-
:::
---
## 積分因子: 解法
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\)
:::
<br>
:::info
- <font color="red">**積分因子\\( M \\)が\\( x \\)のみの関数である必要十分条件**は,<br>「**\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} \\)が\\( x \\)のみの関数である**」こと</font>
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br><font color="red">\\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - Q_x}{Q} dx \right) \\)</font><br>と求められる
:::
---
## 積分因子: 解法
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\)
:::
<br>
:::info
- **積分因子\\( M \\)が\\( x \\)のみの関数である必要十分条件**は,<br>「**\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} \\)が\\( x \\)のみの関数である**」こと
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>\\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - {{\color{orange} Q}_{\color{blue} x}}} {{\color{orange} Q}} d{\color{blue} x} \right) \\)<br>と求められる
:::
<br>
- **積分因子\\( M \\)を見つける**
- 積分因子\\( M \\)を**両辺にかけて完全微分形に**する
- 完全微分形の微分方程式を解く
---
## 積分因子: 解法
:::info
\\(
\begin{eqnarray*}
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
\end{eqnarray*}
\\)
:::
<br>
:::info
- **積分因子\\( M \\)が\\( x \\)のみの関数である必要十分条件**は,<br>「**\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} \\)が\\( x \\)のみの関数である**」こと
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>\\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - {{\color{orange} Q}_{\color{blue} x}}} {{\color{orange} Q}} d{\color{blue} x} \right) \\)<br>と求められる
:::
<br>
まずは, **積分因子**を見つける練習をしてみよう
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
:::success
\\( (-y)dx + xdy = 0 \\) \\( \cdots \\) :one:
:::
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
:::success
\\( (-y)dx + xdy = 0 \\) \\( \cdots \\) :one:
:::
#### [解]
- <font color="red">\\( P(x, y) = -y \\),   \\( Q(x, y) = x \\)とおく</font>
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
:::success
\\( (-y)dx + xdy = 0 \\) \\( \cdots \\) :one:
:::
#### [解]
- \\( P(x, y) = -y \\),   \\( Q(x, y) = x \\)とおく
- <font color="red">\\( P_y = -1 \\),   \\( Q_x = 1 \\)</font>
- <font color="red">\\( P_y \neq Q_x \\)となるから, :one:は**完全微分形ではない**.</font>
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
:::success
\\( (-y)dx + xdy = 0 \\) \\( \cdots \\) :one:
:::
#### [解]
- \\( P(x, y) = -y \\),   \\( Q(x, y) = x \\)とおく
- \\( P_y = -1 \\),   \\( Q_x = 1 \\)
- \\( P_y \neq Q_x \\)となるから, :one:は**完全微分形ではない**.
- しかし,<br>\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} = - \dfrac{2}{x} \\)<br>は\\( x \\)のみの関数であるから, 積分因子は\\( x \\)のみの関数で表せる.
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
\\( P(x, y) = -y \\),  \\( Q(x, y) = x \\)
\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} = - \dfrac{2}{x} \\)
#### [解]
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>
\\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - Q_x}{Q} dx \right) \\)
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
\\( P(x, y) = -y \\),  \\( Q(x, y) = x \\)<br>
\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} = - \dfrac{2}{x} \\)
#### [解]
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>
\\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - Q_x}{Q} dx \right) = \exp \left( -2 \int \dfrac{1}{x} dx \right) \\)
<br>
---
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
\\( P(x, y) = -y \\),  \\( Q(x, y) = x \\)
\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} = - \dfrac{2}{x} \\)
#### [解]
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>
\\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - Q_x}{Q} dx \right) = \exp \left( -2 \int \dfrac{1}{x} dx \right) = \exp ( -2 ( \log |x| + C ) ) \\)
---
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
#### [解]
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>
\\( M(x) = \exp ( -2 ( \log |x| + C ) ) = e^{-2 \log |x|} \cdot e^{ -2C } \\)
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
#### [解]
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>
\\( M(x) = \exp ( -2 ( \log |x| + C ) ) = e^{-2 \log |x|} \cdot e^{ -2C } = \dfrac{ e^{-2C} }{ {|x|}^{2} } \\)
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
#### [解]
- このとき, 積分因子\\( M(x) \\)は<br>
\\( M(x) = \exp ( -2 ( \log |x| + C ) ) = e^{-2 \log |x|} \cdot e^{ -2C } = \dfrac{ e^{-2C} }{ {|x|}^{2} } \\)
- 積分因子を微分方程式の両辺にかける操作は線形性を保つから, 積分定数を省略して
\\( M(x) = \dfrac{1}{ x^{2} } \\)<br>と求められた
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
\\( P(x, y) = -y \\),  \\( Q(x, y) = x \\)
#### [解]
- 積分因子\\( M(x) \\)を両辺にかけて
---
## 積分因子: 積分因子の求め方
\\( P(x, y) = -y \\),  \\( Q(x, y) = x \\)
#### [解]
- 積分因子\\( M(x) \\)を両辺にかけて
\\( - \dfrac{y}{x^2} dx + \dfrac{1}{x} dy = 0 \\)
\\( \dfrac{\partial }{\partial y} \left( - \dfrac{y}{x^2} \right) = - \dfrac{1}{x^2} , \dfrac{\partial }{\partial x} \dfrac{1}{x} = - \dfrac{1}{x^2} \\)
---
## 積分因子: まとめ
:::info
- **積分因子\\( M \\)が\\( {\color{blue} x} \\)のみの関数である必要十分条件**は,<br>「**\\( \dfrac{P_y - Q_x}{Q} \\)が\\( x \\)のみの関数である**」こと
- このとき, 積分因子\\( M({\color{blue} x}) \\)は \\( M(x) = \exp \left( \int \dfrac{P_y - {{\color{orange} Q}_{\color{blue} x}}} {{\color{orange} Q}} d{\color{blue} x} \right) \\)と求められる
- **積分因子\\( M \\)が\\( {\color{red} y} \\)のみの関数である必要十分条件**は,<br>「**\\( \dfrac{Q_x - P_y}{P} \\)が\\( y \\)のみの関数である**」こと
- このとき, 積分因子\\( M({\color{red} y}) \\)は \\( M(y) = \exp \left( \int \dfrac{Q_x - {{\color{green} P}_{\color{red} y}}} {{\color{green} P}} d{\color{red} y} \right) \\)と求められる
:::
---
## 積分因子: 例題
`Under Construction.`
`TODO: 色つけ`
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