# [NCKHSV] [2024] Schubert Calculator

Dự án tương tự:
- https://pypi.org/project/liesym/
- https://docs.sympy.org/latest/modules/liealgebras/index.html
- https://doc.sagemath.org/html/en/reference/spkg/lie.html

## Hệ nghiệm (Thanh)

Trực quan hóa hệ nghiệm của một số đại số Lie: $A_2$, $B_2$, $G_2$

https://colab.research.google.com/drive/1Fm832ZGuyZvtGiN4gUbXPrNToUgfsh0-?usp=sharing

## Đồng cấu (Thanh)

http://www.math.clemson.edu/~macaule/classes/f21_math4120/slides/math4120_lecture-4-03_h.pdf

## Lớp Schubert (Đức)

### Lá cờ hoàn chỉnh
Kí hiệu $Gr(k,V)$ là đa tạp Grassmann gồm các không gian con $k$-chiều của không gian vector $n$-chiều $V$. Ta định nghĩa **lá cờ hoàn chỉnh** $\mathfrak{V}$ trong $V$ là một dãy các không gian con
$$0\subset V_1\subset\cdots\subset V_{n-1}\subset V_n= V$$
trong đó $\text{dim}V_i=i$.

### Vòng Schubert
Một phân hoạch $a=(a_1,\cdots,a_k)$ là dãy các số nguyên thỏa mãn điều kiện
$$n-k\ge a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_k\ge0$$
Với mỗi một phân hoạch $a$ thỏa mãn điều kiện trên, ta định nghĩa **vòng Schubert** $\sum_a(\mathfrak{V})\subset Gr(k,V)$ bởi
$$\sum_a(\mathfrak{V})=\{d\in G|\text{dim($V_{n-k+i-a_i}\cap d$)}\ge i\ \text{với mọi}\ i\}$$

### Lớp Schubert
Từ định lý ..., lớp $\left[\sum_a(\mathfrak{V})\right]$ không phụ thuộc vào cách chọn lá cờ. Ta định nghĩa
$$\sigma_a:=\left[\sum_a\right]$$
gọi là **lớp Schubert**.

**Ví dụ**
Xét đa tạp Grassmann $Gr(1,3)$.
$\bullet$ Cố định một lá cờ hoàn chỉnh $\mathfrak{V}$ trong $\mathbb{P}^3$ (với $\mathbb{P}^3$ là không gian xạ ảnh) bằng cách chọn một điểm $p\in\mathbb{P}^3$, một đường thẳng $L\in\mathbb{P}^3$ chứa $p$ và một mặt phẳng $H\in\mathbb{P}^3$ chứa $L$. Khi đó: $V_1=p$, $V_2=L$, $V_3=H$ và $V_4 = Gr(1,3)$.
$\bullet$ Số các phân hoạch $a$ có thể có là:
$$(0,0), (1,0), (2,0), (1,1), (2,1),(2,2)$$
$\bullet$ Bằng định nghĩa về vòng Schubert ta có $\sum_{(a,b)}$ là tập tất cả các đường thẳng $d$ cắt $V_{3-a}$ bởi một điểm và cắt $V_{4-b}$ bởi một đường thẳng, từ đó ta có thể kiểm tra được:

$\sum_{(0,0)}=Gr(1,3)$\
$\sum_{(1,0)}=\{d|d\cap L \neq \emptyset\}$\
$\sum_{(2,0)}=\{d|p\in d\}$\
$\sum_{(1,1)}=\{d|d\subset H\}$\
$\sum_{(2,1)}=\{d|p\in d\subset H\}$\
$\sum_{(2,2)}=\{d|d = L\}$


## Khác:

http://abstract.ups.edu/aata/integers-exercises.html

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/videoseries?si=Gng0CPB1eHJQdGak&amp;list=PL8yHsr3EFj53j51FG6wCbQKjBgpjKa5PX" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/videoseries?si=XWGdjMt9L75chHAg&amp;list=PL8yHsr3EFj53RWBkiHKoOsTw-dGHAoJ-h" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>

<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/videoseries?si=GLBSjNpTeU9iN9Ai&amp;list=PLGB0U_OssPo5agzqnsr9Ubx3ACk0_2S2Y" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>

## Phân loại Đại số Lie (A,B,C,D) (Đức):
* https://drive.google.com/file/d/1pt-Giq_TntIkO4NEucixlx_2IKsXbJQq/view?usp=drivesdk
* https://drive.google.com/file/d/1uq7x-DB5iVcj8l6g9yNMfvnEt-4zvG6j/view?usp=drivesdk

## Không gian xạ ảnh (Đức):
* Trong hình học cổ điển hay hình học affine, hai đường thẳng song song không có điểm cắt.
* Trong không gian xạ ảnh,để thuận tiện thì người ta cho chúng một điểm cắt đó là điểm ở vô cùng.
**Ý tưởng**: Thiết lập một song ánh giữa trục thực và đường tròn $(C)$ bằng cách cố định một điểm $A$ ở trên đường tròn (như trên hình vẽ), khi đó với một điểm $M$ bất kì thuộc trục thực, sẽ tồn tại một điểm $M’$ là giao của đoạn $AM$ với đường tròn $(C)$, khi đó ta được một song ánh $M\leftrightarrow M’$. Khi điểm $M$ tiến về phía bên phải của trục thực, điểm $M’$ sẽ tiến về $A$, tương tự, khi điểm $M$ tiến về phía bên trái của trục thực, điểm $M’$ cũng sẽ tiến về $A$, điểm $A$ lúc này gọi là điểm ở vô cùng ($\pm\infty$). Nếu tưởng tượng điểm $M$ là giao điểm của đoạn $AM$ với trục số thực, khi đó, vì giữa $M$ và $M’$ là phép tương ứng một một, cho nên ta có thể thay giao điểm của $AM$ và trục thực bởi điểm $M’$. Nếu $M$ tiến về hai phía của trục thực, đoạn $AM$ lúc này sẽ tiến về một đường thẳng song song với trục thực, đồng thời điểm $M’$ sẽ tiến dần về điểm $A$, dẫn đến giao điểm của hai đường thẳng song song ($AM$ và trục thực) là điểm ở vô cùng (điểm $A$).

## Giản đồ Dynkin và ma trận Cartan:

Em nghĩ 4 loại Grassmannians trong đề tài có liên quan đến 4 loại đại số Lie cổ điển, cho nên em để link của một bài luận văn có liên quan ở đây, mong là sẽ hữu ích:
http://math.ac.vn/training/images/TTDaotao/Caohoc/Luanvan/18_PVDung.pdf