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title: 第二屆柏翰盃賽前研討會
tags: [賽前, 第二屆]

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## 微分
微分定義：$$\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
就是指![](https://hackmd.io/_uploads/HkYQUHBDn.png)
翰庠往橙漢跑過去的時候，他們的連線會越來越接近一條切線。

其中$h$是指與$x$的微小差距，代表著橙漢與翰庠的微小距離，而$f(x+h)-f(x)$便是指他們高度的微小差距，即橙漢$(x,f(x))$與翰庠$(x+h,f(x+h))$。

而我們知道，斜率的算法:$\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，當$h\to 0$時，也就是翰庠與橙漢無限接近，他們的連線便無限接近切線了，由於我們使用了極限的概念，因此那條線的斜率會是$$\lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
這便是微分的定義，我們會寫作$\frac{d}{dx}f(x)|_{x=橙漢}$或是$f'(橙漢)$

給定$f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，且$f,g$處處可微，則我們有：
* $\large\frac{d}{dx}(af(x))=a\frac{d}{dx}f(x),a \in \mathbb{R}$
* ${\large\frac{d}{dx}(f+g)=\frac{d}{dx}f+\frac{d}{dx}g}$
* ${\large\frac{d}{dx}(fg)=f\frac{dg}{dx}+g\frac{df}{dx}}$
* ${\large\frac{d}{dx}(\frac{f}{g})=\frac{\frac{df}{dx}g-\frac{dg}{dx}f}{g^2}}$
以及一些基本函數的微分
* ${\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}} \ \ as \ n\neq0$

* $\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$

* $\frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)$
 
* $\frac{d}{dx}a^x=ln(a)a^x$
 
* $\frac{d}{dx}log_{a}x=\frac{1}{ln(a)x}$
## $e$
對 就是$e$
自然常數，又稱納皮爾常數或是尤拉數，他大約等於$2.718$
他來自於這個極限:$$\lim_{n\to \infty}({1+\frac{1}{n})^{n}}$$
你可以看成是本金只有$1$，利率無限趨近於$0$，分無限多期後，最後會獲得的錢錢(收斂於一個值)就是e，那他還有其他的定義：
* 基礎定義$$\lim_{n\to \infty}({1+\frac{1}{n})^{n}}$$
* 這個$$e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$$
* 存在唯一的$x=e$使得$$\lim_{h\to 0}{\frac{x^{h}-1}{h}}=1$$

有一個很酷的東西$$e^{x}=\lim_{n\to \infty}{(1+\frac{x}{n})^{n}}$$
這可以用兩個級數來證明：$a_{n}=(1+\frac{x}{n})^{n}$，還有$b_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\frac{x^{k}}{k!}}$，證明如下：
$\begin{equation}\begin{aligned}
a_n  &= (1+\frac{x}{n})^{n} \\
    &= {\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}}\\
    &=1+x+\sum_{k=2}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)...[n-(k-1)]x^k}{k! \cdot n^k}\\
    &= 1+x +\frac{x^2}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{x^3}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+ ... +\frac{x^n}{n!}\prod_{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{n})\\
&\le \ b_n \\
&\to \limsup_{n\to\infty}{a_n}\le\limsup_{n\to\infty}{b_n}=e^x
\end{aligned}\end{equation}$
差不多就是這樣
## Chain Rule
當我們在計算微分時，要確認他是對誰微分，例如：
$\frac{d}{dx}x^2=2x$，但是$\frac{d}{dx}(2x+1)^2 \neq4x+2$，而是$8x+4$（你可以透過把它拆開再微分來確認）。
這是因為在微分時沒有確認對**誰**微分，像這裡，應該是這樣$$\frac{d(2x+1)^2}{d(2x+1)}\cdot \frac{d(2x+1)}{dx}$$
也就是$$2\cdot(2x+1)\cdot2$$
因此，我們會有$$\frac{df(g(x))}{dx}=\frac{df(g(x))}{dg(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx}=f'(g(x))g'(x)$$




## 隱微分
給定一個隱函數$f(x,y)=0$，當我們要求$\frac{dy}{dx}$時，便會**假設**$y$視為$x$的函數後，進行微分，以$x^2+y^2-1=0$為例：
\begin{equation}\begin{aligned}
 x^2+y^2-1 =0&\;\xrightarrow{兩邊微分} \ 2x+2yy'=0\\
 &\; y'=-\frac{x}{y}
\end{aligned}\end{equation}
即可求出$\frac{dy}{dx}$

