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# System prepended metadata

title: 3.8 Kondition der Interpolation. Lebesgue Konstante

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!!! [RICHTLINIEN](/GhohNZ9wTUecB5MSC9b2Rg) !!!

- [Kapitel 3](/q9-yrsBER_OPChwFR3SQeA)
- [3.7](/6jYUrs6MTkayC87Grvh-_g)
- [3.9](/t9jHwHSeQxCgBsuGP7zqZQ)

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Sei jetzt wieder

$$ a:=x_0<\dots<x_n=b$$

Dann ist 

$$p_n(x)=\sum\limits_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x), ~~~ l_j(x)=\prod\limits_{i=0,~ i\neq j}^n\left(\frac{x-x_i}{x_j-x_i}\right)$$

> $\sum\limits_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)$ == $I^{(n)}(f)$
> [name=Zech]

Wir bezeichnen mit $I^{(n)}:C^0([a,b])\to\mathbb{P}_n$ den Interpolationsoperator.
Dann ist $I^{(n)}$ linear da

$$\begin{split}
I^{(n)}(f+\alpha g)&=\sum\limits_{j=0}^nl_j(x)(f(x_j)+\alpha g(x_j)) \\
&=\sum\limits_{j=0}^nl_j(x)f(x_j)+\alpha\sum\limits_{j=0}^nl_j(x)g(x_j) \\
&= I^{(n)}(f)+\alpha I^{(n)}(g).
\end{split}$$

Im folgenden schreiben wir für $f\in C^0([a,b])$.

$$||f||_{C^0([a,b])}:=\max\limits{x\in[a,b]}|f(x)|=:||f||_\infty$$

Wir interessieren uns für den Interpolationsfehler

$$||f-I^{(n)}(f)||_\infty=\max\limits_{x\in[a,b]}|f(x)-p_n(x)|$$

Laut [Satz 3.6](https://hackmd.io/vz0dBTL4SfOrgVNfKRuprA#Satz-36) gilt

$$||f-I^{(n)}(f)||_\infty\leq\frac{||w_{n+1}||_\infty}{(n+1)!}||f^{(n+1)}||_\infty$$

## Beispiel 3.21

$f(x)=\sin(x)\implies||f^{(n+1)}||_\infty\leq 1~\forall n\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow ||f-I^{(n)}(f)||_\infty\leq\frac{1}{(n+1)!}~\max\limits_{x\in[0,\pi]}\left|\prod\limits_{j=0}^n(x-x_j)\right|\leq\frac{\pi^n}{(n+1)!}\leq\left(\frac{e\pi}{(n+1)}\right)^{n+1}\to 0$

> IMAGE
> $\left|\prod\limits_{j=0}^n(x-x_j)\right|$ == $\pi^n$

Wiederholung

## Satz 3.6 

$$f\in C^{n+1} ([a,b]) \implies f(x)-p_n(x)=\frac{f^(n+1)(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1} (x)$$
$$\implies ||f-p_n||_{\infty}\leq\frac{||f^{(n+1)}||_{\infty}}{(n+1)!}||\omega_{n+1}||_{\infty}$$

> $\omega_{n+1}(x)=\prod\limits_{i+1}^n(x-x_i)$
> [name=Dozentin?]

## Beispiel 3.21

$$f(x)=sin(x)\implies ||f-p_n||_\infty^{n\to \infty}\to 0$$

## Beispiel 3.22

$$f(x):=\frac{1}{1+x^2}$$


## Satz 3.26, Satz von Weierstrass

Sei $f\in C^0([-1,1])$ .
Dann existiert $\forall \epsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$ und $\pi \in \mathbb{P}_n$:

$$||f-\Pi_n||_{\infty}\leq\epsilon$$

**Bestapproximationsfehler:**

$$\inf\limits_{q\in\mathbb{P}_n}||f-q||_\infty$$

> Bestapproximationsfehler = Fehler der besten Approximation
> [name=Alwin]

## Satz 3.26

Sei $f\in C^0 ([a,b])$ dann $\exists q\in\mathbb{P}_n: \inf\limits_{q\in\mathbb{P}_n}||f-q||=||f-q_n||$

## Definition 3.23

Die Lebesgue-Konstante $\Lambda_n$ ist definiert als

$$\Lambda_n=\Lambda_n({x_0,...,x_n}):=||\sum\limits_{k=0}^n|l_k|||_{\infty,[x_0,x_n]}$$

## Satz 3.24

$$||f-I^{(n)}||_{\infty}\leq(1-\Lambda_n)\inf\limits_{q\in\mathbb{P}_n}||f-q||_{\infty}$$

### Beweis

$$\begin{split}
||f-I^{(n)}||_{\infty}\leq||f-q||+&||q-I^{(n)}[f]||_{\infty}~~\text{mit}~~q\in\mathbb{P}_n ~~\text{beliebig}\\
&=||I^n[f-q]||_{\infty}\\
&=||\sum\limits^n_{k=0}(f-g)(x_k)l_k||_{\infty}\\
&\leq||f-q||_{\infty}||\sum\limits^n_{k=0}l_k||_{\infty} = ||f-q||_{\infty}\Lambda_n
\\
\leq(1+\Lambda_n)||f-q||_\infty
\end{split}$$
> VGL FOTO DAS WAR FUCKING WEIRD

Kondition der Interpolation $f\to f+\delta$

$$\begin{split}
||I^{(n)}[f+\delta]-I^{(n)}[f]||_\infty=||I^{(n)}[\delta]||_\infty&=||\sum\limits_{k=0}^n\delta(x_k)\cdot l_k||_\infty\\
&\leq||\delta||_\infty||\sum\limits_{k=0}^nl_k||_\infty=||\delta||_\infty \Lambda_n
\end{split}$$

Äquidistante Stützstellen: 

$$\Lambda_n\cong\frac{2^n}{n\cdot \log(n)}$$


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