含阻力之自由落體
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### Question 1

試證明$\tanh^{-1}\,\theta=\int_{0}^{\theta}\frac{dx}{1-x^2}$

#### Answer

$$
\text{let}\,x=\tanh\,t\\
\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{\cosh^2\,t-\sinh^2\,t}{\cosh^2\,t}\\
=1-\tanh^2\,t\\
=1-x^2\\
\frac{dx}{1-x^2}=dt\\
\therefore \int\frac{dx}{1-x^2}=t+C\\
=\tanh^{-1}\,x+C\\
\Rightarrow \int_{0}^{\theta}\frac{dx}{1-x^2}=[\tanh^{-1}\,x]_0^\theta\\
=\tanh^{-1}\,\theta
$$

### Question 2

一個物體質量m，從空中自由落下，且其所受空氣阻力和其速率v的平方成正比。試求該物體下落速度之方程式。

#### Answer

首先假設阻力$f=kv^2$
設速度向上為正
則物體之下落之微分方程可表示為
$$
F=m\frac{dv}{dt}=kv^2-mg
$$（因為是自由落體，因此阻力恆向上）
$$
\frac{dv}{dt}=\frac{k}{m}v^2-g\\
\Rightarrow \frac{dv}{\frac{k}{m}v^2-g}=dt
$$
令$u=\sqrt{\frac{k}{mg}}v$
則
$$
\begin{align*}
du&=\sqrt{\frac{k}{mg}}dv \Rightarrow &dv&=\sqrt{\frac{mg}{k}}du\\
u^2&=\frac{k}{mg}v^2 \Rightarrow
&gu^2&=\frac{k}{m}v^2
\end{align*}
$$
因此
$$
\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}du}{gu^2-g}=dt\\
-\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}du}{g-gu^2}=dt\\
\sqrt{\frac{m}{kg}}\int \frac{du}{1-u^2}=-\int dt\\
\tanh^{-1}u=-\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C\\
(\because v(0)=0\Rightarrow u(0)=0 \therefore C=0)\\
u=\tanh(-\sqrt{\frac{kg}{m}}t+C)\\
(\because v(0)=0\Rightarrow u(0)=0 \therefore C=0)\\
\therefore v=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(-\sqrt{\frac{kg}{m}}t)=-\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(\sqrt{\frac{kg}{m}}t)
$$