# 柏翰盃第三屆賽後檢討會
## 第一題
### 1.
我們先考慮$sin(x)<x<tan(x)$ 當 $0<x<\frac{\pi}{2}$
$\Longrightarrow\large1 > \Large\frac{sin(x)}{x} >\large cos(x)$
\begin{aligned}
&\lim_{x\to0^+}cos(x)\leq\lim_{x\to0^+}\frac{sinx}{x}\leq
\lim_{x\to0^+}1\\
由夾擠\Longrightarrow&\lim_{x\to0^+}\frac{sinx}{x}=1 \\
\end{aligned}
vice versa 反正他等於1。
### 2.
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0}\frac{x-sin(x)}{x^3}&\overset{L.H.}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1-cos(x)}{3x^2}\\
&\overset{L.H.}{=}\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{6x}=\frac{1}{6}
\end{aligned}
泰勒展開也可以
### 3.
jar 他
### 4.
羅他
或是泰勒展開
## 第二題
given $\epsilon$>0 , choose $\delta=\large\frac{\epsilon}{3}$ > 0
s.t.$\forall$ 0<$|x-2|$<$\delta$
$|3x-2-4|=3|x-2|<3\delta=\epsilon$
Proof by $\epsilon-\delta$ defination
## 第三題
### 1.
介值定理
### 2.
隱微分
### 3.
均值定理

單射的定義:
對所有$x!=y\in\mathbb{R}$,f(x)!=f(y)
考慮A的image f(A)
f'(x)!=0，即
$\forall x\in A，f'(x)\neq0\Longrightarrow \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\neq0\Longrightarrow f(b)\neq f(a)$
## 第四題
### 1.
黎曼和
### 2.
輕鬆
### 3.
輕鬆
### 4.
\begin{aligned}
\large\frac{1}{x^3+1}&=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}\\
&=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}\\
&=\frac{1}{3x+3}+\frac{-x+2}{3x^2-3x+3}\\
\end{aligned}
所以
\begin{aligned}
\int\frac{1}{x^3+1}dx&=\int\frac{1}{3x+3}+\frac{2-x}{3x^2-3x+3}dx
\end{aligned}
## 第五題
### 1.
### 2.
## 第六題
### 1.
### 2.