# 第四屆柏翰盃賽前研習講義
## 柏翰盃主題
* 高中微積分
* 向量微積分(結果好像沒有考)
* 傅立葉級數
* 線性代數
## 高中微積分
### 函數極限
1. 定義
我們說 $\lim_{x\to a}f(x)=L$，即代表
對於任意一個 $\epsilon>0$,都存在 $\delta>0$ ，使得
當$0<|x-a|<\delta$ 時，
$$|f(x)-f(a)|<\epsilon$$
2. 若一個函數$f:A\to B,$在$A$上連續，即對於任一點$a\in A$，
極限$\lim_{x\to a}f(x)$等於$f(a)$

### 微分
* 定義
$\large\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(h)}{h}$或是a點上的微分 $\large\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

### 積分
* 黎曼和
$\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^{k}f(x_i)\Delta x$
### 甲摳比嗯
\begin{aligned}
J(\frac{x,y}{u,v})=\left | \begin{matrix}
x_u&x_v \\
y_u& y_v \\
\end{matrix} \right | \\
\end{aligned}
他可以用來變數變換
### 麗緹
計算$\Large\iint_R\frac{x-2y}{3x-y}dA$，其中$R$
是由四條線$x-2y=0,x-2y=4,3x-y=1,3x-y=8$圍成的區域。
## 向量微積分
### 純量與向量
純量是純量，向量是向量$scalar:1,2,3 \ \ vector:(1,2,3),(2,3),(0,1)$

而向量也可以表達成$(1,2,3)=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ 醬子，所以

$f(x,y,z)=u(x,y,z)\hat{i}+v(x,y,z)\hat{j}+w(x,y,z)\hat{k}$ 是一個$R^3\to R^3$的向量函數喔

而$f(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^2x$（隨便舉例）是一個$R^3\to R$的純量函數喔
### 梯度
梯度是純量函數的梯度，
向量函數沒有梯度！
$$他在零點的梯度是0喔$$
* 梯度定義
先給一個符號$\nabla=\Large\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$
對於一個函數$f:R^3\to R$的梯度就是$\nabla f$，即$$\large\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}$$
是個向量
### 散度
基本上，一個在$R^3$的向量函數你也可以叫向量場，而向量場的散度被定義如下
* 散度定義
一個向量場$f:R^3\to R^3$的散度被定義為$\nabla\cdot f$，而這個 $\Large\cdot$ 就是你熟悉的內積。所以
$$\nabla\cdot f=\large\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}$$
是個純量
### 旋度
旋度也和散度一樣，是給向量場設計的東東。
* 旋度定義
一個向量場$f:R^3\to R^3$的旋度被定義為$\nabla\times f$，一樣的，這個 $\times$ 就是外積，他的算法像這樣：
$$\Large\left |\begin{array}{cccc}
\hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\
u &v &w \\
\end{array}\right|$$
用途是看他會不會旋 哈。

### 高斯散度定理
就是跟散度有關的積分
$$\int_S F\cdot dS=\int_V \nabla\cdot FdV$$
醬子

## 傅立葉級數
假設$f(x)$在閉區間$[-\pi,\pi]$是一個週期函數，則我們可以把它寫成：
$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx$$
然後利用其他方式求數列$a_n$,$b_n$
### 算法
首先你會發現
\begin{aligned}
&\int_{-\pi}^{\pi}\cos nxdx=0\\
&\int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx=0\\
&\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx dx =0\\
\end{aligned}
所以
\begin{aligned}
&a_0=\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x) dx\\
&a_n =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\cos nxdx\\
&b_n =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\sin nxdx\\
\end{aligned}
就這樣
### 幹嘛
很酷的東西 算 $\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

## 線性代數&ODE
考慮到一個線性系統$Ax=B$，我們可以用$A$的反矩陣$A^{-1}$(如果存在)來計算$x$。
對於一個n維的線性齊次微分方程$Y'=AY$，可以解出$\large Y=e^{Ax}$
### $e^A$ 這就是這次的考題
$\large e^A:=I+\Large\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}$
以下是他的一些性質：
* $AB=BA\Rightarrow e^Ae^B=e^Be^A=e^{A+B}$
* 考慮$\lambda\in\mathbb{R}使得Ax=\lambda x$，即$A$的特徵值們。則我們有$A^kx=\lambda^kx$，因此：
\begin{aligned}
e^{A}x&=Ix+Ax+\frac{A^2}{2!}x+\cdots\\
&=1x+\lambda x+\frac{\lambda^2}{2!}x+\cdots\\
&=(1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2!}+\cdots)x\\
&=e^\lambda x
\end{aligned}
即$e^A的特徵值為e^\lambda$
* $det(A)=e^{tr(A)}$
### 算法
若$A$可對角化，則可以將$A$寫成$A=SDS^{-1}$，其中$D$為對角矩陣，元素皆為特徵值，而$S$是由特徵向量拼成的矩陣。套用在其內：
\begin{aligned}
e^A=e^{SDS^{-1}}&=SIS^{-1}+SDS^{-1}+\frac{(SDS^{-1})^2}{2!}+\cdots\\
&=S(I+D+\frac{D^2}{2!}+\cdots)S^{-1}\\
&=Se^DS^{-1}
\end{aligned}
這樣就能算了