## 微分方程
以前有學過$n$元一次聯立方程式，像這樣
$$\begin{cases}
a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=c\\
b_2x_1+b_2x_2+...+b_nx_n=d\\
.\\.\\.
\end{cases}$$
這種東西大多用來描述一種線性系統，被稱為**線性**方程組。
而微分方程也是類似的東西，通常用來描述某種物理現象，例如自由落體、熱傳導、波動、物質擴散、相對論抑或是電磁場，都可以使用微分或是偏微分方程來描述。

常微分方程ODE(Ordinary Derivative Equation)
ODE涉及一個或多個未知函數的導數，並且自變量只有一個
通常長得像這樣$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$(這是一階常微分方程)
像是二次方程，微分方程也有高次：
$$a_1\frac{d^2y}{dx^2}+a_2\frac{dy}{dx}=c$$之類的高次常微分方程。
以S.H.M.(簡諧運動)為例，即 $kx=ma$
或是$kx(t)=mx''(t)\to kx(t)=m\frac{d^2x}{dt^2}$
是一個二階的ODE

How to 解一階ODE($\frac{dy}{dx}=ky$為例)
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx}&=ky\\
\frac{1}{y}dy&=kdx\\
\int\frac{1}{y}dy&=\int kdx\\
ln(y)&=kx+C
\end{aligned}
然後將init丟進去，求$C$
就能夠獲得原函數了（所以你要先會積分）




## 熱力學
### 內能$U$
理想氣體之內能$U=\frac{1}{2}nRT(D.O.F.)$
其中，$n$為理想氣體之數量，單位$mole$
$R$為理想氣體常數，其值為8.31$(J/K\cdot mole)$
T為理想氣體之絕對溫度，單位為$K$
$D.O.F.$(Degrees Of Freedom)為理想氣體之自由度
其中，單原子分子之$D.O.F.$為3




### 熱量$Q$
供給物質熱量會使其溫度上升，而科學家將供給物體的熱量$Q$與上升的溫度$T$之比值定義為熱容量$C$
，以方程式表示：
$$C=\large\frac{dQ}{dT}$$
其中$C$的單位為$J/K$

有了熱容量$C$與理想氣體的莫耳數，我們就可以其莫耳比熱$c$
由定義可推得理想氣體從$T_i$變化至$T_f$
，其熱量變化量為
$dQ = n\cdot c\cdot (T_f-T_i)$




### 作功$W$
圖
在國中，我們學到物體所受之功可以由其所受的力與其位移之內積求得
，表示為$W=\vec{F}\cdot\vec{x}$(幫我把F跟x變成向量符號）
我們也可以表示為微分形式表示：
$dW=\vec{F}\cdot d\vec{x}$
而氣體對面積為$A$之活塞（外界）施力為：
$F=pA$，又其位移為$dx$
則氣體對外界作功為$dW=pAdx$
而$Adx$為體積變化量$dV$
因此$$ W = \int dW = \int_{V_1}^{V_2}pdV$$

，即$p-V$圖下之面積

圖
圖說：$V_1$膨脹至$V_2$對外界所做之功W

### 熱力學第一定律

熱力學第一定律其實就是能量守恆定律。能量會以熱量$Q$及作功$W$形式進出系統，進而改變系統之內能。
以方程式表示為：
$∆U = Q - W$（這裡的$U$, $Q$, $W$就是之前提到的內能、熱量和作功）
亦可以微分形式表示：
$$dU = dQ - dW$$

使用熱力學第一定律時，需要注意的就是判斷$Q$及$W$的正負號，熱量流進系統時$Q$為正，反之為負;系統對外界作功時$W$為正，反之為負。總而言之，能量流進系統會導致系統內能上升。

## 電磁學

### 庫侖定律
在真空中，兩帶電體之間的靜電力大小與兩者所帶電荷成正比，且與兩者之間距離平方成反比。
用方程式表示就是
$$F=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot{\frac{Qq}{r^2}}$$
其中的$\large\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$其實就是國中的$k$
所以也可以表示為$\large F=\frac{kQq}{r^2}$

