# 泛函
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**注意本篇採用Einstein求和約定。**
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## 基本定義

線性空間$V$(定義在**體**$F$)的**泛函**(functional)是一個$f: V\rightarrow F$的函數

若泛函$f$滿足

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$(\forall a\in F)(\forall v\in V)[f(av)=af(v)]$
$(\forall v\in V)(\forall w\in V)[f(v+w)=f(v)+f(w)]$
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稱之為**線性泛函**(linear functional)。線性空間$V$所有線性泛函所構成的集合我們以$L(V,F)$表示。請讀者自己驗證，$L(V,F)$也是一個定義在體$F$之上的線性空間。

## 對偶空間

### 有限維

我們來研究$L(V,F)$在$V$是**有限維**下的有趣性質。首先取${\{e_i\}}_{i=1}^{n}$為$V$的基底，如果對
$v\in V$，基底展開是

$v= v_i e_i\,(v_i \in F)$

那對$\forall f\in L(V,F)$

$f(v)= v_i f(e_i)= v_i f_i$

將$\displaystyle f(e_i) \in F$簡寫為$\displaystyle f_i$可以很合理的表示它和$\displaystyle e_i$的對應關係

如果$\displaystyle e^{*k}: V\rightarrow V:e^{*k}(v_i e_i)=v_k$

顯然$(\forall k\leq n)[e^{*k} \in L(V,F)]$，於是

$[\forall f\in L(V,F)](f= e^{*i}f_i)$

也就是$\{e^{*k}\}_{k=1}^{n}$生成了$\displaystyle L(V,F)$，顯然$\{e^{*k}\}_{k=1}^{n}$是線性獨立的，也就是$\{e^{*k}\}_{k=1}^{n}$是$\displaystyle L(V,F)$的一個基底，稱為${\{e_i\}}_{i=1}^{n}$的**對偶基底**(dual basis)

如果採用類似的步驟，取$g:L(V,F)\rightarrow F$為線性變換，若$f \in L(V,F)$可以展開為

$f=e^{*i}f_i$

則

$g(f)=g(e^{*i})f(e_i) =f[g(e^{*i})\cdot e_i]$

令

$v_g = g(e^{*i})\cdot e_i$

我們會發現運算的結果反而變成 $v_g$帶入$f$的值，如果一開始我們採用$V$的另一組基底${\{E_i\}}_{i=1}^{n}$，從而得到另一個$v'_g$，那我們取一個一對一的$f$，則可以得到$v_g = v'_g$，也就是$v_g$和取的基底無關。類似的方法可以證明$(g=G)\Rightarrow(v_g=v_G)$。

另一方面$\forall v \in V$，定義$g_v:L(V,F)\rightarrow F:g_v(f) = f(v)$，這樣我們在$L[L(V,F),F]$跟$V$間建立了一個**雙射**。所以我們定義$V^{*}:=L(V,F)$並稱之為**對偶空間**(dual space)。

### 內積空間

## 泛函與變分法