## 震盪模型源自於有趣的工具們
* 毆拉

$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$

$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
$$

$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
$$
這時候如果$x變成ix$

$$
e^{ix} = 1 + ix -\frac{x^2}{2!} -i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!}\cdots
$$

$$
\sin (ix) = x i\frac{x^3}{3!} + i\frac{x^5}{5!} - i\frac{x^7}{7!} + \cdots
$$

$$
\cos (ix) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +\frac{x^6}{6!} + \cdots
$$

所以
$$
e^{ix} = \cos x + i sin x
$$

* 滑下來

$$
f(t) = e^{\lambda t}
$$

$$
\dot{f}(t)=\lambda e^{\lambda t}
$$

$$
\ddot{f}(t)=\lambda^2 e^{\lambda t}
$$

結合歐拉與滑下來，我們用它們來描述一個(S.H.M)振子m的位移狀態X(t)：

$$
X(t)=Ae^{i\omega t}=A(cos\omega t+isin\omega t)
$$
現實世界中，不必理會i，將它當０就好

物理世界而且位移的時間微分即為速度，再微就是加速度，所以就變成：

$$
X(t) = Ae^{i\omega t}
$$

$$
a(t)=\ddot{X}(t)=A\omega^2 e^{i\omega t}
$$

我們知道S.H.M.的力學特性（圖？）
$$
F =-kx=ma
$$

$$
ma + kx = 0
$$

$$
m\ddot{x} + kx = 0
$$

$$
mA\omega^2 e^{i\omega t} + k Ae^{i\omega t} = 0
$$

$$
Ae^{i\omega t}(-m\omega^2 + k) = 0
$$

$$
Ae^{i\omega t}\neq 0
$$

$$
k=m\omega^2
$$

$$
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
$$
所以就可以以機械的特性(k,m)，推斷m的位移狀態X(t)為（圖？）：
$$
X(t)=Ae^{i\sqrt{\frac{k}{m}} t}
$$

接下來是D.H.M.阻尼運動模型（圖？），阻力正比當下的運動速度，所以相比於S.H.M.(k,m),D.H.M.(k,c,m)增加了阻力隨速度v變化的條件：

$$
F =-cv -kx=ma
$$

$$
ma + cv + kx = 0
$$

觀察一下現實狀態中應該狀態運行的運動軌跡之後發現，震幅隨時間變小，頻率逐漸改變，猜測X(t)的動態（創造一個能干擾振幅A與角速度$\omega$的因子）（d說明一下若沒有的反例）：

$$
X(t) = e^{i\omega t}e^{-\beta t} = e^{i(\omega+i\beta)t}
$$

$$
V(t)=\dot{X}(t)=(\omega+i\beta) e^{i(\omega+i\beta)t}
$$

$$
a(t)=\ddot{X}(t)=(\omega+i\beta)^2e^{i(\omega+i\beta)t}
$$

$$
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0
$$

$$
m(\omega+i\beta)^2e^{i(\omega+i\beta)t} + c(\omega+i\beta) e^{i(\omega+i\beta)t} + k e^{i(\omega+i\beta)t} = 0
$$