然後$k$為庫倫常數，其值為$9.0 \cdot 10^9 (N\cdot m^2/C^2)$ 
而$\epsilon_{0}$為真空介電常數，其值為 $8.85 \cdot 10^{-12}(C^2/N\cdot m^2)$

### 電場
將一點電荷至於空間中某處，該點電荷即會生成一電場，空間中任一電荷均會受到該電荷之電場所產生的靜電力。
若欲得知一點電荷在$p$點所建立之電場強弱，可將一單位點電荷（帶電量$1C$)置於$P$點，則該單位點電荷所受之靜電立即為該位置之電場強度
，簡而言之，一電荷在某位置所受靜電力$F$與其電荷大小$q$之比值即為該位置之電場強度$E$，即：
$E = \frac{F}{q}$

又，兩物體間庫倫靜電力大小
$F=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot{\frac{Qq}{r^2}}$
$\to E = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r^2}$

就像重力場一樣，物體所受重力與其質量之比值即為重力場(地球之重力場$g=9.8 m/s^2$)


### 電力線
發拉第在《電的實驗研究》(Experimental Researches in Electricity)中提出電力線的概念以圖形化電場強度及方向
，其具有以下特性：
*  電力線總是由正電荷出發而終止於負電荷。
* 電力線上任一點之切線方向即為該點的電場方向。
* 在空間中某點，垂直於電力線的微小平面上，單位面積上所通過的電力線數目（即：電力線密度），等於該點之電場強度。
* 由上可知，一帶$+Q$ 電量之點電荷，在真空中，將發出$\Large\frac{Q}{\epsilon_{0}}$條電力線。
* 電力線永不相交

### 電通量
電通量是一個垂直於電力線之單位面積通過的電力線數量也等於電場強度。

 $$\large E=\frac{d\Phi_{e}}{dA}$$
$dA$為垂直電力線的某個微小面積之平面;
$d\Phi_{e}$則稱為通過該$dA$面積之電通量(electric flux)

### 高斯定律
通過任意封閉曲面之淨電通量$d\Phi_{e}$，與該封閉曲面內的淨電荷量$Q$成正比，即：
$$\Phi_e=\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{net}}{\epsilon_0}$$




### 電位能
在電場中，電荷$q$受靜電力作用由位置$i$至位置$f$之過程中，靜電力所做之功，稱為電荷$q$在位置$i$與位置$f$之間的電位能差
，即：
$$W_{i\to f}=\int_{i}^{f}q\vec{E}\cdot d\vec{r}=U_i-U_f$$
（跟重力位能一樣通常設無窮遠處為零）




### 電位
在電場中，單位正電荷$(q=1)$受靜電力作用由位置$i$至位置$f$之過程中，靜電力所做之功，稱為電荷$q$在位置$i$與位置$f$之間的電位能差，即：
$$W_{i\to f}=\int_{i}^{f}\vec{E}\cdot d\vec{r}=V_i-V_f$$
得電場中任一位置之電位為
$$ V=\frac{kQ}{r}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r}$$

## 反應速率 哈哈我還沒修完啦
平常在高中課堂中計算反應速率的初$[A_0]$、末$[A]$濃度時，一般都會利用「平均反應速率」來求，但是一個不知道幾級反應的反應式及圖形，怎麼可以利用「割線」草草的計算出答案呢？
倘若我們能利用「切線」來計算「瞬時反應速率」，答案會更接近真實情況，除此之外，手中如果只有掌握數據時而沒有級數時，只有能將它帶如Excel 公式中就能馬上得到此為幾級反應，因此以下將會介紹如何運用積分速率方程來看各個反應。
![](https://hackmd.io/_uploads/r1b9FCDDn.png)
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反應速率方程是利用濃度或分壓計算化學反應的快慢，即若假設$aA+bB\to cC+dD$ 則 $r=-\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt}=k[A]^x[B]^y$，接者把移項後積分便能得到反應物的初[A0]、末[A]濃度與時間t的函數關係式，即積分速率方程，以下進行各級反應的推導。
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各級反應速率方程式
    zero order reaction
微分速率方程：$r=-\frac{d[A]}{dt}=k[A]^0$

積分速率方程：$-\int^{[A_t]}_{[A_0]}$


## 路徑積分
應該沒有人會所以讓我偷懶一下




