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<span>Version 1.2.2</span>
<span>2020/12/18</span>
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<h1 style="font-size:3.5em;line-height: 2.5;">S3 Maths - Séries : Cours</h1>
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Jules Lefebvre <a href="mailto:[e-mail]">&lt;[e-mail]&gt;</a>
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Snakehugo
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[TOC]

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# 1. Notation

> Soit $\mathbb K$ et $\mathbb J$ deux ensembles
> $$
> \mathbb K^\mathbb J = \{f|f:\mathbb J\mapsto\mathbb K\}
> $$
> Exemple :
> $$
> \mathbb R^{\mathbb R} = \{f|f:\mathbb R\mapsto\mathbb R\} = \text{ensemble des fonctions d'une variable réelle}\\
> \mathbb R^{\mathbb N} = \{f|f:\mathbb N\mapsto\mathbb R\} = \text{ensemble des suites}\\
> \mathbb R^{+\mathbb N} = \{f|f:\mathbb N\mapsto\mathbb R^+\} = \text{ensemble des suites positives}\\
> \mathbb R^{-\mathbb N} = \{f|f:\mathbb N\mapsto\mathbb R^-\} = \text{ensemble des suites négatives}\\
> \mathbb R^{+\mathbb N} \cup \mathbb R^{-\mathbb N} = \text{ensemble des suites de signe constant}
> $$

# 2. Définition

## 2.1. Série de terme générale

> Soit $(u_n)$ une suite, on appelle série de terme général $u_n$ est la somme de tous les termes de la suite $(u_n)$.
>
> Soit $(u_n) \in \mathbb R^\mathbb N,$
> $$
> \sum u_n = \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + \dots
> $$

## 2.2. Somme partielle

> Soit $\sum u_n$ une série de la suite $(u_n)$, on note sa **somme partielle** $S_n$, elle correspond à la somme des $n$ permiers termes de $(u_n)$.
>
> On la note :
> $\forall (u_n)\in \mathbb R^{\mathbb N}$
> $$
> \begin{align}
> S_n &= \sum^{+\infty}_{n = 0} u_n = u_0 + u_1 + \dots + u_{n-1} + u_n \\
> & =\begin{cases}
> S_0 = u_0 \\
> S_{n+1} = S_n + u_{n+1}
> \end{cases}
> \end{align}
> $$
> On notera que :
> $$
> S_n - S_{n - 1} = u_n
> $$

## 2.3 Convergence

> On dit qu'une **série converge** si sa somme partielle converge
> $\forall (u_n) \in \mathbb R^\mathbb N$
> $$
> \sum u_n \text{ converge} \iff (S_n) \text{ converge}
> $$

## 2.4 Somme

> La **somme** d'une série est égale à sa limite quand $n$ tend vers plus l'infini, elle n'est définie que si la série est **convergente**.
>
> $\forall (u_n) \in \mathbb R^\mathbb N| \sum u_n \text{ converge}$
> $$
> S = \sum_{n = 0}^{+\infty}u_n = \lim_{n\to+\infty} S_n
> $$

## 2.5. Reste

> Le **reste** d'une série est une suite qui est la différence entre sa somme et sa somme partielle, elle n'est définie que si la série est **convergente**.
>
> $\forall (u_n) \in \mathbb R^\mathbb N\ |\ \sum u_n \text{ converge}$
> $$
> R_n = \sum_{k = n + 1}^{+\infty}u_n
> $$
> Remarque :
> $$
> \lim_{n\to +\infty}R_n = 0 \\
> S = S_n + R_n
> $$

# 3. Théorème

## 3.1. Série exponentielle

>Soit $x \in \mathbb R$ et $n \in \mathbb N$
>$$
>\sum \frac{x^n}{n!} \text{ converge et } \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^{x}
>$$

## 3.2. Série de suite géométrique

>Soit $q \in \mathbb R$
>$$
>\sum q^n \text{ converge} \iff |q| < 1
>$$
>Remarque
>$\forall q \in ]1;1[$
>$$
>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q}
>$$

## 3.3. Critère nécessaire

> $\forall (u_n)\in \mathbb R^{\mathbb N}$
> $$
> \sum u_n \text{ converge} \implies \lim_{n \to + \infty} u_n = 0\\
> \lim_{n \to + \infty} u_n \ne 0 \implies \sum u_n\text{ diverge}
> $$

## 3.4. Riemann

>Soit $\alpha \in \mathbb R$
>$$
>\sum \frac1{n^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1 \\
>\sum \frac1{n^\alpha} \text{ diverge} \iff \alpha \le 1
>$$

## 3.5. Bertrand

>Soit $\alpha \in \mathbb R$ et $\beta \in \mathbb R$
>$$
>\sum \frac1{n^\alpha ln(n)^\beta} \text{ converge} \iff \alpha > 1 \text{ ou (} \alpha = 1 \text{ et } \beta > 1)\\
>\sum \frac1{n^\alpha ln(n)^\beta} \text{ diverge} \iff \alpha < 1
>$$

## 3.6. Théorème de comparaison

> Soit $((u_n),(v_n)) \in (\mathbb R^{+\mathbb N})^2 \cup (\mathbb R^{-\mathbb N})^2, \forall n\in \mathbb N, |u_n| > |v_n|$
>
> $$
> \sum u_n \text{ converge} \implies \sum v_n \text{ converge} \\
> \sum v_n \text{ diverge} \implies \sum u_n \text{ diverge}
> $$

## 3.7. Comparaison de Landau

>Soit $((u_n), (v_n)) \in (\mathbb R^{+\mathbb N})^2 \cup (\mathbb R^{-\mathbb N})^2$
>$$
>\begin{align}
>u_n \sim v_n & \implies \sum u_n \text{ et } \sum v_n \text{ de même nature}\\
>u_n = o(v_n) \text{ et } \sum v_n \text{ converge} & \implies \sum u_n \text{ converge}\\
>u_n = O(v_n) \text{ et } \sum v_n \text{ converge} & \implies \sum u_n \text{ converge}
>\end{align}
>$$

## 3.8. Critère spécial des séries alternées (CSSA)

>Soit $(u_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$
>$$
>\exists\ v \in \mathbb R^{+\star\mathbb N}\ |\ u_n =(-1)^n v_n, \frac{v_{n+1}}{v_n}< 1,\lim_{n\to+\infty}v_n = 0 \implies \sum u_n \text{ converge}
>$$

## 3.9. Convergence absolue

>Soit $(u_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$
>$$
>\sum|u_n|\text{ converge} \iff \sum u_n \text{ converge absolument} \implies \sum u_n \text{ converge}
>$$

## 3.10. D'Alembert

>Soit $(u_n) \in \mathbb R^{+\star\mathbb N}\ |\ l = \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$
>$$
>\begin{align}
>l > 1 & \implies \sum u_n \text{ diverge}\\
>l < 1 & \implies \sum u_n\text{ converge}\\
>l = 1 & \implies \text{On ne peut pas conclure avec d'Alembert}
>\end{align}
>$$

## 3.11. Cauchy

>Soit $(u_n) \in \mathbb R^{+\mathbb N}\ |\ l = \lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{u_n}$
>$$
>\begin{align}
>l > 1 & \implies \sum u_n \text{ diverge}\\
>l < 1 & \implies \sum u_n\text{ converge}\\
>l = 1 & \implies \text{On ne peut pas conclure avec Cauchy}
>\end{align}
>$$