一樣，把$e^{i(\omega+i\beta)t}$先幹掉，因為他$\neq 0$

$$
-m(\omega+i\beta)^2 + ic(\omega+i\beta) + k = 0
$$

變成
image part:

$$
-i2m\omega\beta+i\omega c=0
$$

$$
c=2m\beta
$$

$$
\beta=\frac{c}{2m}
$$

Real part:

$$
-m\omega^2 + m\beta^2 -c\beta+k = 0
$$
又$\beta=\frac{c}{2m}$

$$
-m\omega^2 + m(\frac{c}{2m})^2 -c(\frac{c}{2m})+k = 0
$$

$$
-\omega^2 + (\frac{c^2}{4m^2}) -(\frac{c^2}{2m^2})+\frac{k}{m} = 0
$$

$$
-(\frac{c}{2m})^2+\frac{k}{m} = \omega^2
$$

$$
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}-(\frac{c}{2m})^2}
$$

$$
\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-(\frac{c}{2m})^2}
$$

所以$\beta,\omega$都出來了，回到之前的猜測

$$
X(t) = e^{i\omega t}e^{-\beta t} = e^{i(\omega+i\beta)t}
$$

就變成
desmos沒有i，自變數也從t變成x，但是透過剛剛的「歐拉」，$e^{i\omega t}（上面是e^{i\omega x}）=sin\omega t（上面是sin\omega x）$，啊旁邊的振幅Ａ不影響前面推導過程，一開始也能猜$X(t) = Ae^{i(\omega+i\beta)t}$

## 電學

這次要講的是比較偏電路學與其衍伸概念的部分。
關於靜電學的一些基本知識（如：電場、電位）已於[第二屆柏翰盃賽前研討會](/JBwfy8wIQAmKPNAWkXygcw#電磁學)，要看自己去看。

說到電路學就一定會講到歐姆定律$V=IR$，其中$V$為電位差，$I$為電流，$R$為電阻

### 電位差$\Delta{V}$
顧名思義，電位差就是某兩個地方電位的差。
電位可以由庫倫靜電力產生，而某一帶電量為$q$的帶電粒子在電位為$V$的電位下所含的電能$U = qV$
又一群電子中，每個電子分配到的能量不會一樣，因此電位可以看成一定數量的電子所帶的能量：
\begin{aligned}
V = \frac{U}{q}
\end{aligned}
因此電位差就是兩群電子單位電量（庫倫）所帶的電能（焦耳）之差
所以單位就是$J/C$（焦耳/庫倫）

### 電流$I$
電流就是單位時間的流過某個截面積的電荷，如，某截面1秒流過1庫倫，則其電流為1安培

### 電阻$R$$\,\,\,\,\,\tiny{篇幅這麼長，該不會要考這個吧？}$
維基百科曰：「電阻是一個物體對於電流通過的阻礙能力。」
電位差產生電流時，電阻會對其產生阻礙。
可以將電阻想成某種通道，當這個通道越寬，就可以通過越多電子，而其長度越長就會產生越多阻力（雖然不太能這樣類說，但就先者樣想吧）

<p class="text-right">圖片by ChatGPT</p>
<p class="text-center">講到電阻就要放一張夜市的圖片 </p>

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總之，電阻值與其長度$l$成正比，與其面積$A$成反比：
\begin{aligned}
R = \rho\frac{l}{A}
\end{aligned}

ㄚ那個$\rho$就是電阻係數，與電阻材質有關，然後也會因為溫度產生些微變化一點。
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以上是簡單的長方體之電阻，可是這是柏翰盃$\large\underline{微積分}$大賽的講義，因此我們也要用微積分來求奇怪形狀的電阻。

做法就是找到截面積對長度方向上的位置的函數$A(l)$

然後把他切成一小段一小段，再把電阻加起來，說人話就是：
\begin{aligned}
R=\rho\int_{l_1}^{l_2}\frac{dl}{A(l)}\\
\end{aligned}

當然，我先假設電阻值為定值。
出那麼多變數一定不會有人想解
$\tiny{主要是我不想去湊方程式也不寫這麼複雜的詳解}$
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所以大概就這樣，簡單吧，其實大部分都是國中常識

### 熱阻與電阻
然後再補充一下熱學的熱傳導其實跟這裡也蠻像的，
\begin{aligned}
\Delta{V} = \, I \, * R\,\,\,\,\\
\Delta{T} = H * R_{th}
\end{aligned}
$\Delta{T}$是溫度差，跟電位差不同的是，電位是單位電量所含的能量，溫度是單位粒子（如氣體分子）所含的動能，也就分子或原子內能(By氣體動力論)，H就是熱流，即單位時間所流過的能量，而$R_{th}$就是熱阻，跟電阻一樣：
\begin{aligned}
R_{th} = \rho\frac{l}{A}
\end{aligned}
$l$跟$A$如電阻，$\rho$及熱阻係數，不過熱這裡比較習慣用導熱係數，即：
\begin{aligned}
R_{th} = \frac{l}{kA}
\end{aligned}

k就是導熱係數，熱阻係數跟導熱係數為倒數。

熱傳導定律與歐姆定律基本上用的是差不多的公式，所以考了我也不管喔